拋物線的方程與性質
【學習目標】
1．掌握拋物線的定義 、幾何圖形和標準方程.
2．理解拋物線的簡單性質（範圍、對稱性、頂點、離心率）.
3．能用拋物線的方程與性質解決與拋物線有關的簡單問題.
4. 進一步體會數形結合的思想方法.
【要點梳理】
要點一、拋物線的定義
定義：平面內與一個定點和一條定直線（不經過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．
要點詮釋:
(1) 上述定義可歸納為「一動三定」，一個動點，一定直線；一個定值
(2) 定義中的隱含條件：焦點F不在準線l上，若F在l上，拋物線變為過F且垂直與l的一條直線.[來源:學科網]
(3) 拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準線三者之間的距離關係，在解題時常與拋物線的定義聯繫起來，將拋物線上的動點到焦點的距離與動點到準線的距離互化，通過這種轉化使問題簡單化.
要點二、拋物線的標準方程
標準方程的推導
如圖，以過F且垂直於 l 的直線為x軸,垂足為K.以F,K的中點O為坐標原點建立直角坐標系xoy.
設|KF|=p(p＞0)，那麼焦點F的坐標為，準線l的方程為.
設點M（x,y）是拋物線上任意一點，點M到l的距離為d.由拋物線的定義，拋物線就是集合
.
將上式兩邊平方並化簡，得. ①
方程①叫拋物線的標準方程，它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，坐標是它的準線方程是.
拋物線標準方程的四種形式：
根據拋物線焦點所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式[來源:Zxxk.Com]
，，，。
要點詮釋：
①只有當拋物線的頂點是原點，對稱軸是坐標軸時，才能得到拋物線的標準方程；
②拋物線的焦點在標準方程中一次項對應的坐標軸上，且開口方向與一次項的係數的正負一致，比如拋物線的一次項為，故其焦點在軸上，且開口向負方向（向下）
③拋物線標準方程中一次項的係數是焦點的對應坐標的4倍，比如拋物線的一次項的係數為，故其焦點坐標是。
一般情況歸納：
方程[來源:Z,xx,k.Com][來源:學_科_網]
圖象的開口方向
焦點
準線
時開口向右[來源:學科網ZXXK][來源:學.科.網Z.X.X.K][來源:學科網ZXXK][來源:學科網]
[來源:Zxxk.Com][來源:學+科+網]
時開口向左
時開口向上
時開口向下
④從方程形式看，求拋物線的標準方程僅需確定一次項係數。用待定係數法求拋物線的標準方程時，首先根據已知條件確定拋物線的標準方程的類型（一般需結合圖形依據焦點的位置或開口方向定型），然後求一次項的係數，否則，應展開相應的討論.
⑤在求拋物線方程時，由於標準方程有四種形式，易混淆，可先根據題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數p，若不能確定是哪一種形式的標準方程，應寫出四種形式的標準方程來，不要遺漏某一種情況。
要點三、拋物線的簡單幾何性質：
拋物線標準方程的幾何性質
範圍：，，
拋物線y2=2px（p＞0）在y軸的右側，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標（x，y）的橫坐標滿足不等式x≥0；當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。拋物線是無界曲線。
對稱性：關於x軸對稱
拋物線y2=2px（p＞0）關於x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對稱軸。
頂點：坐標原點
拋物線y2=2px（p＞0）和它的軸的交點叫做拋物線的頂點。拋物線的頂點坐標是（0，0）。
離心率：.
拋物線y2=2px（p＞0）上的點M到焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率。用e 表示，e=1。
拋物線的通徑
通過拋物線的焦點且垂直於對稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑。
因為通過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點而垂直於x軸的直線與拋物線兩交點的坐標分別為，，所以拋物線的通徑長為2p。這就是拋物線標準方程中2p的一種幾何意義。另一方面，由通徑的定義我們還可以看出，P刻畫了拋物線開口的大小，P值越大，開口越寬；P值越小，開口越窄．
拋物線標準方程幾何性質的對比
圖形
標準方程
y2=2px（p＞0）
y2=－2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py（p＞0）
頂點
O（0，0）
範圍
x≥0，
x≤0，
y≥0，
y≤0，
對稱軸
x軸
y軸
焦點
離心率
e=1
準線方程
焦半徑
要點詮釋：
（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸，一條準線；
（2）標準方程中的參數p的幾何意義是指焦點到準線的距離；p＞0恰恰說明定義中的焦點F不在準線上這一隱含條件；參數p的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標準方程中應找到相當於p的值，才易於確定焦點坐標和準線方程.
【典型例題】
類型一：拋物線的定義
例1.已知拋物線的焦點為（3，3），準線為x軸，求拋物線的方程。
【解析】設M（x，y）為拋物線上的任意一點，
則由拋物線的定義，得
兩邊平方，整理得
∴所求拋物線的方程為
【總結升華】當拋物線的頂點不在原點，對稱軸不是坐標軸時，我們只能根據定義求拋物線的方程.
舉一反三：
【變式】求適合下列條件的拋物線的標準方程：
（1）過點(-2，3)；
【答案】：
設y2=2px，以(-2，3)代入，得，∴；
設x2=2py，以(-2，3)代入，得，∴。
（2）焦點在直線3x-4y-12=0上；
【答案】：若焦點為（4，0），則y2=16x
若焦點為（0，-3），則x2=-12y
（3）準線過點(2，3)；
【答案】：準線為x=2，則y2= -8x
準線為y=3，則x2= -12y
（4）焦點在y軸上，拋物線上一點到焦點的距離等於5。
【答案】：設拋物線方程為x2=-2py（p>0），則點M(m,-3)到準線的距離為5，即，
∴p=4，x2=-8y
例2.平面上動點P到定點F（1，0）的距離比P到y軸的距離大1，求動點P的軌跡方程。
【解析】
解法一：設P點的坐標為（x，y），則有，
兩邊平方並化簡得y2=2x+2|x|。
∴
即點P的軌跡方程為y2=4x（x≥0）或y=0（x＜0）。
解法二：由題意，動點P到定點F（1，0）的距離比到y軸的距離大1，
由於點F（1，0）到y軸的距離為1，
故當x＜0時，直線y=0上的點適合條件；
當x≥0時，原命題等價於點P到點F（1，0）與到直線x=―1的距離相等，
故點P在以F為焦點，x=―1為準線的拋線物上，其軌跡方程為y2=4x。
故所求動點P的軌跡方程為y2=4x（x≥0）或y=1（x＜0）。
【總結升華】求動點的軌跡方程時，可用定義法列等量關係，化簡求解；也可判斷後，用類似於公式法的待定係數法求解，但要判斷準確，注意挖掘題目中的隱含條件，防止重、漏解。
舉一反三：
【高清課堂：拋物線線的方程358821例2】
【變式1】若點M到定點F（4，0）的距離比它到直線l：x+6=0的距離小2，求點M的軌跡方程。
【答案】動點M的軌跡方程為
【變式2】若動圓與定圓:相外切，且與直線相切，求動圓圓心的軌跡方程.
【答案】
類型二：拋物線的標準方程
例3．求過點的拋物線的標準方程，並求對應拋物線的準線方程：
【解析】∵點在第二象限，∴拋物線開口方向上或者向左
當拋物線開口方向左時，
設所求的拋物線方程為（），
∵過點，∴，
∴，∴，
當拋物線開口方向上時，
設所求的拋物線方程為（），
∵過點，∴，
∴，∴，
∴所求的拋物線的方程為或，
對應的準線方程分別是，.
【總結升華】求拋物線的標準方程關鍵是根據圖象確定拋物線開口方向，選擇適當的方程形式，準確求出焦參數P.
舉一反三：
【變式1】已知拋物線關於y軸對稱，它的頂點在坐標原點，並且經過點，求它的標準方程.
【答案】.
【變式2】拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點(－5,2)到焦點的距離是6，則拋物線的方程為( )
A．y2＝－2x B．y2＝－4x
C．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x
【答案】 B
類型三：拋物線的幾何性質
【高清課堂：拋物線線的方程358821例1】
例4. （1）寫出拋物線的焦點坐標、準線方程；
（2）已知拋物線的焦點為寫出其標準方程；
（3）已知拋物線的焦點在x軸的正半軸上，且焦點到準線的距離為3，求拋物線的標準方程、焦點坐標和準線方程.
【解析】（1）拋物線的標準方程為，因為2p=4，所以焦點坐標為（0，1），準線方程為.
（2）因為拋物線的焦點在y軸的負半軸上，且=2，所以，從而所求拋物線的標準方程為.
（3）由已知得，所以所求拋物線標準方程為，焦點坐標為，準線方程為.
【總結升華】討論拋物線的方程和幾何性質時要注意拋物線的焦點軸和幾何量的 區別與聯繫.
舉一反三：
【變式】已知拋物線的標準方程是，求它的焦點坐標和準線方程
【答案】因為p=3,所以焦點坐標是準線方程是
例5.求滿足下列條件的拋物線的標準方程，並求對應拋物線的準線方程：
（1）過點（－3，2）；
（2）焦點在直線x－2y－4=0上
【解析】（1）設所求的拋物線方程為y2=－2px或x2=2py（p＞0），
∵過點（－3，2），
∴4=－2p（－3）或9=2p·2
∴p=或p=
∴所求的拋物線方程為y2=－x或x2=y，前者的準線方程是x=，後者的準線方程是y=－
（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，
∴拋物線的焦點為（4，0）或（0，－2）
當焦點為（4，0）時，=4，
∴p=8，此時拋物線方程y2=16x；
焦點為（0，－2）時，=2，
∴p=4，此時拋物線方程為x2=－8y
∴所求的拋物線的方程為y2=16x或x2=－8y，
對應的準線方程分別是x=－4，y=2
【總結升華】
① 過拋物線y2＝2px的焦點F的弦AB長的最小值為2p
② 設A(x1，y)，B(x2，y2)是拋物線y2＝2px上的兩點， 則AB過F的充要條件是y1y2＝－p2
③ 設A， B是拋物線y2＝2px上的兩點，O為原點， 則OA⊥OB的充要條件是直線AB恆過定點
(2p，0).
舉一反三：
【變式】已知拋物線y2＝4x的內接三角形OAB的一個頂點O在原點，三邊上的高都過焦點，求三角形OAB的外接圓的方程．
【答案】 ∵△OAB的三個頂點都在拋物線上，且三條高都過焦點，
∴AB⊥x軸，故A、B關於x軸對稱，
設A，則B，
又F(1,0)，由OA⊥BF得，解得＝20，
∴A(5,2)，B(5，－2)，
因外接圓過原點，且圓心在x軸上，故可設方程為：x2＋y2＋Dx＝0，
把A點坐標代入得D＝－9，
故所求圓的方程為x2＋y2－9x＝0.