重心的向量表達、橢圓直徑和垂徑定理

2021-02-08 高考數學左老師

合肥三模卷的圓錐曲線題出的好，考察到的知識點多而且深入.


重心的向量表達式


平面向量因為兼具幾何與代數的特徵，頻頻在圓錐曲線大題中出現.


看合肥的三模考卷，就考到了重心的向量表達式.




這裡OA，OB，OP三個向量相加等於零向量，就表明點O是三角形ABP的重心.


證明起來也不複雜，抓住重心是三條中線的交點這一特徵即可，有興趣的童鞋不妨試著證明一下.


橢圓的直徑規律


不僅如此，合肥三模還考到了橢圓的直徑規律.


第1問的解答過程就是證明橢圓直徑規律的過程.


順便說一句，雙曲線也有類似的性質，只不過要把負號去掉.


證明過程依然是先取點，再利用點的坐標滿足曲線方程進行代換，操作起來難度不大.


橢圓垂徑定理


同時，第2問的探究過程還用到了橢圓中的垂徑定理，它是由點差法推導而來的.


點差法也是我在專欄《圓錐曲線要你命》裡花的筆墨比較多的地方，它比較適合於中點弦的處理.同時要小心點差法的局限，有時可能致錯，這些在專欄裡都有全面、系統的講解.


另外，我反覆提到運算時要考慮結構的對稱性.因為它對運算的優化有導向作用，同時要思考，如果結構不對稱，如何能創造對稱來優化計算.


視頻詳解如下：


小結：本題用到的專欄裡的心法如下：


049節：重心與垂心的處理：三邊中線交點、三邊高線交點


085節：橢圓和雙曲線的直徑：斜率乘積為定值


025節：橢圓和雙曲線的中點弦：點差法的優勢與局限


069節：曲線的對稱對運算的幫助：整體觀念，整體消元


119節：別忘討論之（一）：斜率不存在和斜率為零的情況


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