道生一，一生二，二生三，三生萬物。
——老子《道德經》
有些事兒，不能細想，細想起來能把自己嚇一跳，比如我們的物理空間是三維的這件事兒。我們的物理空間是三維的，這個認識來自人類對運動自由度的感知。運動起來有三個自由度，曰上下、曰左右、曰前後，這一點地球人都知道，而且很早就知道了。德國文學家席勒（Friedrich Schiller, 1759-1805）談空間的維度竟然會借俺們中國的孔老夫子之口，用Sprüche des Konfuzius (孔夫子的箴言)為題謅了幾句詩：Dreifach ist des Raumes Maß (空間的尺度是三重的)Rastlos fort ohn' Unterlaß (不停地向遠處延展)Strebt die Länge fort in's Weite (長度綿延不斷)Endlos gießet sich die Breite (寬度無邊)Grundlos senkt die Tiefe sich (深度無底).這意思是說，我們的物理空間是三維的、無限的，可以用R3表示，R代表實數。文學家體認到的物理事實，都是堅實的物理事實。那麼，問題來了，為什麼我們的物理空間是三維的呢？或者說，我們的物理空間是三維的有什麼特別的益處或者講究嗎？一個不假思索就能得到的答案是，空間的維度應該足夠多，而從三開始才能算多。在中文裡，三人為眾，眾人的人數就是不定的 (indefinite) 了，而在一些太平洋島國的文字裡，數字乾脆就只有一、二、多。這說明三就給人以足夠多的感覺了，不過這麼解釋不夠科學。科學點兒的論證可以以拓撲學的面目出現。假設我們認定生命遵從熱力學第二定律，需要攝入物質以維持其有序結構，用大白話說就是生命的具體過程至少要包含吃喝和拉撒這兩種功能。從空間的角度來看，我們假設從吃喝所需的入口 (inlet) 到拉撒所需的出口(outlet) 的連接 (connection. 不懂這個詞不足以談廣義相對論和微分幾何) 是個一維的結構 (D=1，不能再少了)，那麼能夠承載這個一維結構的結構就至少是三維的。在二維空間裡，一個有限大小的生命個體如果要建立起一個從其表面上一點 (作為入口) 到另一點 (作為出口) 的連接，則這個連接會硬生生地把它剌成兩半兒 (圖1)。這說明原來說它是一個有限大小的生命個體的假設不成立。容許生命出現的空間至少應是三維的， Dmin=3。QED！圖1. 二維空間裡的有限生命無法建立起從其表面上一點到另一點的連接。物理的空間維度可以更高嗎，比如D=4？或者，既然自然選擇了D=3 ，那有什麼令人心悅誠服的講究呢？筆者順著這個思路一想，發現還真有。容筆者聲明，如下論證用的是科學且論證過程貌似科學，但論證過程未必嚴格。首先，有等式 3-2=1，和 3=2(2+1)/2 。這是想說什麼呢？這是想說彎曲流形在平直空間裡的鑲嵌問題。對於任意的一個n-維的黎曼流形 (簡單地理解為光滑的物體就行)，施萊夫利 (Ludwig Schläfli, 1814-1895) 於1873年猜測其一塊有限區域（原則上應假設其是彎曲的）的展開鋪平一般要求一個 n(n+1)/2 維的鑲嵌空間。我們假設這個關於鑲嵌空間維度的最低要求是正確的 (有興趣的讀者請去研究納什鑲嵌定理)。至少對於二維流形，比如球面，確實能夠在三維的平直空間裡展開鋪平。這意味著，在三維空間裡生活的我們，能用平直的皮革去縫製球面。此外，注意，3-2=1， 二維彎曲流形放在三維平直鑲嵌空間裡，還有一個自由度的冗餘，可以用於產生形變。這提供了驅動球類運動起來的可能性 (圖2) 。這個物理空間是三維的事實保證了我們能製作球且能享受各種球類運動的歡樂。如果物理空間是四維的，二維的球面當然可以鑲嵌入四維空間了，在其中還可以有兩個自由度的驅動。這下麻煩了，四維空間裡的二維球面運動會很複雜，估計絕大部分人就玩不來了——三維空間裡還有人玩不來球 (面) 呢。沒有球類運動的世界裡人類如何生存，難道讓大家整天研究幾何不成？圖2. 三維空間裡可以有一般拓撲意義上的球，還留出個自由度供其形變。再從量子力學的角度思考物理空間的維度該是多少。考察一個各向同性的源，管它發出去的是什麼東西。在遠離源的地方，這個發出去的東西的濃度就和在那個距離上以源為中心的球面之面積成反比。在三維空間中，球面的面積為 S=4πr2 ，故該源發出的東西在距離r處的濃度就滿足關係式 (圖3)，你也就明白了我們的牛頓萬有引力公式 和庫侖公式 是怎麼回事兒了。這兩個公式是一樣的，都是來自物理空間是三維的這個事實，只是年代不同未能寫成同樣的形式——你要注意到電荷有極性而質量沒有極性你就能忽然明白點兒什麼。這個不用管，這個 的關係才是重要的。現在考察氫原子體系的量子力學問題。庫侖力 對應的靜電勢能形式為 ，故氫原子的哈密頓量為 。在球坐標下，作為本徵值問題的量子力學要求的波函數，其解形式上可寫為 ， 其中的球諧函數 (球裝配函數，即可用來裝配出球形的函數！) 是角動量算符的本徵函數，徑向函數 是方程 的解，可解得能量本徵值為 ， n=1, 2, 3…。這個七拼八湊最後得到的能量公式能完美地解釋氫原子的光譜，讓人願意相信它是正確的。圖3. 三維空間裡點源發出的東西之濃度與距離的關係示意圖好了。上述解的過程中引入了三個量子數（nlm） ，加上自旋量子數ms (也是源於空間是三維的事實，見下)，共是四個量子數（nlm; ms）。這四個量子數的取值規律，使得對給定的n，（nlm; ms）的組合共有 2n2 個可能 (細節請讀者自行補足) 。2n2=2, 8, 18, 32(=18+14),…，這解釋了元素周期表的長相 (圖4)。那麼，如果空間不是三維的，而是比如說四維的，這氫原子的量子力學問題會是怎樣的呢？在四維空間裡，球面的面積為 S=2π2r3，氫原子的哈密頓量為 ，在這種情形下，連哈密頓算符H是否是自伴隨的，以及能量是否有下界，都是個依賴力常數k大小的問題。能量本徵值的解析解沒能得到，想得到一組量子數來解釋元素周期表那更是沒指望了！設想一下，在四維空間中生活的智慧生命面對一堆元素給列出了個周期表卻找不到理由，那得多鬧心？圖4. 一組量子數（nlm; ms）的取值規則解釋了元素周期表的長相
既然說到了自旋，就不得不談談轉動問題了。我們熟悉的角動量、自旋都有三個分量，還構成李代數， ，，這些都和物理空間是三維的有關。我們知道二維空間的轉動可以用複數 z= x+iy 以乘法來表示，也可以用實 2×2 單位矩陣 以乘法來表示。對於三維空間裡的轉動，哈密頓 (William Rowan Hamilton, 1805-1865, 就是哈密頓量的那個哈密頓) 試圖引入 w=x+iy+jz 形式的數 (triplet) 來描述，發現這種數乘法不封閉。此路不通。1843年，哈密頓靈機一動引入了四元數(quaternion)， Q=a+xi+yj+zk ，其中 i2=j2=k2=-1，ij=-ji=k 。所謂的 ij=k 反映的就是我們所說的右手定則，自然是關於轉動的。按照哈密頓的理解，四元數裡的 a 是標量 (可以拿去對應時間以發展幾何觀點下的相對論)，而 v=xi+yj+zk 就是我們熟知的三維空間裡的矢量，其轉動由和單位四元數的共軛算法得到，v'=qvq* (知道這些內容，再去看量子力學裡怎麼描述轉動就明白多了)。看起來很完美，對不？不過這裡埋了個雷。強調一句，含三維矢量(對應三維物理空間) 的四元數是可除的，而三元數、五元數，其矢量部分應該對應二維空間和四維空間吧，就不可能是可除的！不可除，那用處就不大了。注意，哈密頓把四元數 Q=a+xi+yj+zk 裡的 v=xi+yj+zk 叫作矢量，而我們用角動量、自旋描述轉動，一般書裡會說角動量是贗矢量。贗矢量，那是和矢量有啥不同的吧？可是，在處理轉動的時候，諸多論文、教科書又讓我們覺得好像是一回子事兒似的。問題出在哪兒呢？答案是， v=xi+yj+zk 根本就不是矢量，而是和角動量、自旋一樣應該是贗矢量，或者用幾何代數的語言，確切地說是二矢量 (bivector)。二矢量的物理歷史上被誤解為是矢量的物理，在三維物理空間裡切實發生過，那說明這個錯誤是有道理的，因為 3-2=1，二矢量和矢量在三維空間裡是互為對偶的。因為這個對偶關係，從前的電動力學就沒被正確表示過，這也是諸多電動力學的內容越解釋越令人糊塗的原因。設三維空間的三個正交基 (矢量) 為e1, e2, e3，則由其所構成的克利福德代數的八個基為1; e1, e2, e3; e1e2, e2e3, e3e1; e1e2e3 ，這其中的三個二矢量 e1e2, e2e3, e3e1 恰好是線性獨立的，且構成一個三維矢量空間。更重要、更碰巧的是，二矢量的對易式 (量子力學最講究這個的了) 也必然是一個二矢量，這個是李代數的基礎。角動量、自旋，以及未來規範場論裡遇到的那些場，都是要用李群和李代數處理的。如果是在非三維空間，其二矢量的對易式就不是二矢量，估計就沒有李代數和量子力學了。上述這些內容，構成我們物理學的主要內容，其成立的前提是物理空間是三維的。有趣的是，描述其中物理所用到的數學指向了三維空間的特殊性。假設，更高維的空間就不提了，我們是生活在四維空間中的，那能否還能發展出理解這個物理世界的數學呢？以筆者的理解，那是相當地不樂觀。這樣想來，還真幸虧我們是生活在三維空間的。有善於抬槓的讀者也許會說，四維物理空間的智慧生物所發展出的數學，也許是指向四維空間才是合理、碰巧得喪心病狂的呢？誰知道呢，也許吧！擴展閱讀：
背景簡介：本文作者曹則賢，現為中國科學院物理研究所研究員，著有《物理學咬文嚼字》 (四卷)，《至美無相》，Thin Film Growth，《一念非凡》, 《驚豔一擊》，《量子力學-少年版》，《相對論-少年版》，《雲端腳下》等。文章2021年2月4日發表於微信公眾號 返樸 （幸虧我們是生活在三維空間中：空間維度、數學與物理現實的巧合丨賢說八道），風雲之聲獲授權轉載。
責任編輯：楊娜