2020數學中考題分享之一：要正確作出輔助線並熟練運用垂徑定理

大家好，今天是2020年8月8日星期六。從今天開始，數學世界將持續給大家分享2020年各地的數學中考真題，這次分享一道2020年武漢數學中考題，希望能夠對大家的學習有一些幫助！如果你是來到這裡的新朋友，請翻看以前的文章，希望能夠大家能夠喜歡。

例題：（2020·武漢數學中考題）如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是弧AC的中點，AC與BD交於點E．若E是BD的中點，求線段AC的長。

我們在做這道題時，要有效利用題中的已知條件，推出解決問題所需要的條件，同時要針對具體問題進行分析，並結合要求的結論進行思考。接下來，數學世界就與大家一起來完成這道例題吧！

分析：我們可以連接OD，交AC於F，根據垂徑定理得出OD⊥AC，AF=CF，再通過證明三角形全等得到DF=BC，根據三角形中位線定理可以求得OF=1/2DF，由於⊙O的半徑為3，從而求得BC=DF=2，再利用勾股定理即可求得AC的長。下面，我們按照這個思路解答此題吧！

解答：連接OD，交AC於F，（如圖）

∵D是弧AC的中點，

∴OD⊥AC，AF=CF，（根據垂徑定理）

∴∠DFE=90°，

∵OA=OB，AF=CF，

∴OF=1/2BC，（根據三角形中位線定理）

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

在△EFD和△ECB中，

∠DFE＝∠ACB＝90°，

∠DEF＝∠BEC，

DE＝BE，

∴△EFD≌△ECB（AAS），

∴DF=BC，

∴OF=1/2DF，

∵OD=3，

∴OF+DF=3，

∴OF=1，

∴BC=2，

在Rt△ABC中，AB=6，

AC^2=AB^2-BC^2，（根據勾股定理）

∴AC=4√2，

即線段AC的長為4√2.

（完畢）

垂徑定理:垂直於弦的直徑平分弦，並且平分弦所對的劣弧、優弧。

垂徑定理的推論

平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的劣弧或優弧。

平分弦所對的一條弧的直徑垂直於弦並且平分弦所對的另一條弧。

弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弦。

這道題主要考查了圓中的垂徑定理、三角形全等的判定和性質以及三角形中位線定理等，正確作出輔助線並能夠熟練運用性質定理是解題的關鍵。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家在下面留言討論。謝謝！