那些帶你入坑的拼圖「魔術」：錯覺中的數學原理（一）

01--拼圖魔術：消失的正方形

有一個很有名的拼圖魔術，叫「消失的正方形」。如下圖，由四塊（兩個直角三角形、兩個L形）拼成一個大直角三角形。在這個大直角三角形中，平移其中的三塊位置後，憑空多出一個小方塊，還原這三塊的位置後，這個小方塊又消失了。

觀眾都覺得不可思議，這是怎麼回事呢？

首先要說明是這個魔術並沒有作弊。ta只是巧妙地抓住了普通觀眾普遍具有的數學認知：四小塊，剛好填滿大直角三角形，這一點不會變化。但展現在觀眾眼前事實是：平移其中的三個小塊後，這個大直角三角形卻未被填滿，空出了一個小方塊。從而在觀眾心裡產生巨大的認知衝突，將觀眾陷入於不惑境地，分不清內心的認知與眼前的事實孰是孰非。

02--簡單的數學思考

作為魔術表演，不得不佩服這個節目創意的巧妙，但其背後的數學邏輯是什麼呢？我們用簡單的數學知識來揭秘一下。

圖2--平移前

圖3--平移後

節目的道具（如圖2,3）：兩個小直角三角形，直角邊分別為2,5和3，8；兩個L形可以拼成一個長寬分別為5,3的矩形。因而，這四個小塊的總面積=1/2(2x5+3x8)+5x3=32。而大直角三角形的兩條直角邊分別為5,13，其面積=1/2(5x13)=32.5。經過簡單的計算，有了一個驚人的發現：這兩個面積不等！32≠32.5，說明了什麼？說明了當初這四個小塊並沒有塞滿那個所謂「大直角三角形」。如果說塞滿的話，那個「大直角三角形」就應該等於32，而不是32.5。

但我們看到的事實：四個小塊確實把那個「大直角三角形」塞得嚴絲合縫，滿滿當當呀？真相即在眼前，但眼見一定為實嗎？魔術師往往利用人們相信的這句名言，來「欺騙」觀眾的眼睛。

現在只剩下一種可能性：四個小塊做不了「手腳」，但那個所謂的「大直角三角形」呢？由前面的計算可知，32≠32.5，說明了四個小塊塞滿的不是大直角三角形，而是一個很像直角三角形的東東。這個東東多像直角三角形呢？像到足以欺騙觀眾的眼睛，像到一開始就讓觀眾落入魔術師給你挖好一個大坑：四個小塊拼成一個大直角三角形！

03--這個坑到底有多深

四個小塊到底拼成一個什麼形？

從相似的角度看：其中的兩個小直角三角形的對應邊之比5:8≠2:3,說明兩個直角三角形不相似，因而其斜邊不可能共線，即組合以後兩個直角三角形的斜邊不可能在同一條直線上。因而，兩個直角三角形斜邊的三個頂點不是三點共線，而是三點不共線。還說明白一點，兩個直角三角形與兩個L形組合以後，壓根兒不是直角三角形，而是一個四邊形。這個四邊的一個內角非常非常接近平角(180°)。

下面計算一下，組合以後的兩個直角三角形的斜邊所成的角度。

如圖，直線AB的斜率k1=3/8，直線BC的斜率k2=2/5，根據兩條直線的夾角公式：

tanθ=|(k1-k2)/(1+k1.k2)|=1/46,

θ=arctan(1/46)≈1.25°，

此時，∠ABC=180°-θ=178.75°。

178.75°與180°之間相差1.25°，這一丁點差距，視覺上是感覺不到的，因而魔術師是利用了觀眾視覺的錯覺(178.75°=180°)，挖下的大坑。

04--為什麼多出一個方塊而不是半個

由前面計算的面積之差=0.5，剛好是半個小方塊，平移後卻多出1個小方塊(面積=1)，又是咋回事呢？平移以後兩個L形所在的矩形區域的面積=2x8=16，平移前兩個L形組成矩形面積=3x5=15，16-15=1，1剛好是一個小方塊，平移前後唯一有變化的就是，兩個L形所在矩形區域面積，發生了變化。因而，前面的面積差0.5與這個兩個矩形區域的面積等於1，沒有任何關係，這也可以說是這個魔術師預設的第二坑：即便有聰明觀眾發現面積有貓膩，仍可以用半個和一個(小方塊)來迷惑這部分「覺悟」的觀眾，讓戲演得更真喲！

05--結語

1.滿地都是坑，莫怪魔術套路深，只怪沒有慧眼睛。俗話說耳聽為虛，眼見為實。在魔術的世界裡(細想也不僅限於此)，眼見也不見得為真，真相建立在理性思考基礎之上。

2.1953年美國業餘魔術師保羅·嘉理（Paul Curry）發明了這個魔術，1963年，美國業餘數學大師馬丁·加德納將此整理成一道圖形分割悖論，發表在《科學美國人》雜誌上，引起讀者興趣和廣泛傳播，其實圖形分割悖論的原理從十九世界末就已為數學家所知了。

3.還有更神奇之處，這個魔術中，將圖形的邊長涉及的數，從小到大排成一列為1,2,3,5,8,13，這些數剛好都是裴波那契數(列)喲，我也是跪了。魔術師保羅·嘉理讀書時一定是個數學學霸，你呢？