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在剛剛結束的蘭州高三一診試卷中出現了蜂巢問題,事實上蜂巢結構中蘊涵著豐富的數學問題,在湘教版普通高中教科書《數學·必修·第二冊》中便有相應的內容,著名數學家華羅庚先生曾經專門寫過一本科普讀物《談談與蜂房結構有關的數學問題》。
從外表看,蜂巢巢房的房孔是平整的正六邊形開口,一個個緊密排列,相鄰巢房共用同一個巢壁,巢房的壁很薄,平均不到0.1mm.而且每個巢房並不是正六稜柱形,因為其底部(稱之為巢基)不是平的,而是由三個相等的菱形組成的錐形(不妨稱這樣的巢房為尖頂六稜柱形,換個角度也可稱為尖底六稜柱形),每個菱形的鈍角均為109°28',銳角均為70°32',每個巢房的體積幾乎都是0.25cm3,相對的兩個巢房的巢基相互嵌合,以承受最大的負荷力.
有研究表明,蜂巢的構造是自然界的最佳選擇,即材料最省而容積最大,或者說用同樣多的材質構造了最大容積的蜂房.那麼巢房巢基為什麼是三個菱形組成的錐形(也稱為尖頂六稜柱形)到底是個什麼形狀?更進一步的,幾個尖頂六稜柱形是怎樣上下嵌合在一起的?
當年,華羅庚先生也曾有過同樣的困擾,在《談談與蜂房結構有關的數學問題》中,有著詳細的記載,「既說『蜂窩是六角形的』,又說『它是菱形容器』,所描述的到底是個什麼樣子?六角形和菱形都是平面圖形的術語,怎樣用來刻畫一個立體結構?不懂!困惱!不要說解問題了,連個蜂窩模型都摸不清.問題釘在心上了!這樣畫,無法在腦海形成一個形象來,設想出了幾個結構,算來算去,都與事實不符,找不出這樣的角度來.」華先生後來還是看到了蜂房實物,才恍然大悟的,華老後來在書中是以六稜柱的鉛筆為例來介紹巢房模型的,「未削之前,鉛筆一端的形狀是正六角形ABCDEF,通過AC,一刀切下一角,把三角形ABC(其實是三稜錐)搬置ASC處;過CE、EA也如此切兩刀,所堆成的圖形就如圖那樣了.」事實上,這還只是單個的巢房.
當然,我們現在有了GeoGebra軟體,就不需要象華老那麼麻煩了.事實上,在3D繪圖區,你可以從不同側面考察尖頂六稜柱形與正六稜柱的區別和關聯,改變P點的位置可以看到不同的尖頂形狀的差異.
以上我們證明了尖底六稜柱的表面積最小(在與正六稜柱體積相等的前提下),若想說明這樣的蜂巢結構用料最省,還需檢驗這樣的巢房巢基能否無縫嵌合,即上下相對擺放的兩個尖底六稜柱的一個錐底菱形側面可以做到完全重合.
如何理解這種嵌合?看看GeoGebra的3D繪圖區效果演示便可明了,如圖上尖底六稜柱與下尖底六稜柱的一個面重合.再從三視圖的角度可以進一步明確,俯視圖說明菱形的大小一致,而左視圖可以看到面的重合.
蜂巢巢房在仿生學中有著廣泛的研究,但最早研究蜜蜂巢房的學者不是昆蟲學家,而是數學家和天文學家.
早在1千多年前,希臘數學家pappus(活躍於公元300年~500年前後)在其8卷巨著《數學彙編》的序言中就提出了蜜蜂的機敏問題,並對蜜蜂巢房有精彩的描述.
天文學家Kepler(1571-1630)也曾指出蜜蜂巢房的角應該和「斜方十二面體」的角一樣,但他的看法並未引起當時人們的重視.巴黎天文臺的創建者Maraldi(1712)在「蜜蜂的觀察」一文中第一次明確地記載了蜜蜂巢房底部菱形的鈍角為109°26'銳角為70°34',但他並未說明這一數據是如何得出的.歐洲早期昆蟲學的創始人之一Réaumur(1683-1757)曾猜想用這樣的角度建造巢房在相同的容積下最節省材料,於是他便向瑞士數學家Koenig(1712-1757)請教,Koenig證實了Réaumur的猜想,並計算出巢房底部菱形的鈍角為109°26,銳角為70°34',這一結果Koenig(1739)以簡報的形式發表,也沒有述及所用的數學方法.1743年蘇格蘭數學家Maclaurin重新研究了巢房的結構,他完全用初等幾何方法得出最省材料的菱形鈍角為109°28'16″,銳角為70°31'44″,與Koenig的結果有2'之差.後來,由於一次因使用了錯誤的對數表造成輪船遇難,才發現Koenig也是使用了錯誤的對數表而算錯了巢房的角度.
著名數學家華羅庚1979年曾著有《談談與蜂房結構有關的數學問題》一書,介紹了有關的多種解法並加以引申,提出了一些值得思考的問題.正如華先生在書的引言中所提及的那樣,「人類識自然,探索穹研,花明柳暗別有天,譎詭神奇滿目是,氣象萬千.往事幾百年,祖述前賢,瑕疵訛謬猶盈篇,蜂房秘奧未全揭,待咱向前.」