阿基米德多面體和它們的對偶卡塔蘭體,沒有柏拉圖多面體那樣廣為人知。柏拉圖多面體只有一種形狀組成，而阿基米德所多面體形式則有至少兩種形狀，且具有完全相同的頂點。共有十三種這樣的多面體。又因為每個多面體都有一個對偶多面體，故而還有十三種卡塔蘭多面體。共有二十六種。如果我們的二維字母表是三維形式，那麼這些多面體將會是我們語言偉大的代表。
阿基米德多面體
有五種阿基米德多面體（圖中底部的五個）是從通過將柏拉圖多面體截斷或「砍掉」一些頂點得到的。
柏拉圖多面體
一個多面體的對偶的頂點是其原多面體各個面的中心點。在柏拉圖多面體中，正八面體和立方體就互為對偶。正十二面體則是二十面體的對偶。最後五個是正四面體，轉動180度便是自己的對偶。
卡塔蘭多面體是阿基米德多面體的對偶。是1865年以比利時數學家尤金卡塔蘭命名，這些多面體是通過在阿基米德多面體的各個面上取中心點，而後用直線各個連接。
卡塔蘭多面體
阿基米德多面體和對偶的卡塔蘭多面體
每個多面體下的數字代表其表面的角度之和。因為截半立方體（左側藍紫相間的）是由8個三角形和6個正方形組成，其表面角度之和為3600度。每個三角形是180度的內角和，每個正方形則是360度。 (180° x 8) +(360° x 6) = 3600°
有趣的是，我們發現13中阿基米德多面體中的4個表面角度之和是7920度。7920看起來是個突然出現的頻繁數字，不僅是地球的直徑，也是組成我們DNA的遺傳密碼子單元的質子或中子數量。7920還與我們的測量單位緊密相關，7920英寸=1弗隆，7920英尺則是精確的1.5英裡。792這個數字還在聖經中出現，即新耶路撒冷的直徑，是7920000英尺。
正八面體是指柏拉圖多面體；就像被截斷的截半立方體是指阿基米德多面體一樣。柏拉圖多面體的角度之和等於14400度，正八面體的角度之和正好是它的十分之一（1440度）。同樣的，被截斷的截半立方體（16560度）比起阿基米德多面體角度之和（165600度）也是十分之一。
柏拉圖多面體中的基礎10
基礎--10，重複出現的「10」是柏拉圖多面體中顯而易見的。它們有精確的5 x10個面，9 x 10個邊。如果我們把這個「基礎10」設為一個符號，我們能發現「200」，即所有的構成三維物體的面、邊、頂點和形狀數量之和。「10」不只是一個數字，而是組織現實的一個概念。換句話說，10不僅僅是數字「10」因為就人們規定的來看這是我們不再使用數字「9」，或者說單個數字符號，或單個樣子，而在（單個數字）後面加上「無」的概念（即「零」）來創造出分數形、擴充性、和可伸縮性。
阿基米德多面體是使用這些經典的數形原型理論來從概念上創造出我們所知的從現實，數形，幾何學上地，音樂上地，和宇宙上使自然運行的更長遠的證據。
「一個人，在其生命中應當每天聽一些音樂，讀一些詩歌，欣賞一些美好的照片，為了不讓世俗的煩惱覆蓋住上帝賦予在人類靈魂中的對美的感覺」
―約翰·沃爾夫岡·馮·歌德
13個卡塔蘭立體的一個視角
另一個視角
卡塔蘭立體列表名稱
圖像
展開圖
對偶
面
邊
頂點
三角化四面體
截角四面體
12
18
8
菱形十二面體
截半立方體
12
24
14
三角化八面體
截角立方體
24
36
14
四角化六面體
截角八面體
24
36
14
鳶形二十四面體
小斜方截半立方體
24
48
26
六角化八面體
大斜方截半立方體
48
72
26
五角化二十四面體
(有兩種手性鏡像)
扭稜立方體
24
60
38
菱形三十面體
截半二十面體
30
60
32
三角化二十面體
截角十二面體
60
90
32
五角化十二面體
截角二十面體
60
90
32
鳶形六十面體
小斜方截半二十面體
60
120
62
六角化二十面體
大斜方截半二十面體
120
180
62
五角化六十面體
(有兩種手性鏡像)
扭稜十二面體
60
150
92
翻譯：Rick
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