靈活運用全等三角形尋找線段間的數量關係

2020-12-13 愛數學做數學

靈活運用全等三角形尋找線段間的數量關係

在伍家崗區2019年秋季學期八年級數學期末考試第24題中，許多學生面對題目中紛繁的全等三角形，在選擇合適全等中花費了較多時間，甚至沒能找準需要的那一對，導致解題失敗。全等三角形是八年級數學幾何章節中最為重要的部分，基於全等三角形的線段數量關係，也是考察重點內容，因此，如何選擇正確，是解題時必須研究的問題。

題目

如圖1，在平面直角坐標系中，△AOB為等腰直角三角形，OB=4

(1)直接寫出A點坐標(___,___)；

(2)如圖2，在圖1基礎上，C是邊OB上一點，連接AC並延長至D，使得∠ADB=45°，連接OD、BD，過O作OE⊥AC，垂足為E，判斷OD與BD的位置關係，並說明理由；

(3)如圖3，在(2)的條件下，如果AO=OC，延長OE交AB於F，求△AOF與△BCD的面積比.

解析：

(1)過點A向x軸作垂線AM，則△AOB被AM分成兩個較小的等腰直角三角形，如下圖：

基於八年級知識，容易得到OB=2OM=2AM，因此得出點A坐標為(2，2)；

(2)典型的「一線三直角」模型，不過缺了一條垂線，讓我們把它補上，作BG⊥AD於G，如下圖：

觀察圖中△AOE和△BAG，它們正好是一對全等三角形，證明如下：

∵等腰直角△AOB

∴AO=BA，∠OAE+∠BAG=90°

∵OE⊥AD

∴∠AOE+∠OAE=90°

∴∠AOE=∠BAG

在△AOE和△BAG中

∠AOE=∠BAG，∠AEO=∠BGA=90°，AO=BA

∴△AOE≌△BAG(AAS)

∴AE=BG，OE=AG

∵∠ADB=45°

∴∠GBD=45°

∴BG=DG

∵AG=AE+EG=DG+EG=ED

∴OE=ED

∴∠EDO=∠EOD=45°

∴∠ADB=∠EDO+∠ADB=90°，即OD⊥BD

利用全等三角形得到兩個等腰直角三角形，分別是△BDG和△ODE是解決本小題的關鍵。

(3)三角形的面積比，在八年級階段，通常使用面積公式，將面積問題轉化成線段數量關係問題，首先對△AOF進行分析，它的底和高分別是OF和AE，借用上一小題的輔助線，我們可得到△BCD的底和高分別是CD和BG，它們之間是否存在聯繫，便是我們需要思考的問題。

新增條件是AO=OC，因此△AOC為等腰三角形，而OF恰恰是它的對稱軸，根據三線合一可得∠AOF=∠BOF=22.5°，在(2)中我們已經證明了等腰直角△DOE，所以可得∠DOB=45°-22.5°=22.5°，此時度數為22.5°的角已經非常多了，讓我們理清，分別是∠AOF=∠BOF=∠DOB=∠BAG，在尋找合適的全等三角形以便聯繫上述底與高時，儘可能將其轉換到一條直線上進行比較。在這個原則下，我們可將OF轉換到AD所在直線上，因此可作BH⊥AB，交AD於點H，如下圖：

現在觀察△AOF與△BAH，很容易證明它們全等了，我們的問題已經解決了一半，OF=AH，而兩個高AE和BG已經證明它們相等了，因此接下來，我們集中精力來解決AH與CD的數量關係。

AH=AC+CH，而根據三線合一，我們知道AC=2CE，於是CH=2CG嗎？

很明顯OA∥BH，於是∠BHC=∠OAE，而∠OAE=∠OCE=∠BCG，於是∠BCG=∠BHC，即△BHC也是等腰三角形，所以根據三線合一，CG=GH，看來CH真的等於2CG。

繼續推導，AH=2CE+2CG=2(CE+CG)=2EG，咦？是否EG會等於CD呢？

CD=CG+DG=CG+BG=CG+AE=CG+CE=EG，看來它們也是真的相等，推導完畢，過程書寫如下：

∵AO=OC

∴OF平分∠AOC，AE=CE

∴∠AOE=∠COE=22.5°

∵∠AOE=∠BAG

∴∠BAG=22.5°

∵等腰直角△DOE

∴∠EOD=∠EDO=45°

∴∠BOD=22.5°=∠BAG

在△BAD和△COD中

∠COD=∠BAD，∠CDO=∠BDA，OC=OA=AB

∴△BAD≌△COD(AAS)

∵∠OAB=∠ABH=90°

∴∠OAB+∠ABH=180°

∴AO∥BH

∴∠OAE=∠BHG

∵∠OAE=∠OCE=∠BCG

∴∠BCG=∠BHG

∴BC=BH

∴CG=GH

∵AH=AC+CH=2(CE+CG)

又∵CE=AE=BG=DG

∴AH=2(DG+CG)=2CD

∴OF=2CD

而AE=BG

∴S△AOF:S△BCD=1:2

解題反思

嚴格來講，難度適中，其實圖中除了所用到的全等三角形之外，還有△AEF≌△BGC，當然也可以有另外的證明方法。過程對於八年級學生來講比較多，寫清這麼一大段並不容易。主要考察學生對於全等三角形的熟練程度，以及看到面積比之後能否迅速想到轉換到底與高之間的數量關係上去。如果主體思路是正確的，無論採取什麼方法，都能順利走到終點，作為期末壓軸題，也是不小的考驗。

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