蜂巢結構中的數學問題

2021-02-08 蘇數探航

關注公眾號,並在公眾號中回復「蜂巢」可獲取GeoGebra課件的下載地址

在剛剛結束的蘭州高三一診試卷中出現了蜂巢問題,事實上蜂巢結構中蘊涵著豐富的數學問題,在湘教版普通高中教科書《數學·必修·第二冊》中便有相應的內容,著名數學家華羅庚先生曾經專門寫過一本科普讀物《談談與蜂房結構有關的數學問題》

從外表看,蜂巢巢房的房孔是平整的正六邊形開口,一個個緊密排列,相鄰巢房共用同一個巢壁,巢房的壁很薄,平均不到0.1mm.而且每個巢房並不是正六稜柱形,因為其底部(稱之為巢基)不是平的,而是由三個相等的菱形組成的錐形(不妨稱這樣的巢房為尖頂六稜柱形,換個角度也可稱為尖底六稜柱形),每個菱形的鈍角均為109°28',銳角均為70°32',每個巢房的體積幾乎都是0.25cm3,相對的兩個巢房的巢基相互嵌合,以承受最大的負荷力.

有研究表明,蜂巢的構造是自然界的最佳選擇,即材料最省而容積最大,或者說用同樣多的材質構造了最大容積的蜂房.那麼巢房巢基為什麼是三個菱形組成的錐形(也稱為尖頂六稜柱形)到底是個什麼形狀?更進一步的,幾個尖頂六稜柱形是怎樣上下嵌合在一起的?

當年,華羅庚先生也曾有過同樣的困擾,在《談談與蜂房結構有關的數學問題》中,有著詳細的記載,「既說『蜂窩是六角形的』,又說『它是菱形容器』,所描述的到底是個什麼樣子?六角形和菱形都是平面圖形的術語,怎樣用來刻畫一個立體結構?不懂!困惱!不要說解問題了,連個蜂窩模型都摸不清.問題釘在心上了!這樣畫,無法在腦海形成一個形象來,設想出了幾個結構,算來算去,都與事實不符,找不出這樣的角度來.」華先生後來還是看到了蜂房實物,才恍然大悟的,華老後來在書中是以六稜柱的鉛筆為例來介紹巢房模型的,「未削之前,鉛筆一端的形狀是正六角形ABCDEF,通過AC,一刀切下一角,把三角形ABC(其實是三稜錐)搬置ASC處;過CE、EA也如此切兩刀,所堆成的圖形就如圖那樣了.」事實上,這還只是單個的巢房.

當然,我們現在有了GeoGebra軟體,就不需要象華老那麼麻煩了.事實上,在3D繪圖區,你可以從不同側面考察尖頂六稜柱形與正六稜柱的區別和關聯,改變P點的位置可以看到不同的尖頂形狀的差異.

以上我們證明了尖底六稜柱的表面積最小(在與正六稜柱體積相等的前提下),若想說明這樣的蜂巢結構用料最省,還需檢驗這樣的巢房巢基能否無縫嵌合,即上下相對擺放的兩個尖底六稜柱的一個錐底菱形側面可以做到完全重合.

如何理解這種嵌合?看看GeoGebra的3D繪圖區效果演示便可明了,如圖上尖底六稜柱與下尖底六稜柱的一個面重合.再從三視圖的角度可以進一步明確,俯視圖說明菱形的大小一致,而左視圖可以看到面的重合.

蜂巢巢房在仿生學中有著廣泛的研究,但最早研究蜜蜂巢房的學者不是昆蟲學家,而是數學家和天文學家.

早在1千多年前,希臘數學家pappus(活躍於公元300年~500年前後)在其8卷巨著《數學彙編》的序言中就提出了蜜蜂的機敏問題,並對蜜蜂巢房有精彩的描述.

天文學家Kepler(1571-1630)也曾指出蜜蜂巢房的角應該和「斜方十二面體」的角一樣,但他的看法並未引起當時人們的重視.巴黎天文臺的創建者Maraldi(1712)在「蜜蜂的觀察」一文中第一次明確地記載了蜜蜂巢房底部菱形的鈍角為109°26'銳角為70°34',但他並未說明這一數據是如何得出的.歐洲早期昆蟲學的創始人之一Réaumur(1683-1757)曾猜想用這樣的角度建造巢房在相同的容積下最節省材料,於是他便向瑞士數學家Koenig(1712-1757)請教,Koenig證實了Réaumur的猜想,並計算出巢房底部菱形的鈍角為109°26,銳角為70°34',這一結果Koenig(1739)以簡報的形式發表,也沒有述及所用的數學方法.1743年蘇格蘭數學家Maclaurin重新研究了巢房的結構,他完全用初等幾何方法得出最省材料的菱形鈍角為109°28'16″,銳角為70°31'44″,與Koenig的結果有2'之差.後來,由於一次因使用了錯誤的對數表造成輪船遇難,才發現Koenig也是使用了錯誤的對數表而算錯了巢房的角度.

著名數學家華羅庚1979年曾著有《談談與蜂房結構有關的數學問題》一書,介紹了有關的多種解法並加以引申,提出了一些值得思考的問題.正如華先生在書的引言中所提及的那樣,「人類識自然,探索穹研,花明柳暗別有天,譎詭神奇滿目是,氣象萬千.往事幾百年,祖述前賢,瑕疵訛謬猶盈篇,蜂房秘奧未全揭,待咱向前.

相關焦點

  • 瘋狂的蜂巢——設計中的蜂窩結構
    蜂窩結構(Cellular Structure)是覆蓋二維平面的最佳拓撲結構,是蜂巢的基本結構,是由一個個正六角形單房、房口全朝下或朝向一邊、背對背對稱排列組合而成的一種結構。從設計構成上說,蜂巢形狀給人一種理性而活潑的感覺,可以在設計分析圖中指代不同的功能模塊,穩定而靈活,在統一的邏輯之下根據不同的情況提取置換。
  • > 3D蜂巢結構面料
    3D蜂巢結構面料 2017-08-28 16:29:45 來源:全球紡織網 這款3D蜂巢結構面料面料,設計師從自然界擷取靈感,將自然界原始蜂巢結構進行改造設計
  • 蜂巢為什麼是正六邊形?居然暗含如此有趣的數學原理,太神奇了
    神奇的自然界現象自然界中並沒有人為的幹預,但很多現象卻似乎與數學有著密不可分的關係,動物不會數學,那麼大自然卻為何是一個數學家?那我們簡單列舉自然界中一些常見的規律現象。從蜂巢訴說科學規律今天就來解密蜜蜂建築的蜂巢為何具有如此整齊的結構,它們為什麼會一致的建成這種規則正六面體結構?當你知道其中的原因一定會讓你驚嘆不已!
  • 養蜂技術 完美的蜂巢結構
    雖然蜂窩是一個三維體建築,但每一個蜂巢都是六面柱體,而蜂蠟牆的總面積僅與蜂巢的截面有關。由此引出一個數學問題,即尋找面積最大、周長最小的平面圖形。1943年,匈牙利數學家陶斯巧妙地證明,在所有首尾相連的正多邊形中,正多邊形的周長是最小的。但如果多邊形的邊是曲線時,會發生什麼情況呢?陶斯認為,正六邊形與其他任何形狀的圖形相比,它的周長最小,但他不能證明這一點。
  • 蜂巢床墊怎麼樣,共枕蜂巢床墊尺寸和價格
    睡眠床墊成為家居寢具中不可分割的一部分,對於消費者來說床墊的舒適度和支撐效果成為選購床墊的標準之一。為了迎合廣大消費者的口味,不少公司也開始變換花樣,將床墊打造成為更加貼近生活的理想寢具。比如大家一直很想了解的蜂巢床墊,一起來了解一下吧。
  • 為什麼蜂巢是呈現六邊形,而不是圓形或者三角形呢?
    如果你曾經仔細觀察過一個蜂巢,那麼你就會發現,蜂巢是由一格一格的六邊形組成,非常規整有序。為什麼蜂巢是呈現六邊形,而不是圓形或者三角形呢?古希臘哲學家帕珀斯認為蜜蜂們被賦予了「某種幾何方面的先見之明」,認為蜜蜂就是數學天才,它們之所以偏愛六邊形是因為明白六邊形的幾何魅力。我們都知道,蜂巢是蜜蜂休息和儲存蜂蜜的地方。蜂巢就是蜜蜂的「家」,所以它們對於「家」的建設是非常嚴謹的,呈現的六邊形也非常具有意義的。
  • 中蜂蜂群對蜂巢適應性的理解
    基於這一差別,養蜂人最熱衷最積極的事情也就在於各種蜂巢設置上的不斷嘗試了。於是各種蜂巢設置層出不窮,就如蜂友說的五花八門如冷兵器時代。其中有一部分取得了一定的成績和局部的認可。比如國寶箱的上下均等雙層,解決了統一巢框仔蜜分離的問題;比如活框小方箱的巢箱加淺繼箱的小尺寸,解決了小群發展取蜜養眼方便的問題;比如高窄加FY框解決了仔蜜分離框蜂群喜新厭舊的問題等等。
  • 蜜蜂養殖技術|計算中蜂蜂巢中蜂子的理想數量及應用
    了解蜂巢中蜂子的數量及比例,為蜜蜂養殖優劣提供判斷依據。,每個標準中蜂巢脾應該有工蜂巢房為:796.1cm÷19.36cm×100×2(面)≈8224(個)根據中蜂有蜜子同脾的習慣,尤其是封蓋子的上部易出現封蓋蜜,將每個巢脾蜂子佔比為80%,每個巢脾實際工蜂巢房為8224(個)×80%≈6579個4、中蜂標準箱內理想狀態下
  • 蜜蜂的蜂巢為什麼是六角形的?
    那麼,你有沒有近距離觀察過小蜜蜂的家——蜂巢呢?蜂巢是由一個一個小小的房間組合在一起的,每個小房間都是六邊形,裡面放著蜜蜂寶寶——蜜蜂幼蟲和蜜蜂的女王——蜂后的卵,或是儲存著蜜蜂們的糧食——花粉和蜂蜜。聰明的你一定會感到奇怪,為什麼是六邊形,不是圓形、四方形,或是別的形狀呢?人類的房間就是四四方方的啊!
  • 為何蜜蜂會打造出完美的六邊形蜂巢?
    自然界中有不少神奇現象令人震撼,你能想到蜂巢、肥皂泡和海綿外骨骼之間的奇妙聯繫嗎?答案是它們鍾愛六邊形。為何蜜蜂會打造出完美的六邊形蜂巢?這當然不是什麼神秘的力量,而是其中富含的深刻數學和物理學道理。撰文 | Philip Ball編譯 | 顧淼飛蜜蜂,天生的數學家?
  • 解密蜂巢追趕策略
    蜂巢能源一開始的系列品牌傳播引人注目乃至猜疑,現在細看,它不純是炒作,而是背後有一套後來者追趕領先者的策略。1兩次從0到1的80後蜜蜂的巢穴是六邊形,結構穩固。石墨烯的原子結構就是六邊形。蜂巢能源的蜂巢二字,就是取這個安全、穩定的意思——因為這正是動力電池必需的特點。
  • 蜜蜂生活中的大量數學問題是如何產生的?
    首先是在管理上,從蜂王到工蜂、雄蜂,層層嚴格,最後才造就了這個神秘的蜜蜂王國,要說蜜蜂是否能夠理解關於零這個數學概念,估計沒有專業的研究幾乎回答不了這個問題,但是我們可以從蜜蜂的習性來了解蜜蜂是否能夠理解這一概念。
  • 讓《蜂巢幽靈》帶我們走進「經典」
    ,我們在弗朗哥政權中發展的女孩,姐姐伊莎貝爾是獨裁統治的犧牲品,她喜歡殺人和刺激,盲目而缺乏活力,妹妹安娜恰恰相反,一直著童真和善良,對外界有著激烈的好奇心, 電視劇中的爸爸整天沉迷對蜜蜂和蜂巢的鑽研,他是在暗示整個家庭環境的封鎖、 蜜蜂生活在蜂巢裡,整間屋子就像一個蜂巢, 經由過程影片中爸爸的喃喃自語,大家可以了解到整個家庭的狀態, 線條和諧而內心狂熱即是這一個家庭的不安所在, 父母在平時平淡的婚姻生活中想念著遠方的戀人
  • 蜂巢提煉純蜂蠟的完美流程
    養蜂人堤煉蜜蜂蜂巢,提煉成為蜂蠟的完整流程!! 天然蜂巢有冶療鼻炎,腸胃潰瘍的奇特功效!! 腸胃潰瘍用少許2克蜂巢放入粥中並食用,會在腸胃中形成蠟膜,加入鍋中放少許清水便可,溫火加熱。蜂巢的溶解點很底 60度就能破壞結構。
  • 解密蜂巢追趕策略_易車網
    1兩次從0到1的80後蜜蜂的巢穴是六邊形,結構穩固。石墨烯的原子結構就是六邊形。蜂巢能源的蜂巢二字,就是取這個安全、穩定的意思——因為這正是動力電池必需的特點。這個名字,來源於80後總裁楊紅新和同事的討論。
  • 馬丁·加德納筆下的奇妙數學
    加德納在大學期間就有志成為一名數學作家,從1957年開始,他在美國高級科普雜誌《科學美國人》中主持一個有關數學遊戲的專欄,他在趣味數學以及數學傳播上傾注了全部的熱忱與才華,也奠定了他在數學科普領域的地位。在加德納的著作中,往往把一些看起來很高深的高等數學知識用幽默的語言文字介紹出來。
  • 蜂巢能源:因有底氣,才更開放
    可見,電池-車輛-乘客的安全目標,是一個系統性設計問題,關係到動力電池的全生命周期,涉及到正負極材料、電芯、電池包到系統監控。蜂巢的「冷蜂」熱失控系統性解決方案,即是從這四大層次出發圍追堵截,目標直指徹底消滅熱失控發生的可能性。
  • 蜂巢怎麼吃 這樣吃蜂巢健康又衛生
    蜂巢想必大家都聽說過,但是,蜂巢的吃法很多人都不知道,有人可能還會質疑,蜂巢是蜜蜂的窩,怎麼能吃,這個您就有所不知了,蜂巢的是能夠治療一些疾病,和蜂蜜的作用可是不一樣哦,那麼,下面我們就一起了解與喜愛,蜂巢怎麼吃?
  • 數學結構發展簡史
    數學知識體系中的各種知識單元之間構成一種相對穩定的結合方式和聯繫形式,這種結構表明知識單元在數學體系中以何種方式結合,在數學體系中佔有什麼地位,以及怎樣決定著數學整體的功能等等。其中知識單元是指知識體系中的基本構成因素,按選取知識單元的不同,可把數學結構分為宏觀數學結構和微觀數學結構。
  • TPE「黑科技」——3D蜂巢枕頭
    下面給大家介紹一款TPE材料3D蜂巢枕頭!第一次拿到實物樣品的時候著實驚訝了一番,因為真的有點重。除了重,還發現這款枕頭完全沒有填充,全是由上千個鏤空三角形組成。據說有1334個三角形,拿起來卻異常柔軟,手感非常科幻。