時空本質性差異:兩點間的距離不再是直線最短

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「兩點之間直線最短」，兩千多年前阿基米德給出的答案已經深入了我們腦海裡。在一張平面紙上任意地方放上兩個點，用你能想像到的任何直線、曲線或幾何路徑將這兩個點連接起來。那麼你會發現，只要這張紙保持平整，沒有彎曲和摺疊，那麼直線就是連接它們的最短路徑。

這正是我們三維宇宙空間的運行規律：在平面中，兩點之間直線距離最短。無論如何旋轉、定向或以其他方式定位這兩個點，這個規律都是成立的。

但是我們的宇宙不僅由三個空間維度組成，而是由四個時空維度組成。這點並不難發現，很多人輕描淡寫地以為：「好吧，其中三個維度是空間維度，還有一個是時間維度，這就是所謂的時空嘛。」這話沒錯，但僅僅是管中窺豹，畢竟兩個時空事件之間的最短距離將不再是一條直線。

通常，我們用位移的距離來測量兩點之間的距離，例如圖中連接點A和點B的線，但實際上，它們之間最短的距離應該是連接A與B的直線。當然，這隻適用於空間距離。| 圖源：SIMEON87/WIKIMEDIACOMMONS；E.SIEGEL

大多數人第一次接觸兩點之間直線距離最短這一概念，通常都通過畢達哥拉斯定理。你一定還記得勾股定理，把每一條短邊平方並加在一起，就等於長邊的平方。如果短邊是a和b，而長邊是c，那麼它們之間的關係式是a+b=c。

然而，仔細想想其內涵，不僅僅是從純數學的角度，而是從距離的角度。這意味著，如果你在一個空間維度上移動一定量（例如a），然後在垂直維度上移動另一個量（例如b），那麼你開始的地方和結束的地方之間的距離等於c，正如畢達哥拉斯定理所定義的那樣。換言之，平面上任何兩點之間的距離，這些點在一個維度上被a隔開，在另一個維度中被b隔開，則c=√（a+b）。

有很多方法可以解決和可視化簡單的畢達哥拉斯方程，如a+b=c，但當涉及到以不同的數學方式擴展該方程時，可視化並不一直有效。

當然，在宇宙中，我們的生活並不局限於在一張平面紙上。我們的宇宙不僅有長度和寬度（也有人喜歡把其稱為x和y方向），還有深度（z方向）。如果想計算出空間中任意兩點之間的距離，那麼方法與在二維中的方法完全相同，只是增加了一個維度。無論兩個點在x方向、y方向和z方向上的距離是多少，你都可以像在平面中一樣算出兩點之間的距離。

只不過，由於三維空間多出一個維度，它們之間的距離——我們稱之為d——將由d=√（x+y+z）得出。這個方程式可能看起來複雜，但它只是表達任何兩點之間的距離是由連接它們的直線來確定的：這條直線是x方向、y方向和z方向的組合，它從三個維度的角度解釋了兩點之間的距離。

三維空間中任意兩點之間的距離，如此處所示的原點和點P，等於三個（x、y和z）方向上距離差平方和的平方根。| 圖源：CRONHOLM144/WIKIMEDIA COMMONS

關於這種關係，我們發現了一個有趣的事情——無論我們如何定位可視化的x、y、z維度，兩點之間的距離都是一條直線。同樣我們也可以更改坐標，使x、y和z維度處於任何（相互垂直）方向上，或將這兩點沿任意方向旋轉任意角度，他們之間的距離始終不會改變。

當然，如果旋轉透視圖或旋轉連接這兩個點的直線，各個部分將發生變化，因為當旋轉時，該直線的長度、寬度和深度的定義將發生更改。但是這兩個點之間的距離並沒有發生改變；不管你如何旋轉它們，這兩點之間的距離仍然是不變量，即沒有發生改變。

圖片中代表「雙行星」的兩個物體之間有一定的距離。無論如何確定坐標系的方向或如何在空間中旋轉這些行星，它們之間的距離保持不變。| 圖源：美國宇航局

現在，除了考慮空間外，讓我們把時間也考慮進去。你可能會想：「如果時間也是一個維度，那麼時空中任何兩點之間的距離也會是一樣的。」例如，如果我們將時間維度表示為t，那麼你可能會認為距離是通過三維空間維度和時間維度連接兩個點的直線。用數學術語表示，那麼任意兩點之間距離的分離方程式應該類似於d=√（x+y+z+t）。

這是一個合理的嘗試，畢竟這和我們從二維上升到三維時做出的調整基本相同，只不過這次是從三維上升到四維。該方程式準確的描述了如果不僅只有三個空間維度，而是擁有四個空間維度時的真實情況。

但是我們並沒有四個空間維度，我們有的是三個空間維度和一個時間維度。不管你的直覺怎麼樣告訴你，時間都不僅僅是「一個維度」。

相機預測物體在時間中的運動僅僅將時間看作一個維度的一個實際應用。| 圖源：索尼

如果將時間看作為一個維度，那麼我們可以用兩種方法發現它與空間的不同。

第一個簡單的方法是：如果不採用某種方法將二者進行相互轉換，那麼就不能把空間（一種距離的度量）和時間（一種度量時間的方法）放在同一個基礎上。愛因斯坦相對論啟示我們——距離和時間之間有一個重要的、基本的聯繫：光速或是其他粒子的速度，在沒有靜止質量的情況下在宇宙中穿梭。

你在宇宙中所處的位置可以用空間坐標（在何處）描述的同時也可以用時間坐標（在何時）描述。如果不改變時間狀態，也就無法改變空間位置。

真空中的光速（每秒299792458米）精確地傳達了如何將空間中的運動與時間中的運動聯繫起來：通過這個基本常數本身。在使用「一光年」或「一光秒」這樣的術語時，我們指的是時間上的距離：例如，光在一年（或一秒鐘）內傳播的距離。如果想把「時間」轉換成一個距離，我們需要乘以真空中的光速。

在光錐中，所有可能出現的光線到達或離開時空的一個點的三維表面。在空間中移動的越多，在時間中的移動就越少，反之亦然。只有包含在過去光錐中的東西才能影響今天；只有包含在未來光錐中的東西才能在未來被感知。| 圖源：WIKIMEDIA COMMONS

但第二個方法需要一個理解上的巨大飛躍，這是19世紀末20世紀初最偉大的思想也無法理解的，核心思想在於我們都在宇宙中同時穿越時空。如果只是坐在這裡，靜止不動，根本不在空間中移動，那麼我們就以我們都熟悉的特定的速率穿越時間：每秒一秒。

然而，關鍵點在於，在空間中移動的越快，穿越時間的速度就越慢。這點在其他維度並不成立。例如，在空間中通過x維的運動，完全獨立於通過y和z維的運動。但是相對於任何其他觀察者來說，你在空間中的總運動，決定了你在時間中的運動。在其中一個（空間或時間）中移動得越多，在另一個中移動得就越少。

時間膨脹（L）和長度收縮（R）表明，越接近光速，時間越慢，距離就越小。當接近光速時，時鐘會向根本不經過的時間擴張，而距離則會縮小到無窮小。| 圖來源：WIKIMEDIA

這就是為什麼愛因斯坦的相對論給了我們時間膨脹和長度收縮這樣的概念。如果以與光速相比非常低的速度移動，就不會注意到這些影響：時間似乎以每秒一秒的速度移動，而其長度似乎也與地球上通常可以達到的速度相同。

但當接近光速時，或者更確切地說，當你感知到一個物體，並且你和它之間的相對速度接近光速時，你會觀察到它是沿著它的相對運動方向收縮的，而且相對於你自己的時鐘來說，時鐘的運行速度似乎更慢（擴張）。

愛因斯坦認識到這一點的原因很簡單：因為所有觀察者的光速都是一樣的。如果你想像時鐘是由兩個反射鏡之間來回反射的光來定義的，那麼當別人的時鐘接近光速時，觀察他們的時鐘必然會比你的時鐘慢。

一個由光子在兩個反射鏡之間反射形成的光鍾將為所有觀察者定義時間。儘管這兩位觀察者可能在時間流逝的問題上意見不一致，但他們將在物理定律和宇宙常數（如光速）上達成一致。一個靜止的觀察者會看到正常的時間流逝，但是一個在空間中快速移動的觀察者，他們的時鐘相對於靜止的觀察者運行得慢一些。（約翰·諾頓）

這其中還有一個更深刻的見解，最初連愛因斯坦自己都沒有發現。如果把時間當作一個維度（這只是想像的而並非真實的），乘以光速，那麼我們就可以用先前定義距離的方式來定義「時空間隔」。只是，由於虛數i只是√（-1），這意味著時空間隔實際上是d=√（x+y+z-ct）。[注意時間坐標上的減號！]

換言之，從「空間中的運動或分離」到「時間上的運動通過或分離」也是一種旋轉，但它不是在空間的笛卡爾坐標系（其中x、y和z都是實數），而是通過時空的雙曲坐標系，如果空間坐標是實數，那麼時間坐標一定是虛數。

在命運的大轉折中，第一個把這些拼圖拼湊起來的人是愛因斯坦之前的老師，赫爾曼·明科夫斯基，他在1907年8月指出，「從今往後，空間和時間都註定要消失在陰影中，只有兩者的結合才能保持一個獨立的現實。」在明可夫斯基嚴謹的數學基礎上，時空概念誕生了並一直存在下去。

用紅藍兩色繪製的雙曲坐標，與傳統的笛卡爾網格坐標相比，這兩組不同軸之間的數學關係完全不同。| 圖源：WIKIMEDIA

值得注意的是，愛因斯坦雖然缺乏數學洞察力，無法準確理解時間維度與空間的三個常規維度之間的關係，但仍然具有能夠拼湊出這一關鍵的物理洞察力。增加你在空間中的運動會減少你在時間中的運動，反之亦然。所有對空間和時間的測量都只對觀察者有意義，並且取決於觀察者對被觀察者的相對運動。

然而，時空間隔保持不變。不管是誰在觀察，也不管他們移動的有多快，所有觀察者在任何物體時空中的聯合運動這一點上都能達成一致。

從某種程度上說，相對論的成功更讓人印象深刻。閔可夫斯基對他後來的學生馬克斯·伯恩（Max Born）曾評價愛因斯坦到：「對我來說（相對論）是一個巨大的驚喜。在學生時代，愛因斯坦是個真正的懶鬼。」

幸運的是，在物理學中，宇宙本身才是科學真理的最終仲裁者，而不是某個人的觀點。

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