近代物理的兩大支柱是量子力學和（狹義）相對論。量子力學和（狹義）相對論是不分家的，它們之間有著千絲萬縷的聯繫，這一點可從電子自旋的相對論性窺見一斑。
撰文 | 曹則賢（中科院物理所研究員）
01
量子力學方程的三個層次
提起量子力學，人們就會想起薛丁格（Erwin Schrdinger, 1887-1961）方程
，以為薛丁格方程就是量子力學的基本方程。這個看法我曾有過，但我覺得它很不全面，如果不是很不正確的話。薛丁格方程於1925年底由薛丁格構造出來（那是個傳奇過程）並用於氫原子問題（相關內容於1926年分四部分發表），求得電子-質子體系中電子的能級滿足關係
。這個結果，再現了玻爾原子模型給出的氫原子中電子能級公式，但是更高明。玻爾的氫原子能級公式
是一個量子數 n 的函數，其中量子數 n 來自軌道量子化條件。雖然玻爾的氫原子能級公式很好地解釋了氫原子的光譜，但它依然是錯的。薛丁格的原子能級
是三個量子數的函數，量子數
是相關聯的。薛丁格方程是電子的量子力學方程的第一層次，波函數是單分量的。薛丁格1926年的論文的題目是「作為本徵值問題的量子化」，大概到1987年才算有人看出這題目的深意，雖然當時參與協助的外爾（Hermann Weyl）早就明白。
1927年，泡利 (Wolfgang Pauli, 1900-1958）為電子構造了泡利量子力學方程
，這裡的哈密頓量描述電子與電磁場之間的相互作用，
，其中（Φ，A）是電磁勢，σ是所謂的泡利矩陣（見下文）。泡利矩陣是2×2矩陣，因此此處的波函數必是兩分量的，即要求
。泡利量子力學方程是電子的量子力學方程的第二層次，波函數是兩分量的，稱為旋量（spinor）。兩分量波函數足以描述電子這樣的自旋為1/2的粒子。
1928年，狄拉克（P. A. M. Dirac, 1902-1984）構建了關於電子的相對論量子力學方程。這其中關鍵的一步，類似做因式分解 x2+y2= (αx+βy)2 ，要求 αβ+βα=0，α2=β2=1， 前面的那個反對稱條件是非常強的限制。一個合理的選擇是α，β應為矩陣。狹義相對論考慮的是四維時空，最簡單的α，β應為4×4矩陣。常規的狄拉克方程寫法是
，其中
，
， i=1, 2, 3 ，其中σi是泡利矩陣。鑑於γμ都是4×4矩陣，則此處的波函數是4分量的。狄拉克量子力學方程是電子的量子力學方程的第三層次，它會告訴我們更多關於自然的奧秘。
02
二值問題、自旋與泡利矩陣
原子物理的研究，比如銀原子束在非均勻磁場中的分裂問題（圖1），原子譜線的雙線問題，引出了二值問題（two-valuedness），就是哲學上的一分為二的問題。這個問題的理解最後著落到電子擁有自旋標籤這個結論上。自旋的問題博大精深，自旋的發現是一場思維歷險，有興趣的讀者可以深入了解一下。如何描述一個二值問題呢？如果表現的二值是等價的，則表現的是特徵值， 用矩陣表示的話，應該用本徵值為1和-1的2×2厄密特矩陣來描述。但是，本徵值為1和-1那就意味著這矩陣的跡（trace）總為零。如果自旋是類似角動量的物理量的話，那自旋還要滿足角動量的代數
。綜合這幾項考慮，表述的問題那就幾乎沒有多少選擇了。這個描述電子自旋角動量的數學對象，就是泡利矩陣：
；
；
。
泡利矩陣所包含的內容就多了去了， 其中之一是它引領我們認識到，粒子的自旋是相對論性的。
圖1. 著名的Stern-Gerlach實驗，一束銀原子經過非均勻磁場後總是被分為了兩束(1922)
03
相對論度規
考察某四維空間，其中的距離由洛倫茲度規定義，即對於矢量 x= (x0，x1，x2，x3) ，其模平方為
。這樣的空間就是狹義相對論的閔可夫斯基空間。所謂的洛倫茲變換A，就是保洛倫茲度規的變換，要求保證 |Ax|2=|x|2 成立。
群的同構方面的知識，告訴我們這個空間有其它的表示方式。考察洛倫茲群同 SL(2，C) 群之間的同構關係，每個矢量x= (x0，x1，x2，x3)，可以表示成一個2×2自伴隨矩陣（就是厄米特矩陣）
，
有
，即這個矩陣的矩陣值再現了閔可夫斯基空間的洛倫茲度規。這個2×2自伴隨矩陣一樣構成了一個四維矢量空間，其四個正交基為
；
；
；
。
。明眼人可能已經注意到了，σ1，σ2，σ3 就是前述的泡利矩陣，而它們出現在閔可夫斯基空間的洛倫茲度規的表示中。這讓人們隱約感覺到，自旋與狹義相對論有關。
04
狄拉克方程下的角動量守恆
狄拉克的電子哈密頓量為
。根據我們一直堅信的經典力學和量子力學的信條，一個物理量同哈密頓量之間的量子對易式（經典力學語境下是泊松括號）為零，則該物理量為守恆量。現在考察一個自由電子的角動量算符
（這就是經典的角動量定義）。可計算其任一分量同哈密頓量之間的對易式，
；可見
，也即自由電子的角動量不守恆。這是怎麼回事，一個自由的電子怎麼可能角動量不守恆呢？
如何消解這個矛盾？若假設電子具有大小/2的內稟角動量，即自旋角動量矢量為
，則電子的總角動量為J=L+S。考察S的任意分量隨時間的變化，發現
。這樣，我們得到了
，即算符 J=L+S 是守恆的。也就是說，若我們認定一個自由的電子其角動量應該是守恆的，那它就應該除了軌道角動
以外，還有個自旋角動量
。這就是人們常說的電子具有內稟角動量/2，或者說電子是自旋1/2的粒子。在量子力學語境下引入的電子自旋這個概念，竟然憑藉相對論性的狄拉克方程獲得了存在的合理性。
05
多餘的話
有一種說法，近代物理的兩大支柱是量子力學和（狹義）相對論。我們看到，量子力學和（狹義）相對論是不分家的。它們有著某些千絲萬縷的聯繫，只是在學問的深處才體現出來。
在給出相應的量子力學方程時，薛丁格1926年39歲，泡利1927年時27歲，狄拉克1928年時26歲，他們除了有極強的物理直覺以外，還有紮實的數學基礎。這方面尤以泡利最為突出，他中學畢業時即有足夠的數學水平研究廣義相對論。泡利引入了泡利矩陣，其實那個矩陣據信在數學裡出現過。但是在1925年，海森堡（Werner Heisenberg, 1901-1976）甚至沒聽說過矩陣，多虧了大師玻恩（Max Born, 1882-1970）敏銳地注意到了海森堡推導的關於譜線強度的內容與矩陣算法有關，這才有了所謂的矩陣力學（量子力學的一個別名）。數學，物理，很難說一個不懂數學的人做的物理算是物理。
關於物理的內容， 一方面描述自旋的泡利矩陣和洛倫茲度規有關係，另一方面（狹義）相對論量子力學方程的哈密頓量不能讓自由電子的角動量守恆，除非給電子的角動量加上內稟的角動量/2，也就是說相對論量子力學方程要求電子有自旋。這兩點應該說沒有人為地往一起湊的痕跡。巧合指向同一結果，巧合便有了確切的意義。類似的巧合還發生在量子概念引入的過程中。普朗克從瞎猜的熵與內能關係得到了黑體輻射公式， 又從玻爾茲曼的統計物理原理出發得到了黑體輻射公式。兩個完全不同的假設，循著完全不同的路徑，得到了同一樣的公式，那就不是一般的巧合。那裡的假設，比如
為整數的假設，就必須被認真對待了。
為整數，那
就是頻率為
的光的能量單元。光的能量有最小單元
，這個結論嚇壞了提出者本人，普朗克自己也沒想到啊—普朗克後來一直被譽為「違背自己意願的革命家！」
筆者還注意到一個問題，電子的量子力學波函數是由1分量而2分量而4分量這麼擴展的，想起了數系是由unarion（實數）而binarion（複數）而quaternion（四元數）擴展的。可數還有octonion（八元數）啊，總覺得沒有8分量波函數的量子力學方程，量子力學就不完整。量子力學不完整，這世界也不完美。
建議閱讀
1. Erwin Schrdinger，Quantisierung als Eigenwertproblem (量子化是本徵值問題)， Ann. Phys. 79, 361(1926)；79, 489(1926)；80, 437(1926)；81, 109(1926).
2. Wolfgang Pauli, Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons (磁性電子的量子力學), Zeitschrift für Physik 43, 601-623(1927) .
3. P. A. M. Dirac, The Quantum Theory of the Electron， Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 117 (778), 610. (1928).
4. Sin-itiro Tomonaga, The story of spin, The University of Chicago Press (1997).
5. S. Sternberg, Group theory and physics, Cambridge University Press (1994).
本篇取自曹則賢《驚豔一擊——數理史上的絕妙證明》一書，外語教學與研究出版社，2019.
來源：返樸
編輯：Quanta Yuan