被許多人認為是「自古以來最偉大的數學家」的德國數學家、天文學家和物理學家卡爾·弗裡德裡希·高斯曾經說過：
研究歐拉的著作將仍然是不同數學領域的最佳流派，沒有任何東西可以取代它——卡爾·弗裡德裡希·高斯
圖1：卡爾·弗裡德裡希·高斯的肖像，被稱為「自古以來最偉大的數學家」本文將描述瑞士數學家萊昂哈德·歐拉如何解決著名的巴塞爾問題。歐拉是歷史上最偉大的數學家之一。他還是一個多產的數學家，他的作品集共92卷。皮埃爾西蒙·德·拉普拉斯評價歐拉對數學的影響，他有一句名言：
讀歐拉，讀歐拉，他是我們所有人的主人。——皮埃爾西蒙拉普拉斯
巴塞爾問題
1650年，義大利數學家皮埃特羅蒙格利首次提出了巴塞爾問題，1734年，歐拉解決了這個問題，讓他立即得到認可。這個問題要求自然數平方的倒數之和：
許多有影響力的數學家試圖找到平方和的倒數之和的公式。微積分的兩位共同發明人約翰·沃利斯和戈特弗裡德·萊布尼茨都曾嘗試過，但都以失敗告終。歐拉在他還年輕的時候(28歲)就解決了這個問題，他的答案讓數學界感到驚訝。他的第一個證明(後來他又提供了其他幾個證明)絕不是嚴謹的，但它的美麗、簡單和獨創性是驚人的。
歐拉的獨到見解是寫下了sinc（πx）函數：
作為乘積除以它的零。
圖4：歸一化和非歸一化sinc(x)函數(分別用藍色和紅色表示)為了理解這一點，考慮一下，例如，下面的四次多項式寫成因式分解形式：
將表達式展開得到：
歐拉的策略是將同樣的擴展應用到超越函數上。這類函數不滿足多項式方程，如公式(4)。指數函數、三角函數和對數函數是三個著名的例子。
圖5：指數函數(源)、對數函數(源)和三角函數(源)的繪圖。sinc（πx）函數具有以下根：
歐拉繼續將sinc(x)寫成與等式3中的f(x)相同的形式。使用基本的數學恆等式
由於公式5中的每個根都有一個對應的負根，所以他可以這樣寫：
下一步是把方程6中的項乘起來，但只關注平方項：
泰勒級數
泰勒級數是函數的無窮項和的表示。每一項都是從函數在一個點處的導數值計算出來的。
圖6：增加泰勒級數的次數，它收斂到正確的函數。黑色的曲線表示sin(x)其他的曲線是泰勒近似，是次數為1、3、5、7、9、11、13的多項式。圖6所示的七泰勒級數有如下代數形式：
式8：與函數sin(x)對應的幾個度的泰勒多項式。這些函數的曲線如圖6所示。sinc(x)函數的泰勒展開式為：
式9：sinc（πx）的泰勒級數。人們可以把公式. 8看作是一個無限次的「偽多項式」。這種偽多項式有無窮個根。方程5給出了根。
比較兩個結果
比較式7和式9，我們得到了我們想要的結果：
式10：巴塞爾問題的歐拉解另外，歐拉的推導為我們提供了著名的沃利斯問題。把x = 1/2代入方程6，求它的倒數。我們得到：
式10
一個嚴格的證明
最後，我們將看到如何獲得歐拉結果的嚴格證明(該證明的作者是Daniel )。考慮到：
式11：Daniel 在證明巴塞爾問題時引入的輔助功能。(通常是用另一種形式寫的)。然後定義數字E(n)並計算它，對公式11第二次等式後的表達式進行積分:
式12：數字E(n)的定義。很明顯，對於偶數k，右邊的和是0。因此，可以用(2k-1)代替k，只考慮E的子索引為奇數的項：
公式13：僅當E的子索引為奇數值時，才有式12現在，為了完成證明，我們需要證明這個表達式消失了。由於這個演示非常費力，而且沒有什麼啟發性，所以我們將省略它。其結果是：
式14：證明成立的必要條件
式15：用簡單的代數運算得到最終結果。