顯示算法(explicit method) VS 隱式算法(implicit method)

        顯式（explicit）和隱式（implicit）這兩個詞在有限元分析中大家可能經常看到，特別是涉及到動力學分析時。但其實廣義的說他們分別對應著兩種不同的算法：顯式算法（explicit method）和隱式算法（implicit method）。所以不論在動力學或者靜力學中都有涉及到。

        我們都知道有限元分析FEA在計算微分方程（differential equations）時，由於計算本身的局限，比如計算機儲存的位數有限，以及方程本身的複雜性，計算機運用的是數值算法（numerical algorithm）來逼近真實解的。有限元分析中數值算法的基礎是歐拉法（Euler method），歐拉法又分為forward Euler method 和backward Euler method，這兩種方法被簡稱為顯式法（explicit method）和隱式法（implicit method）。

首先我們來看看這兩種算法的區別。

顯式算法（explicit method）（forward Euler method）

考慮常微分方程：

初始條件：

設為每一步的時間步長， 在Tn時刻，. （n=0,1,2,3...)，在T(n+1)時刻有：

所以在顯式算法中，T(n+1)時刻的值由T(n)時刻決定，也就是說當前時刻的值由上一時刻的值決定。

隱式算法（implicit method）（backward Euler method）

考慮同一個方程，在T（n+1）時刻有：

所以在隱示算法中，T(n+1)時刻的值不光由T(n)時刻決定，還由當前時刻T(n+1)決定。也就是說當前時刻的值由上一時刻和當前時刻的值共同決定。隱式算法往往需要求解二次方程。

我們來看看一個具體事例：

設常微分方程：

根據上面的方法，對於顯示算法有：

得出：

對於隱式算法有：

導出二次方程：

求解得：

所以很明顯，在隱式算法中，要求得K+1時刻的值，就需要求解二次方程的根。

關於收斂性

顯式算法的過程（藍色為真實值）

隱式算法的過程（每個時間步長中，通過Newton–Raphson method算法不斷進行收斂迭代，直至接近真實值為止）

時間步長（time integration）的依賴性（時間變量只在動力學中涉及）

運用上面的方法，我們以方程為例，通過數值算法求得f(u)。當把時間步長取為1時，顯式（explicit）和隱式（implicit）的結果如下圖所示：

        可以看出，隱式算法是絕對收斂的，每一步都沒有偏離真實值，而由於時間步長取得很長，所以顯式算法的結果遠遠偏離了真實值。

        當把時間步縮小到0.05時，顯示算法的結果如下圖所示：

        可以看出，當把時間步取得很小時，顯示算法可以很接近真實值。

        上面主要講了隱式和顯式算法的差別，下面我們來看看這兩種方法在動力學分析中的運用和差別。

動力學分析（Dynamics Analysis）

        靜力學（static）分析不考慮質量/阻尼和時間，而動力學分析需要考慮系統阻尼和時間的變化。

        首先大家要知道有限元分析FEA的輸出是什麼，雖然我們可以從仿真後處理中得到很多的結果，如應力，應變，位移等等，但本質上，所有的物理量都是通過先計算出節點處的位移，然後導出應變，再通過應變根據材料力學的理論導出其它物理量的，這一點大家要記住。

        在有限元分析中，動力學分析的基本方程是由如下方程導出和決定的：

[M]{a} + [C]{v} + [K]{x} = {F}

其中[M]是質量矩陣，[C]為阻尼矩陣，[K]為剛度矩陣，a為加速度，v為速度，x為位移，{F}表示外力。如果我們把方程寫為導數的形式，則有：

所以這裡的加速度，速度和位移是彼此關聯的，這很有用。

        這個方程大家可能不陌生，在前面講到模態分析時提到過這個方程，當時說的模態分析是不需要考慮質量和阻尼的，所以方程也較簡單，只考慮剛度。剛度的導出大家可能不怎麼熟悉，剛度在有限元分析中佔有很重要的地位，要了解剛度的一些性質，大家可以閱讀我先前分享的資料（點擊連結：學習資源分享：科羅拉多州立大學有限元學習資料，第一章節就是主要講解剛度的）。

隱式動力學（explicit dynamic）

        在動力學分析中，隱式分析直接計算位移x，而要求得位移x，就需要對剛度矩陣K進行求逆（inversion），而計算機在進行矩陣求逆時，需要耗費大量時間和計算機內存。可能有人會問為什麼需要對剛度矩陣K求逆呢，學過線形代數的都知道，要求位移x，那麼我們需要對方程做如下變動：

而，所以有：

所以對剛度矩陣K求逆是必須的。

顯式動力學（explicit dynamic）

        在動力學分析中，顯式分析先計算加速度a，再通過積分算法分別導出速度v和位移x。比如一旦在時刻n求得了加速度，速度會在n+1/2時刻計算出，然後位移在n+1時刻求出（相當於一個時間步長），然後通過位移導出應變（strain），在通過應變導出應力（stress）。

        可能有人會問，和隱式動力學類似，要求得加速度a，不是一樣要對質量矩陣M求逆嗎，是的，但這裡M的導出遠遠比剛度矩陣簡單很多，而且M可以簡化為對角矩陣，所以對M不需要直接求逆，通過簡單的矩陣乘法就可以得出逆矩陣。

計算的效率

        在動力學分析中，顯式法和隱式法在計算時間上各有優缺點

適用範圍

雖然在計算效率上各有優勢，但總的來說，在動力學分析中，主要還是採用顯式算法，因為在動力學分析中，如頻率響應分析，響應譜分析等等，往往時間很短，要獲得較好的結果，需要取很短的時間步長來捕捉瞬時的響應，這時候顯示動力學就很有用，而且在計算時間上也具有較大優勢。

隱式算法主要還是用於時間周期較長的非線性分析（Nonlinear analysis），屬於靜力學分析的範疇，當然也包括動力學分析裡面特殊的準靜力分析（quasi-static）。

     

         靜力學分析中是不會用到顯式算法的，動力學分析中主要採用顯式算法（特別是響應時間很短的問題），當然也可以採用隱式算法，但需要選擇較為合適的時間步長，當時間步長取得合適時，拋開計算時間，兩種算法的結果是相差不大的，同一個問題大家可以兩種方法都試一試，但總的來說，動力學分析大多數問題還是採用顯示算法的。

顯式算法的例子：

物體以高速（比如2000m/s）落在一個平板上，交互時間為0.2秒時

飛機著陸時的瞬時響應

隱式算法的例子：

鈑金成型過程的非線性分析