高考數學常考題,橢圓題,重心的妙用——聯結韋達定理的紐帶

2020-12-14 玉w頭說教育

原題

原題：已知離心率為1/2的橢圓E：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左頂點為A，且橢圓E經過點P(1,3/2)，與坐標軸不垂直的直線L與橢圓E交於C,D兩點，O是坐標原點。

⑴求橢圓E的標準方程；

⑵若B為橢圓E上一點，且向量OC+向量OD+向量OB=0向量，求△BCD的面積。

圖一

這道題的主要要知道兩個知識點：第一，要知道向量OC+向量OD+向量OB=0向量能得出什麼結論；第二，就是如何將這個知識點「向量OC+向量OD+向量OB=0向量」與三角形面積BCD的聯繫，如何與韋達定理聯繫。

下面在講解該題的過程中詳細的說明。

第一步

第一步是求橢圓E的方程，這是求解第二問的必備的條件。

因為e=c/a=1/2，所以a=2c。

根據橢圓參數之間的關係，則有a^2=b^2+c^2，則有b^2=3c^2.

因為橢圓E的方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1，則x^2/4c^2+y^2/3c^2=1.

又因為橢圓E經過點P（1,3/2)，則有1/4c^2+9/4/3c^2=1，c^2=1，則a^2=4，b^2=3，所以橢圓E的方程為x^2/4+y^2/3=1.

第二步

第二步是求△BCD的面積。

要想求出△BCD的面積，需要將已知向量OC+向量OD+向量OB=0向量、韋達定理和△BCD的面積連接起來。

在連接過程中需要知道向量OC+向量OD+向量OB=0向量給出的一個什麼條件。

一旦在三角形中給出這樣的向量關係，則O就是三角形BCD的重心。

詳細證明過程可見在△ABC中有向量GA+向量GB+向量GC=0向量能得出一個什麼樣的已知？

這裡的重心O恰好是坐標原點，那如何將這個坐標原點和韋達定理連接起來，如何又將該坐標原點和三角形BCD面積連接起來呢？

這還需要知道這樣的一個知識點：如果三角形BCD三個頂點的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，且該三角形BCD的重心坐標為(x,y)，則有x=(x1+x2+x3)/3，y=(y1+y2+y3)/3.

知道這個知識點後，我們就可以就可以藉助坐標的形式將重心和韋達定理、三角形BCD的面積聯繫起來。

第一步，使用韋達定理，將根與係數之間的關係表示出來。

因為直線L與橢圓E交於C，D兩點，所以可設出直線L和C，D的坐標。

因為直線L不與坐標軸垂直，所以設直線L為y=kx+m，k存在且不等於0.

將直線L與橢圓E：x^2/4+y^2/3=1聯立得到(4k^2+3)x^2+8kmx+4m^2－12=0，判別式△>0，即3+4k^2>m^2.

設C點坐標為(x1,y1)，D點坐標為(x2,y2)，根據韋達定理，則有x1+x2=－8km/(4k^2+3)，x1x2=(4m^2－12)/(4k^2+3)。

圖二

第二步，根據O是三角形BCD的重心，得出B點坐標。

因為三角形重心的坐標O為（0,0），設B點坐標為(x3,y3)，則有(x1+x2+x3)/3=0，（y1+y2+y3）/3=0，所以x3=－(x1+x2)，y3=－(y1+y2)。

註：這裡之所以要用C和D表示出B的坐標，是因為韋達定理中沒有B坐標x3和y3地出現。

所以B點坐標為[－(x1+x2)，－(y1+y2)].

第三步，得出k和m之間的關係。

因為B點也在橢圓E上，所以有(x1+x2)^2/4+(y1+y2)^2/3=1，整理得到(x1)^2/4+(x2)^2/4+2x1x2/4+(y1)^2/3+(y2)^2/3+2y1y2/3=1①.

因為C點也在橢圓E上，則有(x1)^2/4+(y1)^2/3=1；因為D點也在橢圓E上，則有(x2)^2/4+(y2)^2/3=1，所以①就變為2x1x2/4+2y1y2/3=－1，即x1x2/2+y1y2/3=－1/2②.

因為y=kx+m，所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k^2x1x2+k(x1+x2)+m^2=3(m^2－4k^2)/(4k^2+3)③。

將③代入②式，得到(m^2－3)/(4k^2+3)+(m^2－4k^2)/(4k^2+3)=－1/2，整理得到4m^2－4k^2－3=0④.

第四步，得出CD的長度。

根據兩點間距離公式有|CD|=√[(y1－y2)^2+(x1－x2)^2].

將其變形有|CD|=√（1+k^2）·√[(x1+x2)^2－4x1x2].

將第一步中得出的根與係數之間的關係代入|CD|中有

|CD|=√（1+k^2）·√[(x1+x2)^2－4x1x2]=|CD|=√（1+k^2）·√[(8km/(4k^2+3))^2－4(4m^2－12)/(4k^2+3)]=√（1+k^2）·√[48(4k^2－m^2+3)]/(4k^2+3)⑤。

將④代入⑤中，則有|CD|=√（1+k^2）·12|m|/4m^2=3√（1+k^2）/|m|。

第五步，得出B點到直線CD的距離。

直線CD即為直線L，即y=kx+m，B點坐標為[－(x1+x2)，－(y1+y2)].

圖三

根據點到直線的距離公式，則有B點到直線CD的距離為d=|－k(x1+x2)+(y1+y2)+m|/√（1+k^2）.

因為y1=kx1+m，y2=kx2+m，則有d=|－k(x1+x2)+k(x1+x2)+2m+m|/√（1+k^2）=|3m|/√（1+k^2）。

第六步，得出△BCD的面積。

根據面積公式，則有S△BCD=1/2·|CD|·d=1/2·3√（1+k^2）/|m|·|3m|/√（1+k^2）=9/2.

綜上所述，△BCD的面積為9/2.

總結

一般橢圓的題中，都會將給出的已知與韋達定理建立聯繫，當然也存在例外，這樣的例外一般都是兩個根不是橢圓與直線的交點，所以不能使用韋達定理建立根與係數之間的關係，但是都會找到一個等量關係代替韋達定理建立根與係數之間的關係。

然後根據坐標將已知和要求出的結論連接起來，從而得出結論。

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