球、晶體結構、水立方能否與多面體建立聯繫？圓的月亮，平的湖面，造型奇特的建築，放大縮小的電視畫面……我們生活在這樣的幾何時期，即周圍的一切都是幾何學.圖形有具體的，有抽象的；有平面的，也有立體的。
下圖是1967年加拿大蒙特婁世界博覽會美國館設計的網格球頂，設計者是美國著名建築設計師富勒。
富勒的洞察力在於他看到了傳統的多面體、球和建築之間的聯繫，這一聯繫的具體化，便成了網格球頂，即把正二十面體表面的正三角形分成多個相同的正三角形，再將這些相同的正三角形內接於球體內。
人類對多面體的認識有悠久的歷史。古希臘著名哲學家柏拉圖研究多面體，稱作柏拉圖體，又稱正多面體，每面均由全等的正多邊形組成，並且要求從每個頂點出發的稜的數目相等。雖然多面體的家族非常龐大，但正多面體卻只有五種，在他的《蒂邁歐篇》一書中指出並討論只有如下的五種正多面體：
阿基米德多面體，是指由兩種或兩種以上的正多邊形面組成的多面體，要求每個頂點的組態均一致，且不包含柱體族（Prism） 和反柱體族阿基米德發現了不同表面的多面體，阿基米德多面體，又稱半正多面體，它共有十三種。阿基米德多面體均由正多面體演變而來，根據其形成的方法，主要可以分成四大類：截半多面體、截頂多面體、斜方截半多面體、扭稜多面體。
世界上有5種正多面體使人們作出某種玄學性質的聯想，德國天文學家克卜勒在他1596年出版的名著《宇宙的奧秘》中用正多面體的外接球與內切球的半徑來刻畫太陽系各行星之間的距離。一個多面體可被「吹成」一個足球.
對於多面體，人們最為熟悉且在教與學中最常提到的就是歐拉公式。
超人的毅力、非凡的才能、過人的數學直覺，成就了歷史上最多產的偉大數學家——歐拉。通過《從歐拉的數學直覺談起》這本書，我們可以從歐拉的教學直覺，以及直覺在科學發展中所起的作用得到一些寶貴的啟示。
給出兩個視圖，要求畫出第三個視圖或確定立方塊的塊數，這樣的問題答案常常不唯一.解題的關鍵是：俯視圖就是立體圖形最底層對應的平面圖形，主視圖中每列小正方形的個數就是俯視圖中每列數中最大的數值。
歐拉（1707-1783），被譽為「數學英雄」，「如果命運是塊頑石，我就化作鐵錘將它砸得粉碎」，這是數學家歐拉的鋼鐵誓言，他29歲時就解決了著名的哥尼斯堡「七橋問題」。
歐拉不僅在眾多科學領域都有所建樹，他還是歷史上最多產的學者之一，《歐拉全集》（1911~1994）有83卷之多。但是他的學術生涯並非一帆風順，因為他長時間飽受視力問題的困擾。1738年在聖彼得堡科學院進行的辛苦的地圖學工作使他右眼幾乎失明，1766年被查出患有白內障的幾個星期後，他近乎完全失明。即便如此，歐拉生命中最後17年的黑暗世界似乎並未影響他的學術生產力，在書記員的幫助下，歐拉在多個領域的研究反而變得更加高產，這歸因於他的心算能力和超群的記憶力。
例1．50個同樣大小的立方體木塊堆砌成如圖所示的形狀，現在從前、後、左、右和上面五個方向朝這堆木塊噴漆，則有______塊木塊是一點兒漆都噴不到．
【解析】根據從前、後、左、右和上面五個方向朝這堆木塊噴漆，得出每一層能噴到漆的立方體個數，即可得出答案．
∵50個同樣大小的立方體木塊堆砌成如圖所示的形狀，現在從前、後、左、右和上面五個方向朝這堆木塊噴漆，
∴從下面數第1層有12個立方體木塊會噴到漆，
從下數第2層有12個立方體木塊都噴到漆，
從下面數第3層有12個立方體木塊都會噴到漆，
從下數第4層有7個立方體木塊都會噴到漆．
∴一點兒漆都噴不到的木塊個數是：50﹣（12+12+12+7）＝7（塊）．
故答案為：7．
變式1．有一個稜長為5的正方體木塊，從它的每一個面看都有一個穿透的完全相同的孔（如圖中的陰影部分），則這個立體圖形的內、外表面的總面積是______．
【解析】：根據圖示可得：八個稜長為2的正方體分別在8個頂角，
12個稜長為1的正方體分別在12條稜的中間，
所以總面積＝（2×2×6）×8+（1×1×6）×12﹣4×12＝216．
故答案為：216
變式2．如圖，圖1、圖2、圖3是由稜長為1的正方體擺放而成的幾何體，按照這樣的方法繼續擺放，自上而下分別叫做第1層、第2層、…、第n層．
（1）當擺至構成幾何體的小正方體有2層時，求第2層的小正方體的個數，構成這個幾何體的小正方體的總數，幾何體的表面積．
（2）但擺至構成的幾何體的小正方體有n層時，記第n層的小正方體的個數
變式3．由幾個相同的邊長為1的小立方塊搭成的幾何體如下圖，格中的數字表示該位置的小立方塊的個數
（1）請在下面方格紙中分別畫出這個幾何體從正面看和從左面看的形狀圖；
（2）根據從三個方向看的形狀圖，這個幾何體的表面積為_____個平方單位；（包括底面積）
（3）若上述小立方塊搭成的幾何體從上面看的形狀圖不變，在小立方塊總數不變，位置可以改變的前提下，則搭成的不同的幾何體中，表面積最大的為_____個平方單位，（包括底面積）
【解析】：（1）如圖所示
（2）根據從三個方向看的形狀圖，這個幾何體的表面積為2×（5+4+3）＝24（平方單位），
故答案為：24．
（3）要使表面積最大，則需滿足兩正方體重合的最少，此時俯視圖為：
這樣上面共有3個小正方形，下面共有3個小正方形；左面共有5個小正方形，右面共有5個正方形；前面共有5個小正方形，後面共有5個正方形，
表面積為：1×（3+3+5+5+5+5）＝26（平方單位）．
故答案為：26．
例2.18世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）、面數（F）、稜數（E）之間存在的一個有趣的關係式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型如圖1，解答下列問題：
（1）根據上面多面體模型，完成表格中的空格，你發現頂點數（V）、面數（F）、稜數（E）之間存在的關係式是______-．
（2）一個多面體的面數與頂點數相等，有12條稜，這個多面體是______面體
（3）圖2足球雖然是球體，但實際上足球表面是由正五邊形，正六邊形皮料組成的多面體加工而成每塊正五邊形皮料周圍都是正六邊形皮料；每兩個相鄰的多邊形恰有一條公共的邊；每個頂點處都有三塊皮料，而且都遵循一個正五邊形、兩個正六邊形的規律，請你利用（1）中的關係式，求出一個足球中各有多少塊正五邊形、正六邊形的皮料．
【解析】：（1）四面體的稜數為6；正八面體的頂點數為6；關係式為：V+F﹣E＝2；
（2）由題意得：F+F﹣12＝2，解得：F＝7；
（3）設正五邊形x塊，正六邊形y塊，由題意得
所以正五邊形為12塊，正六邊形為20塊．
例3.1996年的諾貝爾化學獎授予對發現C６０有重大貢獻的三位科學家。如圖所示，C６０是由60個C原子構成的分子，它的結構為簡單多面體形狀，這個多面體有60個頂點，以每個頂點為一端點都有三條稜，面的形狀只有五邊形和六邊形，你能計算出C６０中有多少個五邊形和六邊形嗎？
解析：設分子C６０中五邊形和六邊形的個數分別為x，y，則C６０分子這個多面體的頂點數V=60，面數F=x+y，樓數E=（3×６0）／２=90，由歐拉公式V+F-E=2得60+x+y-90=2①.
另一方面，稜數也可由多邊形的邊數之和來表示，有（5x+6ｙ）／２=90②.
由①、②得x=12，y=20.
故分子C６０中有12個五邊形、20個六邊形。
例4雨不停地下著，如果在雨地裡放一個如圖①（單位：釐米）那樣的長方體的容器，雨水將它注滿要用1小時.
有下列A--E五個不同的容器（圖②），雨水注滿這些容器需多長時間？
解析：題中「雨不停地下著」這一條件，也可以解為雨均勻地下（這與日常生活中的降雨略有不同，生活降雨可能會時大時小，且並不均勻）.雨水從散口部分垂直入到容器內，我們就可以把「敞開面」（即圖中所示的陰影）叫做「接雨面」
圖①所示的長方體容器，「接雨面」與底面大小相同，雨將它注滿需要1小時，也就是說1小時後該容器內雨水的深度是10釐米，如果容的高度不止10釐米，而是無限的，那麼2小時後容器內雨水的深度將會是20釐，以後每過1小時雨水的深度就會增加10釐米；如果在長方體容器中垂直放入一很薄的擋板（其厚度忽略不計），將大容器分成兩個小容器（如圖③所示）.
小容器「接雨面」變小了，但每個小容器的「接雨面」與底面大小仍然相同，那麼1小時後，每個小容器內雨水的深度還是10釐米（因為忽略了擋板的厚度，它不佔原來長方體容器的容積）.通過上述分析與假設，我們可得出如下結論：只要容器的「接雨面」與底面大小相同，1小時後容器內雨水的深度就是10釐米.
根據結論，觀察圖②所示的五種容器，其中A、B、E三種容器的「接雨面」與底面大小相同
A容器高10釐米，雨水注滿該容器需要1小時；B容器高30釐米，雨水注滿該容器需要3小時；E容器高20釐米，雨水注滿該容器需要2小時。
剩下C、D兩種容器，它們的「接雨面」與底面大小不同，可先將其轉化為「接雨面」與底面大小相同的容器（如圖④所示）.此時，C容器的高變為30釐米，雨水注滿需3小時；D容器的高度為15釐米，雨水注滿需1.5小時。
從多面體到足球，從蜂房結構、氣泡的三重聯結到多面體的面，還有矗立在我們面前的美麗雄偉的水立方，它們都體現了多面體的美和奧妙。
而著名數學家、前武漢大學校長齊民友教授在其專著《從多面體到水立方》一書中亦深情地寫道：
「人類，特別是數學家，從大自然獲得靈感，而數學幫助他們找到隱藏在深處的數學規律和美，最後還是數學幫助他們又把大自然的美物化為種種具體事物，如水立方這樣的建築，使人們能夠生活在與大自然的和諧之中！這難道不是數學發現的真諦嗎？」