A.動手操作
把事先準備好的一個圓形紙片沿著圓的任意一條直徑對摺，重複做幾次，能有什麼發現？由此你能得到什麼結論？
圓是軸對稱圖形，任何一條經過圓心的直線都是它的對稱軸．
B.思考問題
從上面的動手操作可知，如圖1，如果⊙O的直徑CD垂直於弦AB，垂足為E，那麼點A和點B是對稱點，把⊙O沿著直徑CD摺疊時，點A與點B重合，你能發現圖中有哪些相等的線段和弧？為什麼？
問題1：垂徑定理是由幾個條件得到幾個結論？
問題2：把垂徑定理條件中的「垂直」和「平分」互換，是否仍然成立呢？
仔細剖析垂徑定理本身，可以看出：
命題的題設有兩個：一是直徑的存在；二是垂直於弦.
命題的結論有三個：一是平分弦；二是平分弦所對的一條弧；三是平分弦所對的另一條弧（一般情況下是一條優弧一條劣弧）.
垂徑定理的結構是典型的「2推3」式：滿足兩個條件，推出三個結論。
①直徑；②直徑垂直於弦；③平分弦(不是直徑)；④平分優弧；⑤平分劣弧，垂徑定理由①②推出③④⑤.
回顧整個初中幾何出現的定理當中，常見的定理結構是「1推1」模式：已知一個條件推出一個結論.比如：
1.對頂角相等（若兩個角是對頂角，則這兩個角相等）.
也有「2推1」模式的，比如：
2.垂直於兩平行線中一條直線的直線垂直於另一條直線.
更有「1推2」模式的，比如：
3.三角形的中位線，平行於第三邊且等於第三邊的一半.
還有「1推3」模式的，比如：
4.在同圓與等圓中，兩個圓心角，所對的兩條弧，所對的兩條弦及弦上的弦心距（圓心到弦的距離叫弦心距），這四組量中，若有一組量相等，則其餘三組量分別相等.
更多定理結構模式，請大家不妨自行捋一捋之！
由（1）（4）合起來推出（2）（3）（5）或者由（1）（5）合起來推出（2）（3）（4）可以嗎？回答是肯定的。即【垂徑定理推論2】：
平分弦所對一條弧且經過圓心的直線，垂直平分弦且平分弦所對的另一條弧.
由（2）（3）合起來推出（1）（4）（5）可以嗎？完全可以.用文字敘述為【垂徑定理推論3】：
垂直平分弦的直線必經過圓心，且平分弦所對的兩條弧.（注意：「直徑」與「直線」！）
由（2）（4）合起來推出（1）（3）（5）或者由（2）（5）合起來推出（1）（3）（4）可以嗎？經過探究也是可以的.用文字敘述為【垂徑定理推論4】：
垂直弦且平分弦所對的一條弧的直線，必經過圓心且平分弦及弦所對的另一條弧.
由（3）（4）合起來推出（1）（2）（5）或者由（3）（5）合起來推出（1）（2）（4）可以嗎？回答也是肯定的.用文字可以敘述為【垂徑定理推論5】：
平分弦及弦所對一條弧的直線，必經過圓心且垂直弦及弦所對的另一條弧.
垂徑定理，由於有一個「垂」字帶頭，肯定有垂直，有直角三角形，在實際使用中，往往離不開勾股定理的附用.
有關垂徑定理有關知識可觀看如下視頻學習
C.合作探究
例1．（2018秋江都區校級月考）已知⊙O的半徑為5，圓心O到點A的距離為3，則過點A且長度是整數的弦的條數是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【分析】如圖，過A點作弦CD⊥AB，連接OC，根據垂徑定理得到AC=AD，再利用勾股定理可計算出AC=4，則CD=8，由於過A點最長的弦EB=10，最短的弦CD=8，則過A點弦長為9的有兩條．
【解答】如圖，EB為過A點的直徑，EB=10，
過A點作弦CD⊥EB，連接OC，則AC=AD，
在Rt△OAC中，利用勾股定理可求得AC=4，
∴CD=2AC=8，
∵過A點最長的弦EB=10，最短的弦CD=8，
∴過A點的弦長為整數的還有9，且弦長為9的有兩條，
∴通過A點且長度是整數的弦共有4條．故選：D．
[歸納總結] 解決與弦有關的計算或證明題時，通常構造由弦長的一半、弦心距及半徑組成的直角三角形，再利用勾股定理解決問題．
變式1.點E是半徑為5的⊙O上的點，AB是⊙O的一條弦且AB=8．若△ABE的面積為8，那麼在圓上這樣的點E我們可以找到（ ）
A．4個 B．3個
C．2個 D．1個
【分析】根據△ABC的面積可將高求出，即⊙O上的點到AB的距離為高長的點都符合題意．
【解答】如圖，過圓心向弦AB作垂線，連接OA，
設△ABE的AB邊上的高為h
S△ABC=1/2×AB×h=8,可得：h=2
利用勾股定理可求得，弦心距=3
∵3﹣2=1，故過圓心向AB所在的半圓作弦心距為1的弦與⊙O的兩個點符合要求；∵3+2=5，故將弦心距AB延長與⊙O相交，交點也符合要求，故符合要求的點有3個．故選：B．
變式2．（2018陝西二模）如圖，在⊙O中，點B為半徑OA上一點，且OA=13，AB=1，若CD是一條過點B的動弦，則弦CD的最小值為_______．
【解析】連接OC，利用垂徑定理解答即可．
連接OC，當CD⊥OA時，CD有最小值，
在Rt△CBO中，利用勾股定理可求得CB=5，
∴CD=2CB=10，
故答案為：10
變式3．（2018溫嶺市一模）如圖，在圓O中有折線ABCO，BC=6，CO=4，∠B=∠C=60°，
則弦AB的長為________
【解析】如圖，作OD⊥AB垂足為D，OE∥AB交BC於E，過E點作EF⊥AB，垂足為F，
∵OE∥AB，∴△COE為等邊三角形，
∴OE=CE=OC=4，
∵OD⊥AB，EF⊥AB，
∴DF=OE=4，BE=BC﹣CE=2，
在Rt△BEF中，∵∠B=60°，
∴BF=1/2BE=1，
∴BD=BF+DF=1+4=5，
由垂徑定理，得AB=2BD=10．
例2. 如圖是「明清影視城」的一扇圓弧形門，小紅到影視城遊玩，她了解到這扇門的相關數據：這扇圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的，AB=CD=0.25m，BD=1.5m，且AB、CD與水平地面都是垂直的．根據以上數據，請你幫小紅計算出這扇圓弧形門的最高點離地面的距離是（ ）
A．2m B．2.5m
C．2.4m D．2.1m
【分析】連接OF，交AC於點E，設圓O的半徑為R米，根據勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】連接OF，交AC於點E，
∵BD是⊙O的切線，
∴OF⊥BD，
∵四邊形ABDC是矩形，
∴AC∥BD，
∴OE⊥AC，EF=AB，
[歸納總結] 垂徑定理的應用很廣泛，常過圓心作弦的垂線，連接圓心與弦的一個端點，構造直角三角形，把垂徑定理和勾股定理相結合，利用方程可解決有關計算弦長、半徑、弦心距等問題．
變式1（2018景德鎮二模）「圓材埋壁」是我國古代數一學著作《九章算術》中的一個問題．「今有圓材，埋壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？」用現在的數學語言表達是：如圖所示，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE=1寸，AB=1尺，則直徑CD長為______寸．
【解答】連接OA，設OA=r，則OE=r﹣CE=r﹣1，
∵AB⊥CD，AB=1尺，
∴AE=AB=5寸，
∴CD=2r=26寸．
故答案為：26．
變式2．（2018秋桐梓縣期中）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA=10m，水面寬AB=12m，某天下雨後，水管水面上升了2m，求此時排水管水面的寬CD．
【解答】如圖：作OE⊥AB於E，交CD於F，
∵AB=12m，OE⊥AB，OA=1m，
∴OE=8m．
∵水管水面上升了2m，
∴OF=8﹣2=6m，
∴利用勾股定理可求得CF=8m，
∴CD=16m．
D.課堂練習
1.在半徑為25cm的⊙O中，弦AB=40cm，則弦AB所對的弧的中點到AB的距離是（ ）
A．10cm B．15cm
C．40cm D．10cm或40cm
2.弦AB，CD是⊙O的兩條平行弦，⊙O的半徑為5，AB=8，CD=6，則AB，CD之間的距離為（ ）
A．7 B．1 C．4或3 D．7或1
3.（2018秋京口區校級月考）在半徑為10dm的圓柱形油罐內裝進一些油後，橫截面如圖．
①若油麵寬AB=12dm，求油的最大深度．
②在①的條件下，若油麵寬變為CD=16dm，求油的最大深度上升了多少dm？
練習答案
1.D 2.D
3.①2dm；
②油的最大深度上升了2dm．
E.課堂小結
垂徑定理是圓中最重要的定理之一，垂徑定理是九年級數學的重點之一，垂徑定理是命題結構複雜定理之一。「作垂直，連半徑，勾股列方程」這句操作口訣，你應該懂的。
順口溜「弦與弦心距，親密緊相連，勾股定理不等閒」
[反思] 垂徑定理中的「直徑」還可以是什麼？
[答案] 除了直徑還可以是半徑或過圓心的線段、直線．
有道是：不做不知道，做完明白了；學貴靠用心，悟透全知曉！