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柏拉圖和克卜勒這類人之所以是智者，就在於他們模糊的認識在後來被發現包含著最深刻的道理。
撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）
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多面體的歐拉公式
在大自然中，液滴的外觀可能是光滑的曲面，小水珠幾乎是完美的球形，而晶體的外觀常常是由一些平坦的小面（facet）圍成的。比如，圖1中的天然金剛石顆粒，外觀就明顯呈現多個規則的小面。這樣的幾何形狀叫多面體，它的特徵包括頂點（vertex，0維）、 邊（稜，edge，1維）和面（face，2維）。如果多面體是凸的，即往外鼓的，則其頂點數V、邊數E和面數F要滿足一定關係，V-E+F=2。此乃所謂的歐拉多面體公式。從前用32塊皮子（20塊正六邊形，12塊正五邊形）縫製的足球，就有60個頂點和90個邊，滿足V-E+F=2。記x=V-E+F，稱為歐拉示性數（Euler characteristic）。筆者以為，對於多面體這個公式，引入體（3維）數S, 可寫為V-E+F-S=1的形式, 注意公式裡的幾何特徵的量，隨著幾何特徵的維度從0開始逐步增加，其前面的+/-符號是交替變化的。這種寫法的好處是，可以輕鬆將該公式推廣到其它維度的情形。比如二維情形，即對多邊形，應有V-E+F=1。當然了，因為F=1，它實際上是V-E=0，即多邊形的頂點數和邊數相同，這是人所共知的事實。容易想到，對於四維情形，即對polytype，有V-E+F-S+P=1, 其中P是四維空間體的數目。因為P=1, 相應的歐拉公式應為V-E+F-S=0。歐拉公式的證明可見文後所列的文獻。本章則要利用歐拉公式證明一個有趣的觀察事實，即只存在五種規則多面體，或稱柏拉圖多面體（platonic solids）。
圖1. 長成凸多面體的金剛石顆粒
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柏拉圖多面體
如果一個凸多面體的小面是全等的規則多邊形，則稱為規則多面體。這樣的規則凸多面體只有五種，即正四面體（tetrahedron, 小面為三角形）、正六面體（cube，立方體，小面為正方形）、正八面體（octahedron，小面為三角形）、正十二面體（dodecahedron，小面為五邊形）和正二十面體（icosahedron，小面為三角形）（見圖2）。柏拉圖時期人們就知道這五種規則多面體。在《蒂邁歐》一書中，柏拉圖猜測地上的四種元素風、火、水和土以及天上的quintessence（即第五種存在）就分別對應這五種形狀，因此這五種規則多面體又稱為柏拉圖多面體。具體地，正四面體對應火，正六面體對應土，正八面體對應氣，正二十面體對應水，而正十二面體對應quintessence 或者宇宙。整個天體為球體。後來，克卜勒用它們構造宇宙的模型（圖3）。柏拉圖和克卜勒這類人之所以是智者，就在於他們模糊的認識在後來被發現包含著最深刻的道理。這些多面體由球脫胎而來，數學上這些幾何體的對稱群是球對稱群SO(3)的子群。據信人類在四千年前就製作出這五種規則多面體來了（圖4）。不過，遠古人類為什麼要用石頭製作正多（曲）面體，十分費解。
圖2. 五種柏拉圖多面體
圖3. 克卜勒用球和正多面體構造的宇宙模型
圖4. 蘇格蘭出土的人類四千多年前用石頭製作的正多面體
03
只有五種柏拉圖多面體的證明
古人雖然感覺到只有五種柏拉圖多面體，但卻沒有證明。關於這個問題，基於歐拉多面體公式，可以得出一個非常簡單的證明。注意觀察正多面體的邊，每一個邊都是由兩個頂點規定了的，且每一個邊又都是由兩個面所規定了的—兩個頂點連一個邊，兩個面交於一個邊。 這樣，假設正多面體的小面是p-邊形（p>2），每個頂點連接著q條邊（q>2），則有pF=2E=qV。由歐拉公式V-E+F=2，可聯立求解得
可以得出如下解:
p=3, q=3，對應正四面體；
p=3, q=4，對應正八面體；
p=3, q=5，對應正二十面體；
p=4, q=3，對應正六面體；
p=5, q=3，對應正十二面體。QED.
或者，將pF=2E=qV帶入歐拉公式V-E+F=2，得關係式，進一步地有。因此， 的組合只有 , , , , 這五種可能。
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多餘的話
關於只有五種凸多面體的證明，當然還聯繫著別的數學，比如代數方程的解，比如群論。從實用性的角度來看，關於多面體性質的學問關係到對晶體學的理解，因此它是晶體學、固體物理進而材料科學的幾何基礎。晶體結構可看作是能充滿整個三維空間的某種多面體或者多種多面體之組合在空間中的排列。正四面體、正六面體、正八面體， 以及由正八面體截去六個頂角得到的十四面體，是晶體結構的主要構成單元。
一般的數學教育內容都會包含簡單的歐幾裡得幾何學。那裡面的幾何形狀，大體上都是一些多邊形，且是區分形狀和大小的。隨著人們對幾何認識的深入，還發展出了更高深的學問，拓撲學。 拓撲學，topology，關切幾何體的拓撲性質，其與大小、形狀無關而只和topos（可理解為某種相對位置關係）有關。幾何學的意義怎麼強調都不為過，幾何是物理學的語言，甚至有物理學幾何化的說法。拓撲學近年來深刻地影響了物理理論的發展，量子力學、相對論都納入了拓撲學的語彙。學習拓撲學常被視為畏途，不過若你體會了它的重要性，就不敢過其門而不入了。
再囉嗦一句，當我們學習某個內容發現其極其難以理解時，很可能是預備知識不夠。物理學是一條思想的河流，如果沿著其發展的脈絡探尋的話，會發現它雖然有些起伏跳躍，但不會有大峽谷式的罅隙。如果真有這樣的罅隙，那你的機會來了，remplir cette lacune, 科學發展的一個模式就是填補空隙。
建議閱讀
1. David S. Richeson, Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University Press (2008).
2. H. Graham Flegg, From Geometry to Topology, Dover (2001).