原題
原題：已知O為坐標原點，橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1，F2，且F2又恰為拋物線D：y^2=4x的焦點，以F1F2為直徑的圓與橢圓C僅有兩個公共點。
⑴求橢圓C的標準方程；
⑵若直線L與D相交於A，B兩點 ，記點A，B到直線x=－1的距離分別為d1，d2，|AB|=d1+d2，直線L與C相交於E，F兩點，記△OAB、△OEF的面積分別為S1，S2.
（ⅰ）證明：△EFF1的周長為定值；
（ⅱ）求S2/S1的最大值。
這道題是一道直線與拋物線以及橢圓三者相交的問題，看似很難，實際上我們如果掌握了直線和拋物線相交的這些性質以及直線和橢圓相交的這些性質後，這道題的思路就會瞬間清晰，不再難！
該題涉及到直線和拋物線的性質以及直線和橢圓的性質
該題中我們需要知道直線和拋物線相交的性質：如果直線和拋物線相交於A、B兩點，且該兩點到準線的距離恰好等於線段AB的長度，則該直線過該拋物線的焦點。
該題中我們需要知道直線和橢圓相交的性質：橢圓與過橢圓的焦點F2的直線相交E、F兩點，則該橢圓另一個焦點F1和線段EF所組成的三角形的周長是一個定值，這點證明來自於橢圓的定義。
無論是求解直線和拋物線相交的問題，還是直線和橢圓的相交的問題，都需要設出直線L的斜率k，並將該直線和該圓錐曲線聯立得到新的方程，然後藉助韋達定理得出根和係數之間的關係，再根據兩點之間的距離公式得出線段和根之間的關係，再根據線段得出面積與根的關係，從而將要求的面積比用直線斜率k來表示，最後根據不等式或者k的範圍等得出我們要的結論。
這裡需要注意：直線斜率k是否存在！
明確了該題的思路
知道這些知識點後，我們就會發現題中第二步給出的「若直線L與D相交於A，B兩點 ，記點A，B到直線x=－1的距離分別為d1，d2，|AB|=d1+d2」這句話實際變相地告訴我們，該直線L過拋物線的焦點。
而拋物線的焦點恰好也是橢圓的右焦點，所以橢圓的左焦點F1與該直線L和該橢圓的兩個交點的連線所組成的三角形的周長是一個定值，所以直接明確了第二問中第一小問的證明思路。
知道這些知識點後，對於求S2/S1的最大值，我們也就知道要將直線的斜率k設出來，然後將直線和該圓錐曲線聯立得到關於k的方程，然後藉助韋達定理將根和係數之間表達出來，然後根據根與線段之間的關係以及線段和組成三角形面積之間的關係將要求的面積均用直線斜率k來表示，最後根據基本不等式得出該面積比值的最大值。
解題過程
⑴求橢圓的標準方程。
因為拋物線D的方程為y^2=4x，所以該拋物線的焦點為(1,0)，又因為橢圓C的右焦點和拋物線D的焦點是一個，則F2(1,0)，所以橢圓C的參數c=1。
又因為以F1F2為直徑的圓與橢圓C僅有兩個公共點，所以該橢圓C的參數b=c=1。
根據橢圓參數之間的關係，則有a^2=b^2+c^2=2，所以該橢圓C的標準方程為x^2/2+y^2=1.
⑵（ⅰ）證明：△EFF1的周長為定值。
根據題意作出圖形：
如圖三所示，因為E、F兩點是直線L與橢圓C的兩個交點，所以E、F兩點在橢圓C上，根據橢圓定義：橢圓上的點到兩個定點F1和F2的距離等於2a，即是一個定值，所以|EF1|+|EF2|=2a=2√2，|FF1|+|FF2|=2a=2√2。
因為△EFF1的周長=|EF1|+|FF1|+|EF|=|EF1|+|EF2|+|FF1|+|FF2|=4a=4√2，所以△EFF1的周長為定值。
（ⅱ）求出S2/S1的最大值。
第一步，當直線L斜率不存在時，S2/S1的比值。
當直線L斜率不存在時，該直線L為x=1。
將x=1代入橢圓C方程，得到y=±√2/2，所以|EF|=√2；
將x=1代入拋物線D中，得到y=±2，所以|AB|=4.
因為S1=1/2×|F1F2|×|AB|，S2=1/2×|F1F2|×|EF|，所以S2/S1=|EF|/|AB|=√2/4.
第二步，當直線L斜率存在時，S2/S1的比值。
設直線L的斜率為k（k≠0），則直線L的方程為y=k(x－1)。
⒈直線L與拋物線C聯立得出AB的長。
設A(x1,y1)，B(x2,y2)。
由y^2=4x和y=k(x－1)聯立得到方程為k^2·x^2－(2k^2+4)x+k^2=0，判別式△>0。
根據韋達定理得到x1+x2=(2k^2+4)/k^2，|AB|=x1+x2+2=(4k^2+4)/k^2.
⒉直線與橢圓聯立得出EF的長。
設E(x3,y3)，F(x4,y4)。
由x^2/2+y^2=1和y=k(x－1)聯立得到方程為(1+2k^2)x^2－4k^2x+2k^2－2=0，判別式△>0。
根據韋達定理得到x3+x4=4k^2/(1+2k^2)，x3x4=(2k^2－2)/(1+2k^2)，所以|EF|=√(1+k^2)|x3－x4|=√(1+k^2)·√［(x3+x4)^2－4x3x4］=2√2(1+k^2)/(1+2k^2)。
⒊得出S2/S1的比值。
因為線段AB和線段EF都是在直線L上，所以點F1到該直線L的距離d是一個定值。
根據S2=1/2×d×|EF|，S1=1/2×d×|AB|，所以S2/S1=|EF|/|AB|=2√2(1+k^2)/(1+2k^2)/(4k^2+4)/k^2=k^2/√2(1+2k^2)。
⒋得出S2/S1比值的範圍。
因為k≠0，所以將S2/S1=k^2/√2(1+2k^2)分子分母同時除以k^2得到S2/S1=√2/2×1/(1/k^2+2)。
因為k>0，y=k^2在k>0上是增函數，y=1/(1/k^2+2)在k>0上是減函數，當k趨近於0時，S2/S1趨近於去窮大；當k趨近無窮大時，S2/S1趨近於0，所以S2/S1的取值範圍為(0,√2/4)。
綜上所述，S2/S1比值最大值為√2/4，即直線L斜率不存在時，該比值最大。
總結
這道題解題關鍵點在於知道該直線L是過定點（1,0）的，這需要我們對拋物線性質的熟練掌握，在給出「若直線L與D相交於A，B兩點 ，記點A，B到直線x=－1的距離分別為d1，d2，|AB|=d1+d2」這個條件後就就知道該條件告訴了我們什麼，同時還要知道韋達定理該如何使用。
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