高中數學,將橢圓中S△HMA=6S△PHN與韋達定理聯繫起來,它才是橋梁

2020-12-13 玉w頭說教育

原題

原題：已知橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點P(－1,3/2)是橢圓上一點，|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中項。

⑴求橢圓的標準方程；

⑵若A為橢圓的右頂點，直線AP與y軸交於點H，過點H的另一條直線與橢圓交於M，N兩點，且S△NMA=6S△PHN，求直線MN的方程。

圖一

這道題的第一問是比較簡單的，也是第二問求解必要的一個條件，主要是求解第二問，該第二問是橢圓與直線相交的題型，該題中最主要的是給出兩個三角形面積之間的關係，求直線MN的方程。

我們知道對於橢圓和直線相交的題都是要結合韋達定理的，所以這道第二問的關鍵就是將給出的兩個三角形面積和韋達定理如何結合起來求出該直線的方程的斜率來，從而求出該直線MN方程。

下面就講解題的過程中來具體講解這兩個三角形面積之間的關係與韋達定理結合的過程。

第一問

第一問是要求解橢圓的標準方程，該題中給出的已知有已知點P在該橢圓上，再就是給出了「|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中項」這幾個線段之間的關係，所以要想解決這道題就是要從這兩個條件入手。

因為|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中項，則有2|F1F2|=|PF1|+|PF2|。

因為F1和F2是橢圓的焦點，且P點在橢圓上，所有|PF1|+|PF2|=2a，所以2a=2×2c，即a=2c。

根據橢圓參數之間的關係，a^2=b^2+c^2，所以b^2=3c^2.

所以該橢圓的方程可寫成x^2/4c^2+y^2/3c^2=1，因為P點（－1,3/2）在該橢圓上，則有1/4c^2+9/4/3c^2=1，解得到c=1，所以a=2，b=√3。

所以該橢圓的標準方程為x^2/4+y^2/3=1.

注意：如果求的不是橢圓的標準方程，x^2/4+y^2/3=1就只能是滿足橢圓方程中的一個，這裡注意數學語言的嚴謹性。

第二問

第二問求的是直線MN的方程，要想求出該直線方程，需要求出該方程的斜率和該直線上的一個已知點，根據點斜式就可以求出該直線方程來。

圖二

第一步，求出點H的坐標。

因為點P是定點(－1,3/2)，而A點是橢圓的右頂點，所以該A點也是一個定點，所以直線PA是一個定直線。

因為橢圓的標準方程為x^2/4+y^2/3=1，所以A坐標為（2,0）。

根據兩點確定一條直線，則有直線PA的方程為2y+x－2=0，令x=0，則y=1，所以H點的坐標為(0,1)。

因為直線MN過定點H，所以要想求出直線MN的方程，只需要求出該直線的斜率即可。

第二步，設出直線MN的方程，結合韋達定理得出根與係數之間的關係。

對於這樣的題，一般都要討論該直線MN斜率是否存在兩種情況，雖然該題中直線MN的斜率不可能不存在，因為當直線MN與x軸垂直時是不符合題意的，但是在做題的過程中也要給予說明，否則也要扣相應的分數。

當直線MN與x軸垂直時，不符合題意。

當直線MN與x軸不垂直時，設直線MN的方程為y=kx+1.

將直線MN與橢圓的標準方程x^2/4+y^2/3=1聯立得到(4k^2+3)x^2+8kx－8=0。

設M(x1,y1)，N(x2,y2)，根據韋達定理，則有x1+x2=－8k/(4k^2+3)，x1x2=－8/(4k^2+3)。

第三步，將給出三角形面積之間的關係與根建立聯繫。

圖三

因為S△NMA=6S△PHN，根據三角形面積公式S△NMA=1/2·MH·HA·sin∠MHA，S△PHN=1/2·PH·HN·sin∠PHN，則有MH·HA=6PH·HN。

因為點P的坐標為(－1,3/2)，點H坐標為(0,1)，點A的坐標為(2,0)，根據兩點間距離公式有PH=√5/2，HA=√5，所以有2PH=HA，所以MH=3HN。

過點M，N分別做x軸的垂線交x軸於點E，F兩點，如圖：

圖四

因為ME和NF均垂直x軸，所以∠MFH=∠MEH=90度，根據對頂角相等，所以∠MHE=∠NHF，所以△MEH∽△NHF，所以ME/NF=MH/HN=3。

又因為x1x2=－8/(4k^2+3)<0，所以x1和x2符號相反，所以有x1=－3x2。

第四步，將三角形面積的關係融入根與係數之中得出直線MN斜率的值。

所以上述的根與係數之間的關係就轉化為x1+x2=－2x2=－8k/(4k^2+3)①，－3x2·x2=－8/(4k^2+3)②。

根據①②得到3×16k^2/(4k^2+3)^2=8/(4k^2+3)，解得k=±√6/2，所以直線MN的方程為y=±√6/2x+1.

主線：根據三角形面積關係得出邊之間的關係，根據邊的關係得出兩個根橫坐標之間的關係，根據這兩個橫坐標之間的關係以及韋達定理建立等式，求出直線MN的斜率，求出直線MN的方程——即兩根的橫坐標的關係是三角形面積之間的關係與韋達定理的橋梁。

總結

對於橢圓與直線的題都是要將該橢圓和直線聯立，根據韋達定理得出根與係數之間的關係，這裡給出的三角形面積的倍數，就需要將這個三角形面積的倍數轉化成係數之間的關係，即把給出的三角形面積的倍數融入到韋達定理之中，從而解出直線MN的斜率，解出直線MN的方程。

這裡在將三角形面積的倍數轉化成係數之間關係的時候，運用了三角形的面積公式、兩點間的距離公式以及相似三角形邊長成比例的性質等，所以要想解決這道題，需要對數學基本知識點靈活運用。

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