如何猜測並證明三條線段間的數量關係?

如何猜測並證明三條線段間的數量關係？

2020年北京中考數學第27題，構造三角形全等的經典考題

原題

在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中點．E為直線AC上一動點，連接DE．過點D作DF⊥DE，交直線BC於點F，連接EF．

（1）如圖1，當E是線段AC的中點時，設AE＝a，BF＝b，求EF的長（用含a，b的式子表示）；

（2）當點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數量關係，並證明．

解

（1）∵D是AB的中點，E是AC的中點，

依中位線定理，DE∥BC．

∴∠D＋∠DEC＝180

（兩直線平行，同旁內角互補）．

∴∠DEC＝90．

又∵∠EDF＝90，

∴DF∥AC（同旁內角互補，兩直線平行）．

∵DA＝DB，

依平行線分線段成比例（基本事實）得

FC＝FB＝b．

(註：第1問為送分題，毫無新意.)

（2）依題意補全圖形如答圖1：

證明如下：

如答圖2，過點B作BF的垂線與ED的延長線相交於點G，連接FG．

∵∠GBC＝∠BCE＝90，

∴BG∥CE．

∴∠BGD＝∠AED．

在△BGD與△AED中，

∵∠BGD＝∠AED，

∠BDG＝∠ADE，

DB＝DA，

∴△BGD≌△AED．

∴DG＝DE，且BG＝AE．

(註：全等得出的這兩個結論都有用.)

∵DF⊥DE，DG＝DE，

依垂直平分線的性質得GF＝EF．

評析

本題證明過程多次用到平行線的判定與性質，可見打好基礎很重要．

因為線段AE，EF，BF不在同一個三角形內，所以我們要添加輔助線構造兩個三角形全等．通過等量代換將三條線段置於同一個三角形．

添加輔助線有一定的難度，但是不是太難.

一般地，如果三條線段不成和差關係，那麼把它們轉化為三角形的三邊再進一步探究的可能性是很大的.

通過構造兩個三角形全等，實現線段的代換，最後利用勾股定理證明三條線段之間的數量關係，中考中這類的題目並不多見，值得玩味與收藏！

拓展

實際上，當∠EDF繞點D逆時針旋轉的過程中，這三條線段之間的數量關係始終不變．

如答圖3，點E，F分別在線段AC，BC上；

如答圖4，點F與點C重合時，點E仍在邊CA上；

如答圖5，當點E與點A重合時，點F在邊BC右側的射線上．