怎樣解題:我的數學解題線路圖!

2021-02-19 中學數學教與學

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波利亞《數學解題表》

羅增儒：我與數學解題（學數學、學解題&教數學、教解題）


羅增儒《數學解題》水平劃分+實例說明！

普通人，在基礎知識掌握比較紮實的情況下，如果按照的科學思維方法，經過科學的訓練，是可以達到一個比較高的境界，接近那些擁有數學天賦的「學霸」學生的。之後一直有讀者在知乎和公眾號後臺問我，到底什麼叫做科學的思維方法？到底如何解題？數學的解題理論有很多專家都曾經表述過，比較出名的是波利亞的《怎樣解題》，國內的羅增儒也有相關的著作。我個人的解題思想受波利亞的影響很大，當然這裡不多說理論，我舉一些例子，來展示一下我的解題線路圖。這道題是一道典型的解三角形的題目，看到這道題目之後，我們首先要看看我們「武器庫」裡的工具：
就像我們炒一盤番茄炒蛋首先要把材料準備好一樣，我們首先腦海要有能夠支撐我們解題的工具，這依賴於我們平時的記憶，尤其是在解題中的記憶。而且你要知道哪些工具是最常用的，哪些是偶爾才用到的？在解題過程中首先選擇最常用的工具，所以我們再來看一遍題目：在題目中顯然只有一個條件，對於這種條件，這種題型，我們在武器庫裡最常用的工具只有兩個：正弦定理和餘弦定理，通過這兩個工具對等式變形，化角為邊或者化邊為角。這個時候一般有兩種判斷方法，一個是預判，一個是嘗試。當你知道應用什麼工具，但是不太確定時，首先做的是嘗試：顯然應用餘弦定理之後，正弦值無法處理，而且左側分母變成3次項，處理起來難度過高！
變換之後，顯然在形式上達到了統一，而且左側形式對稱，通分之後可以構造和差公式，右側角C與A+B互補，可以相互轉化！我們根本就沒有看第一問要幹什麼，直接根據條件推導出第一問要證明的結論，這就是分析題目的重要性！尤其是一些比較簡單的題目，當你能夠科學的分析，按照邏輯走，基本上條件分析到位，大案水落石出！這種思維過程在學霸眼裡會覺得小兒科，那是因為他們或者天生，或者經過訓練，將這種思維壓縮在一個很短的反應時間內，甚至形成了條件反射，但內部包含的思維流程一定是這樣的！區別無非是有的快，有的慢而已，我們要做的，就是多加訓練，把這種思維流程成為我們的本能！大家會發現，我把第二問變形了。這是因為對於比較複雜的題目，其實都是可以拆分成一小節一小節的，當我們完成一小節之後，要把我們所擁有的條件重新整理一下，再開始做下一節，在思維上也是一種節奏的調節。
我們重新審視條件，兩個條件中，顯然藍色方框裡框起來的條件是題眼！一道題目，出題人一定會給你一個突破口的，或者明顯，就像這道題，或者隱蔽，像一些比較難的題目。我們所要做的就是抓住題眼，然後庖丁解牛，就可以飛流直下三千尺，送我一夜至江陵了！這個條件顯然與我們武器庫中的餘弦定理在形式上非常一致：所以我們可以算出角A的餘弦值為五分之三，進而題目轉化為：
其實解題過程就是一個不斷轉化條件，進而轉化題目的過程。到這一步之後就是一個純粹涉及到三角恆等變形的題目，此時我們的武器庫中，正餘弦定理就退居次席了，和差公式，三角形內部角之間的關係這些武器的重要性就上來了！此時很多同學看到題目中的第一個式子，會立馬在腦海裡想到這樣一種變形方式：這種方式是解三角形恆等變形裡面非常常見的思路，但是在這裡是走不通的！有時候思維定式可以讓我們更快的解題，但有時候思維定式會對我們造成幹擾！首先題目中出現三個角，必然是要消除一個的，否則的確無法解題，之前的思路是消去角C，沒有走通！而題目中是要求角 B的，無法消除，那麼只能消去角A！到這裡之後，思路就完全打開了，利用和差公式將等式右側展開並代入角A的正餘弦值就可以了！
思路理清楚後，回過頭來我們還要注重一些細節，比如在利用基本關係式求角A正弦時，要強調角A在三角形中，強調角A的範圍！在我的解題觀裡，每一道數學題，都是一個出題人和解題人的遊戲，出題人試圖把條件藏的深一點，再深一點，曲折一點，再曲折一點，但是又要留出一點突破口給解題人！
而解題人就需要找到這個突破口，然後一點點切入，抽絲剝繭，轉化條件，再轉化條件，不斷去重新審視條件，逼近結論！當然這道題目比較簡單，並不能體現出解題過程中的複雜性！很多難一點的題目在思考的時候是很痛苦的，因為你可能一條路徑很難走通，換一條路徑可能還是很難走通，有時候做到比較複雜的步驟，會懷疑自己到底做的對不對！在以後我會找一道這樣的題目來進行分析，展示一下難題的解題線路圖。希望今天這篇文章對苦於解題沒有思路，不知道如何思考的同學有用！

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