上次課程，我們講解了調和映照的理論框架。這次課程，我們應用從度量曲面到帶度量的圖的調和映照來計算全純二次微分。全純二次微分和曲面上的葉狀結構和曲面間擬共形映射具有緊密的聯繫。
全純二次微分和葉狀結構的理論歷史發展如下：Hubbard-Masur （【7】1979）證明了全純二次微分和葉狀結構的等價性；Jenkin（【3】1957）和Strebel （【4】1984）證明了滿足特定組合、幾何條件的全純二次微分的存在性；Wolf（【5】1996）證明了全純二次微分可以由廣義調和映照得到；Schone-Gromove （【6】1992）證明了廣義調和映照的存在性和唯一性。
圖1. 黎曼面
給定帶度量的可定向曲面，對於任意一點，存在一個包含該點的鄰域，在此鄰域上存在所謂的等溫坐標（isothermal parameters），使得黎曼度量的局部表示為。我們可以用等溫坐標構成整個曲面的圖冊，如圖1所示，那麼所有局部坐標之間的變換函數都是複數值的全純函數（holomorphic function）。這樣的圖冊被稱為是共形圖冊，具有共形圖冊的曲面被稱為是黎曼面。有了共形圖冊，角度可以被定義。通常，最大的共形圖冊也被稱為是共形結構。
圖2. 虧格為二的曲面上全純一形式的基底
給定一張黎曼面，其共形圖冊為，坐標卡上的局部複數坐標為，那麼全純一形式具有局部表示
，
這裡是全純函數。如果兩個坐標領域彼此相交，，那麼
，
這裡
。
給定全純一形式，我們局部可以定義自然坐標，給定開集U，
這裡p是曲面上開集U內的任意一點，q是事先選取的基點，積分路徑包含在U內。共形映射將平面上的水平線和鉛直線拉回到曲面上，得到所謂的水平軌跡和鉛直軌跡。
同時，全純一形式誘導了帶有奇異點的平直度量，
的零點成為度量的錐點(Cone Singularity)，錐角為，如圖2所示。
，
這裡是全純函數。如果兩個坐標領域彼此相交，，那麼
這裡
。
黎曼面上所有的全純二次微分構成複線性空間，根據黎曼-羅赫定理，此空間的維數為。局部上看，給定全純二次微分和曲面上的任意一個鄰域，如果不包含的零點，那麼是全純一形式。那麼我們自然可以用的水平和鉛直軌線來定義的軌線。
圖3.全純一形式的軌線和全純二次微分的軌線對比
圖3顯示了全純一形式的軌線和全純二次微分軌線的對比，我們看到在正常點附近，兩者區別不大；單是在零點附近，兩者性狀差異較大。全純一形式的零點是8個方格粘在一起，全純二次微分的零點是6個方格貼在一起。實際上，全純一形式整體平方後也是全純二次微分，因此全純二次微分是全純一形式的自然推廣。
給定全純二次微分，我們可以定義其自然坐標為的自然坐標，其誘導的平直度量為
，
的零點成為度量的錐點(Cone Singularity)，錐角為。
圖4. 虧格為3的曲面上的葉狀結構
全純二次微分的水平軌跡構成了曲面的一個葉狀結構（Foliation），同樣的，其鉛直軌跡也構成了曲面的另一個葉狀結構。所謂葉狀結構就是將曲面分解為曲線的併集，每一條曲線被稱為是一片葉子。每片葉子沒有自相交，任意兩片葉子沒有交點。局部上看，相差一個微分同胚，葉子們彼此平行。每片葉子有可能是有限的圓，也有可能是無限的螺旋線。如果一個葉狀結構的所有葉子都是有限圓，則這一葉狀結構被稱為是有限的。
大致而言，曲面上兩個葉狀結構和彼此等價，如果存在曲面的自微分同胚，同胚映射將映到。那麼曲面上任給一個葉狀結構，則存在一個全純二次微分，的水平軌跡和等價。有限葉狀結構對應的全純二次微分被稱為是Strebel Differential。我們知道，所有的全純二次微分構成線性空間，根據黎曼-羅赫定理，此空間實維數為6g-6，這裡g是曲面的虧格。由此，如果我們掌握了全純二次微分的計算方法，理論上我們就可以構成所有的葉狀結構。
第一步：如圖8所示，程序自動、或者用戶指定3g-3條彼此分離的簡單閉曲線，我們稱之為可容許曲線系統。這些曲線將曲面分解成2g-2條「褲子」，每條褲子是一個虧格為0的曲面，帶有三條邊界。
圖5. 可容許曲線系統（Admissible Curve System）【2】
第二步：如圖6所示，我們構造所謂的褲子分解圖。每一條褲子抽象成中的一個頂點，每條可容許曲線對應中的一條邊。如果兩條褲子以一條曲線為界，則在中所對應的頂點被所對應的邊連結。然後，我們為中每條邊附上一個正數，代表邊的長度。那麼成為一個帶度量的圖，一個距離空間。
圖6. 褲子分解圖（Pants Decomposition Graph）。【2】
第三步：如圖7所示，我們構造從曲面到帶度量的圖的調和映射，，對應圖上的任意一點，其原像是曲面上的一條纖維，頂點的原像是奇異纖維，由此我們得到葉狀結構。圖上的度量給出了葉狀結構的測度，調和映射的Hopf微分即為可測葉狀結構對應的全純二次微分。
圖7. 曲面上的葉狀結構（foliation）【2】
第四步：如圖8所示，我們將曲面沿著奇異纖維切開，得到3g-3個圓柱面。圓柱面上的纖維可以看成是調和1-形式，我們計算其共軛的調和1-形式，構造全純1-形式。全純1-形式的平方給出了全局定義的全純二次微分，如圖8所示。
圖8. Cylindric Decomposition【2】
圖9. 全純二次微分。（holomorphic quadratic differential）【2】
References
1. N. Lei, X. Zheng, J. Jiang, Y.-Y. Lin and X. Gu, Quadrilateral and Hexahedral mesh generation based on surface foliation theory I, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2017 (316), 758-781.
2. N. Lei, X. Zheng, Z. Luo and X. Gu, Quadrilateral and Hexahedral mesh generation based on surface foliation theory II, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. In press, 2017.
3. J. A. Jenkins, On the existence of certain general extremal metrics, Ann.
595 of Math. 60 (1957) 440–453.
4. K. Strebel, Quadratic Differentials, Springer-Verlag, 1984.
5. M. Wolf, On realizing measured foliations via quadratic differentials of
harmonic maps to r-trees, J. D』Analyse Math (1996) 107–120.
6. M. Gromov, R. Schoen, Harmonic maps into singular spaces and p-adic
superrigidity for lattices in groups of rank one, Publ. Math. IHES 76 (1992) 165–246.
7. J.Hubbard，H.Masur，Quadrtic Differentials and foliations, Acta Math. (142) (1979) 221-274.