圓錐曲線綜合題,證明線段中點,這樣的思維該學一學

2020-12-14 孫老師數學

高考數學，圓錐曲線綜合題，證明線段中點，這樣的思維該學一學。題目內容：已知拋物線C：y^2=2px過點P(1,1)，過點(0, 1/2)作直線L與拋物線C交於不同的兩點M,N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交於點A,B，其中O為原點；(1)求拋物線C的方程，並求其焦點坐標和準線方程；(2)求證：A為線段BM的中點。

這道高考題有一定的挑戰性，大家一定要細細體會本題是如何一步一步轉化到使用韋達定理來解決問題的，理解並掌握這種轉化的數學思想會對你的解題能力有非常大的提升。

和多數大題一樣，第（1）問沒什麼可講的。

根據題意畫出圖形有利於更直觀地來思考問題。首先要學會分析題目中的重點，對於本題來說，直線L和拋物線相交是題意的核心，它也構成了整個圖形的框架，所以它們的兩個交點M和N是最重要的兩個點，故先設M和N這兩個點的坐標，之後其它點的坐標應該緊緊圍繞這兩個點的坐標來設定。因為A、B、M這三個點橫坐標相同，所以要證A為線段BM的中點，只需證①式成立。

能想到把①式中的yA和yB用M和N的坐標來表示是解決本題的關鍵點，因為只要①式中只含有M和N的坐標，咱們就可以通過把直線L與拋物線方程聯立來證明等式①成立。如下，①式經過等價變形得到②式，現在只需證明②式成立。

下面要做的是把②式中的y1和y2使用x1和x2代換，這樣就可以藉助韋達定理來證明等式成立。如下，經過一些列的等價轉化，最終把問題等價轉化為證明④式成立，明顯剩下的任務就是藉助韋達定理來證明。

典型的使用韋達定理的過程如下。

把⑤式代入④式左邊的表達式即可證的等式④成立。

本題也可以使用下面的方法來解決，⑦式就是第一種方法中的④式，剩下的過程和方法一相同。

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