圖1. 波士頓三一教堂（姜健攝）。
2016年感恩節前夕，11月22日，老顧應邀在哈佛大學數學科學中心，既黑洞研究中心，做了一場報告；向丘成桐先生，諸多數學家和物理學家匯報了近期研究成果。許多新朋老友參加了報告會，特別是哈佛大學統計系的劉軍教授。報告涵蓋了離散曲面裡奇流的理論【4】，最優傳輸問題的凸幾何解法【5】，泰西米勒映射的計算方法【6】，以及這些理論方法在工程和醫學方面的應用【3】。比如幾何數據壓縮，醫學體數據的虛擬放大鏡，動態人臉曲面的表情捕捉等。老顧著重介紹了最近有關聖杯問題的突破【2】：應用全純二次微分（holomorphic quadratic differentials）誘導曲面葉狀結構（surface foliations），進而構造實體（solid）的六面體網格化（hexahedral meshing）。
丘先生對於全純二次微分計算方法的突破倍感欣慰，其實丘先生早在十五年前就要求老顧探索這一方向。那時的老顧知識儲備不夠，對於共形幾何的理解不夠透徹，理論功力和工程技巧不足以解決這個基本問題。更大的原因在於當時無法看清這一理論的實際應用前景，因而缺乏由衷的動力。雖然理論上全純二次微分在整個共形幾何中起到了支柱性的作用，但是在工程領域沒有任何人提出這一理論可能的應用前景。當時，老顧也不知道聖杯問題的確切提法，更無法想像聖杯問題和全純二次微分之間迂迴曲折，卻又至關重要的內在聯繫。但是丘先生一再堅持讓老顧加強這方面的理論修養，同時親自在哈佛數學系開課講授曲面葉狀結構理論，瑟斯頓（Thurston）的Teichmuller空間緊化理論，和McMullen運用葉狀結構研究動態系統的理論。多年之後，老顧終於意識到這些理論對於實際工程問題的指導作用，對於丘先生的高瞻遠矚無比欽佩。
2001年左右，依隨圖形處理器GPU (Graphics Processing Unit)技術的興起，紋理貼圖（Texture Mapping）技術極大地提高了動畫渲染的質量。紋理貼圖技術依賴於所謂的曲面參數化(Surface Parameterization)技術，亦即尋求曲面到平面區域的映射，要求此映射是微分同胚，同時儘量減小映射帶來的畸變。在計算機圖形學領域中，許多學者開始嘗試用共形映射（conformal mapping）來解決曲面參數化問題。當時人們只能計算拓撲圓盤到平面區域間的共形映射，例如經典的黎曼映照，即所謂的局部參數化方法。所謂的全局參數化，即計算拓撲複雜曲面間的共形映射成為萬眾矚目的核心問題。
丘先生指導老顧一舉解決了這一問題，其方法的核心就是全純一次微分（holomorphic One Form）【1】。全純微分是黎曼面理論中的核心概念，其定義佶屈聱牙，隱晦抽象，很難令初學者領悟，也很難向別人傳達精神實質。在日常生活經驗中，並沒有顯而易見的範例。歷史上，這一概念只存在於數學家頭腦之中，沒有任何人真實地看到過拓撲複雜曲面上的全純一形式。對於數學家如何發現這一深刻的幾何概念，令人大惑不解，對於人類智慧能夠到達的深邃程度，當時的老顧只有驚嘆。
丘先生指導老顧做出的算法使得全純一形式這一神秘概念變得隨意可算，平易近人。通過可視化技術，人們可以直接看到這一抽象概念，從而輕而易舉地建立直覺。全純一形式提供了計算曲面間共形映射的強有力方法。後來，眾多合作者們將這一方法打磨提煉，拓展推廣，逐步向許多工程和醫療領域滲透。十數年後，這種方法已在工業界和醫療界被廣泛採用，西門子，通用電氣，MathWorks，暴雪等很多公司都採用了全純一次微分的算法，應用於癌症診斷，科學計算和動漫動畫等實際問題。
圖2. 虧格為二的曲面上，調和一形式群的基底。
我們先從物理角度入手來理解全純一形式。考察空間中在遠離電荷處的靜電場，電場強度是一個矢量場。如果我們將一個帶電粒子沿著一條封閉曲線移動一周，則電場對帶電粒子所做的總功為零，粒子的電勢不發生改變。這意味著矢量場的旋量處處為零。同時因為矢量場內部沒有電荷，因此散度處處為零。旋量和散度處處為零的矢量場被稱為是調和場（Harmonic Forms）。
調和場對加法和數乘運算封閉，因此曲面上所有的調和場構成線性空間。霍奇定理（Hodge Theory）斷言，調和場構成的線性空間，或者阿貝爾群，和曲面的上同調群同構。調和場滿足橢圓型偏微分方程，上同調群是拓撲結構，因此霍奇定理連接了分析和拓撲兩大領域，其自然推廣是指標定理。圖2顯示了一個虧格為二的曲面上，調和場所構成的群的基底。
圖3. 虧格為二的曲面上全純一形式的基底。
給定曲面上的一個調和場，我們將切矢量逐點圍繞法向量旋轉90度，得到的另外一個矢量場也是調和場，這裡*被稱為霍奇星算子，代表旋轉90度的操作。被稱之為是的共軛調和場。我們將一對共軛的實調和場配對，得到復的全純一形式。
圖4. 虧格為一的曲面上的全純一形式。
圖3顯示的是虧格為二的曲面上所有全純一形式構成的複線性空間的基底。圖4給出了全純一形式的幾何解釋。給定虧格為一帶度量的封閉曲面，是其萬有覆蓋空間，為投影映射。投影映射在覆蓋空間上誘導的拉回度量為，則存在從萬有覆蓋空間到平面的共形映射，，如圖4右幀所示。那麼，這一共形映射的導數就是萬有覆蓋空間上的全純一形式，投射到原來曲面上，就是原來曲面上的全純一形式，如圖4左幀所示。高虧格曲面的全純一形式也有類似解釋，只是共形映射包含分支奇異點。如圖3所示，高虧格全純一形式的分支奇異點正是其零點，每個零點和8個方格相鄰。
圖5. 全純一形式誘導的水平和鉛直軌線。
共形映射 將平面上的水平線和鉛直線拉回到曲面上，得到所謂的水平軌跡和鉛直軌跡，如圖5所示。
圖6. 黎曼面。
經典的教科書定義全純一形式如下。給定帶度量的可定向曲面，對於任意一點，存在一個包含該點的鄰域，在此鄰域上存在所謂的等溫坐標（isothermal parameters），使得黎曼度量的局部表示為。我們可以用等溫坐標構成整個曲面的圖冊，如圖6所示，那麼所有局部坐標之間的變換函數都是複數值的全純函數（holomorphic function）。這樣的圖冊被稱為是共形圖冊，具有共形圖冊的曲面被稱為是黎曼面。有了共形圖冊，角度可以被定義。通常，共形圖冊也被稱為是共形結構。
給定一張黎曼面，其共形圖冊為，坐標卡上的局部複數坐標為，那麼全純一形式具有局部表示
，
這裡是全純函數。如果兩個坐標領域彼此相交，，那麼
，
這裡
。
這種定義簡潔明了，毫無歧義，但是對於初學者而言很難領悟到其真正意義。給定全純一形式，我們局部可以定義自然坐標，給定開集U，
這裡p是曲面上開集U內的任意一點，q是事先選取的基點，積分路徑包含在U內。同時，全純一形式誘導了帶有奇異點的平直度量，
，
的零點成為度量的錐點(Cone Singularity)，錐角為。
形式上，全純二次微分可以類似於全純一形式進行定義。給定一張黎曼面，其共形圖冊為，坐標卡上的局部複數坐標為，那麼全純二次微分具有局部表示
，
這裡是全純函數。如果兩個坐標領域彼此相交，，那麼
，
這裡
。
黎曼面上所有的全純二次微分構成複線性空間，根據黎曼-羅赫定理，此空間的維數為。局部上看，給定全純二次微分和曲面上的任意一個鄰域，如果不包含的零點，那麼是全純一形式。那麼我們自然可以用的水平和鉛直軌線來定義的軌線。
圖7.全純一形式的軌線和全純二次微分的軌線對比。
圖7顯示了全純一形式的軌線和全純二次微分軌線的對比，我們看到在正常點附近，兩者區別不大；單是在零點附近，兩者性狀差異較大。全純一形式的零點是8個方格粘在一起，全純二次微分的零點是6個方格貼在一起。實際上，全純一形式整體平方後也是全純二次微分，因此全純二次微分是全純一形式的自然推廣。
給定全純二次微分，我們可以定義其自然坐標為的自然坐標，其誘導的平直度量為
，
的零點成為度量的錐點(Cone Singularity)，錐角為。
圖8. 共形映射和擬共形映射對比。
全純二次微分在擬共形映射(Quasi-Conformal Map)和泰西米勒理論(Teichmuller Theory)中起到了核心作用。共形映射將源曲面上無窮小圓映成目標曲面上的無窮小圓，如圖8上面一行所示；擬共形映射將無窮小橢圓映成無窮小圓，如圖8下面一行所示。
圖9. 帶有特徵點的拓撲圓盤曲面間，一般不存在共形映射。
一般而言，拓撲複雜的曲面之間不會存在共形（保角）映射。如圖9所示，兩張帶有特徵點的人臉曲面，如果我們要求映射將每個特徵點映到相應的特徵點，則不存在保角變換，但是存在最為接近保角變換的擬共形映射。衡量擬共形映射接近共形映射的一種準則是考慮無窮小橢圓的偏心率（即長軸和短軸之比）。固定一個映射，令點p跑遍整個源曲面，點p處無窮小橢圓的偏心率記為，整個映射的最大伸縮商（Dilation）是所有各點處偏心率的最大者，
。
固定映射的同倫類，極值擬共形映射（Extremal Quasi-Conformal Map）是所有微分同胚中最大伸縮商最小者，
。
可以證明，極值映射的一個幾何特性是所有點處的無窮小橢圓偏心率都相等，亦即為常數。如圖10所示，圖9中帶有特徵點的曲面間存在唯一的極值映射，它將每一點處的無窮小圓映成具有相同偏心率的無窮小橢圓。
圖10. 帶特徵點曲面（圖9）間的極值映射，所有無窮小橢圓的偏心率相同。
那麼極值映射和全純二次微分有何關係呢？泰西米勒（Teichmuller）給出了如下石破天驚的定理：在通常條件下，如果拓撲複雜的黎曼面間的極值映射是，則在源曲面和目標曲面上各存在一個全純二次微分和，極值映射將的水平軌跡映到的水平軌跡，將的鉛直軌跡映到的鉛直軌跡，將的零點映到的零點。如果我們採用和的自然坐標，則極值映射是最簡單的線性映射：
。
這一結論簡單得無以復加，但卻精妙絕倫。全純二次微分和不僅依賴於源曲面和目標曲面的共形結構，同時也依賴於映射的同倫類。
我們考慮拓撲相同的所有黎曼面構成的空間，換言之所有共形結構構成的空間，歷史上被稱為泰西米勒空間（Teichmuller Space）。固定一個黎曼面，任選一個全純二次微分，我們保持鉛直軌跡不變，將水平軌跡均勻延長k倍，我們得到一個新的黎曼面。如此操作，我們可以窮盡所有可能的黎曼面。這意味著給定黎曼面上的所有全純二次微分構成的線性空間，是泰西米勒空間在
處的切空間。由此，我們看到全純二次微分在模空間理論中的根本作用。
圖10. 虧格為3的曲面上的葉狀結構。
全純二次微分的水平軌跡構成了曲面的一個葉狀結構（Foliation），同樣的，其鉛直軌跡也構成了曲面的另一個葉狀結構。所謂葉狀結構就是將曲面分解為曲線的併集，每一條曲線被稱為是一片葉子。每片葉子沒有自相交，任意兩片葉子沒有交點。局部上看，相差一個微分同胚，葉子們彼此平行。每片葉子有可能是有限的圓，也有可能是無限的螺旋線。如果一個葉狀結構的所有葉子都是有限圓，則這一葉狀結構被稱為是有限的。
大致而言，曲面上兩個葉狀結構和彼此等價，如果存在曲面的自微分同胚，同胚映射將映到。那麼曲面上任給一個葉狀結構，則存在一個全純二次微分，的水平軌跡和等價。有限葉狀結構對應的全純二次微分被稱為是Strebel Differential。我們知道，所有的全純二次微分構成線性空間，根據黎曼-羅赫定理，此空間實維數為6g-6，這裡g是曲面的虧格。由此，如果我們掌握了全純二次微分的計算方法，理論上我們就可以構成所有的葉狀結構。聖杯問題的關鍵就在於尋求特殊的葉狀結構。
整體來看，曲面上給定一族不相交的簡單閉曲線，這些曲線將曲面進行「褲子分解」，使得每個連通分支是帶3個邊界的拓撲球面，則存在一個Strebel Differential ，過零點的水平軌線將曲面分解成拓撲環帶，每個環帶的基本群都是由一條給定的閉曲線生成。誘導的度量為每個拓撲環帶配上了平直度量，後繼的四邊形網格化變得簡單直接。同時的零點結構非常標準，當表面四邊形網格向內拓展成六面體網格時，體內的奇異曲線的條數最少，結構最為簡單。這為體樣條的生成帶來了極大的便利。
當晚，丘先生在麻省理工附近的五月花餐館宴請大家，龍蝦石斑，牛蛙刀蜆，異常豐盛，足見丘先生的欣慰之情。席間，丘先生鄭重叮囑老顧團隊：「全純二次微分對於共形結構的模空間至關重要；下一步，我們應該探索高階全純微分的計算方法，以及射影結構的模空間。」
一句話再度令老顧血脈賁張，為未來十年指明了努力方向。雖然目前沒有人能夠看出射影結構模空間的實際應用前景，但是老顧相信歷史會再度重演。只要我們能夠算出大自然內在幾何結構的一部分，那麼遲早人類的技術能夠追趕上來，使得這一結構在實際領域中發揮根本的作用！
一年來的奔波勞頓，使得心靈又磨出一層老繭。感恩節降臨，終於有時間和靈魂獨處，內心也變得些許柔軟。回顧十數年來的求索歷程，宛若一名孤獨的朝聖者，跋涉在優勝美地，雖然歷盡艱辛，但是領略了大自然的雄奇壯麗。從數百年前黎曼開創的黎曼面理論，到阿爾福斯創立的擬共形幾何理論，再到泰西米勒發展的泰西米勒空間理論，直至Strebel的全純微分理論，一路走來，領悟了歷史上許多大師的深邃哲思，既到達過人跡罕至的原始山林，也直面過崢嶸萬仞的絕壁。為了將這些精美絕倫的抽象數學轉化為平易近人的算法程序，只是追隨前人數學家的足跡是遠遠不夠的，絕大多數的時候需要輾轉騰挪，獨闢蹊徑。生活的常態就是經年累月的殫精竭慮，冥思苦想。在抵禦外在物質世界誘惑的同時，更為困難的是抵抗自身猶疑畏懼，輕言放棄的心魔。這種精神上的苦修，如人飲水，冷暖自知。當看到一個個以前只能用思想觸及的幾何結構，漸漸可以用電腦程式來把握，一個個數學定理漸漸融入計算機科學，那種精神上的滿足，無法用語言來形容。
這條朝聖之路非常艱辛，這種苦修的學術之路和當代社會盛行的價值觀念背道而馳。首先這需要純粹數學和計算機科學兩方面的知識結構，理論證明和工程實現兩種不同的技巧，因此需要更長時間的學習和磨鍊，而這是以青春為代價。其次，目前在學術標準日益被商業準則同化的氛圍下，理論的深刻性和嚴格性讓位於含混唯像的實用性。在過去，我們花了兩年提出了高效的算法，卻花了五六年來證明這一算法的嚴格性，這在當今工程領域被視為是保守迂腐的做派。特別是目前青年學者的生存壓力空前巨大，在浮躁高壓體制下花費五六年來完善一套理論無異於學術自殺。很難想像會有年輕人為了美學價值而置身家性命於不顧，為了科學的純潔崇高而主動殉道。對於青年學生而言，研習抽象深刻的幾何理論無異於學習屠龍之術，青春耗盡而市場並無需求。相反的，有人只學習了表象的算法，雖然知其然卻不知其所以然，卻可以迅速創業，融資千萬。更有很多學者學生，苦心孤詣，不懈求索，但卻不被人理解。尤其是朋友家人用世俗的觀念來衡量他們付出的心血，埋怨責罵，嘲笑譏諷。在強大的世俗壓力下面，他們承受著難以想像的折磨和憤懣。這一切，每天都在老顧身邊的朋友中發生。
在過去的一年中，依然有許多學者學生認同老顧的理念，主動和老顧合作，與老顧一同不改初衷，苦苦求索。更有很多長輩師長，對於老顧的研究工作大力支持，無私幫助。對於這些志同道合的師長和朋友，老顧誠摯地感激他們的學術支持，更由衷地敬佩他們的人格力量。對於那些依然在苦苦支撐的青年學者學生，老顧相信他們艱苦卓絕後終成大器。滄海橫流，方顯英雄本色！
[1] Xianfeng Gu and Shing-Tung Yau. Global Conformal Surface Parameterization. First
Eurographics Symposium on Geometry Processing (SGP03), Pages:127-137, Aachen, Germany, June 23-25, 2003.
[2] Na Lei, Xiaopeng Zheng, Jian Jiang, Yu-Yao Lin and Xianfeng Gu, Quadrilateral and Hexahedral Mesh Generation Based on Surface Foliation Theory, Computer Methods
in Applied Mechanics and Engineering, In Press, 2016.
[3] Kehua Su, Wei Chen, Na Lei, Junwei Zhang, Kun Qian and Xianfeng Gu, Volume Preserving Mesh Parameterization based on Optimal Mass Transportation, Journal of Computer-Aided Design (CAD), 2016.
[4] Xianfeng Gu, Feng Luo, Jian Sun and Tanqi Wu, A Discrete Uniformization Theorem
for Polyhedral Surfaces, Journal of Differential Geometry, Accepted 2016.
[5] Xianfeng Gu, Feng Luo, Jian Sun and Shing-Tung Yau, Variational Principles forMinkowski Type Problems, Discrete Optimal Transport, and Discrete Monge-Ampere
Equations, Vol. 20, No. 2, pp. 383-398, Asian Journal of Mathematics (AJM), April 2016.
[6]Lok Ming Lui, Xianfeng Gu, Shing-Tung Yau: Convergence of an iterative algorithm for Teichmuler maps via harmonic energy optimization. Math. Comput. 84(296), 2823-2842, (2015)
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