點差法分析中點及斜率（圓錐曲線）
Ø方法導讀
我們在解答圓錐曲線題目時,經常會碰到一些中點弦的問題,比如根據弦的斜率求中點坐標,根據中點坐標求弦的斜率,或者其它一些跟中點弦相關的計算和證明等等.按照常規思路,我們會聯立直線和圓錐曲線方程,消去或,然後通過韋達定理來處理中點弦的問題,這樣能得到我們所要求的結果,但計算量會比較大,一不小心就會算錯,造成失分.今天來介紹下圓錐曲線中的點差法,專門針對中點弦的問題進行簡化運算,快速得到答案.
Ø高考真題
【2018年高考Ⅲ卷理20】已知斜率為的直線與橢圓交於,兩點.線段的中點為.
(1)證明:;
(2)設為的右焦點,為上一點,且.證明:,,成等差數列,並求該數列的公差.
Ø解題策略
【過程分析】我們來分析下第一問,第二問不在本專題研究範圍之內,學生可自行總結.題目中出現了弦的中點坐標條件,證明的結論是弦的斜率範圍.根據正常思路,先設出直線方程為,代入中點坐標可得,聯立直線和橢圓,消去y得,然後將代入得到不等式,再結合中點的條件及的範圍得到的範圍,又或者先求出的表達式,然後結合的範圍分析求解. 解題思路上不算太複雜,套路也是常用的處理方式,但計算量大,非常容易算錯,費事費力,一不小心就會造成選擇不對,努力白費的局面,所以這個時候選擇一個好方法就顯得尤為重要,點差法就是專門處理這類中點弦的問題的快捷方法,通過將點的坐標代入曲線方程,然後作差能快速得到斜率和中點的關係,從而大大簡化運算,輕鬆得分.
Ø解題過程
(1)設,,則,,兩式相減,並由得.
由題設知,,,於是.①
又數形結合可知,故;
(2)由題意得,設,則,
由(1)及題設得,.
又點在上,所以,從而,.
∴.
同理,所以,
故,即,,成等差數列.
設該數列的公差為,則.②
將代入①得.
所以的方程為,代入的方程,並整理得.
故,,代入②解得.
所以該數列的公差為或.
Ø解題分析
從解析第一問中可以看出,我們用點差法來處理中點弦的問題是極為方便的,計算量小,思路也很簡單.設出弦與曲線的交點坐標,,因為點在曲線上,故代入曲線方程可得,,然後作差,作差是點差法的精髓所在,作差之後我們可以得到,平方差公式展開得,然後根據兩點間的斜率公式和中點坐標公式,代入就可以得到,表達式中中點坐標和弦的斜率關係一目了然,簡明扼要,然後在根據的範圍得到的範圍. 所以點差法用在弦的中點和斜率關係的求解上絕對可以起到事半功倍的效果,沒有了冗長的計算,學生學起來不但輕鬆了,而且學習興趣也會大大提高,增強學習數學的自信心.
Ø拓展推廣
點差法:
設直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為,,將這兩點代入圓錐曲線的方程並對所得兩式作差,得到一個與弦的中點坐標和斜率有關的式子,我們稱這種代點作差的方法為「點差法」.
結論:
結論1:斜率為的直線與橢圓交於,兩點,中點為,則.
結論2:斜率為的直線與雙曲線交於,兩點,中點為,則.
結論3:斜率為的直線與拋物線交於,兩點,中點為,則.
若圓錐曲線的焦點在y軸上,結論如何,請同學們結合點差法自己動手推理試試.
點差法應用題型:
1.以定點為中點的弦所在的直線方程
2.過定點的弦和平行弦的中點坐標和中點軌跡
3.圓錐曲線上兩點關於某直線對稱問題
4.求與中點弦有關的圓錐曲線的方程或離心率等
5.與中點弦有關的證明定值,求參數範圍,存在性問題等等
注意事項:
利用點差法時,有時要驗證求出的結果是否滿足直線與曲線相交的要求,可用判別式分析.
舉例說明:
已知雙曲線的方程,問是否存在被點平分的弦,如果存在,求出弦所在的直線方程,如果不存在,請說明理由.
按照常規的解法:設直線的方程為,與雙曲線方程聯立,
由得,且,但是由「點差法」仍然可得到一條直線的斜率,顯然不符合題意,由此可見「點差法」是有局限性的.
事實上,
(1)若中點在圓錐曲線(包括圓)內部,則滿足條件的直線必定存在;
(2)若中點在圓錐曲線(包括圓)上,則滿足條件的直線必不存在;
(3)若中點在圓錐曲線(除雙曲線外)外部,則滿足條件的直線必不存在.
特別地,對於點在雙曲線的外部時,滿足時直線必定存在,否則一定不存在(當點在坐標軸上時屬於特殊情況,應當特殊考慮).
拓展:定比點差法
圓錐曲線中涉及「中點、中點弦」等問題可以考慮使用「點差法」. 有時問題中不出現「中點」,而是「定比分點」,這時可以考慮使用「定比點差法」. 定比點差法與點差法類似,都是根據某兩點在圓錐曲線上,則這兩點滿足曲線方程,然後作差. 定比點差法代點後一個等式不變,另一個等式兩邊同乘以,再相減.
設,在二次曲線上,則,兩式作差得,
即①,
若,則,
即②,將②代入①得③,然後根據條件進行相應分析即可.
變式訓練1
已知直線與拋物線交於,兩點,則線段中點坐標是__________.
變式訓練2
已知雙曲線,經過點能否作一條直線,使與雙曲線交於、兩點,且點是線段的中點.若存在這樣的直線,求出它的方程,若不存在,請說明理由.
變式訓練3
已知橢圓,
(1)求斜率為的平行弦的中點軌跡方程;
(2)過的直線的橢圓相交,求被橢圓截得的弦的中點軌跡方程;
(3)求過點且被點平分的弦所在直線的方程.
變式訓練4
已知過點的直線與橢圓且相交於,兩點,中點坐標為且(為坐標原點).
(1)求直線的方程;
(2)證明:為定值.
變式訓練5
如圖,在中,,,,橢圓以,為焦點且過點,點為坐標原點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若點滿足,問是否存在不平行的直線與橢圓交於不同的兩點,且,若存在,求出直線的斜率的取值範圍,若不存在,說明理由.
答案
變式訓練1
設中點坐標為,則 ①
又由點差法知,即 ②
由①②知:,故所求為.
變式訓練2
見解析
設存在被點平分的弦,且,,
則,.
∵點在曲線上,∴,,
兩式相減,得,∴,
故直線.
由消去y,得,,方程無解,故不存在這樣的直線.
變式訓練3
見解析
(1)設這些平行弦的方程為,弦的中點為.
聯立直線方程和橢圓方程:,消去y得,
因此,,∴,
的橫縱坐標是,,,消去得平行弦的中點軌跡方程為:,.
(2)設弦的端點為,,弦的中點為.
∴,
∴,∵,因此,
化簡得.(包含在橢圓內部的部分)
(3)由(2)可得弦所在直線的斜率為,因此所求直線方程是:,
化簡得:.
變式訓練4
見解析
(1)設,,∴,
①-②得,∵中點坐標為,∴.
∴直線的方程為,
聯立消去y得③
於是,
∵,∴,∴直線的方程為.
(2)由③得:,,
由,即,即,
化簡得,則,
即,所以.
變式訓練5
見解析
(1)依題意,,,所以,故,∴方程為.
(2)點滿足,故.
設的中點為,∵,
則,此條件涉及弦的中點及弦的斜率,故用「點差法」.
設,,,直線的斜率為,則,①
,②
由①-②得:.
又∵,則,∴,從而解得,,點在橢圓內,則且.