數學大師啟示錄——歐拉

讀讀歐拉，讀讀歐拉，他是我們大家的老師。

————拉普拉斯

英雄世紀的數學英雄

如果說17世紀由於創造了2000多年來夢寐以求的微積分而被

譽為天才的世紀，那麼18世紀由於數學家們把微積分大大向前推

進，並且在各個科學技術領域取得輝煌勝利，而成為英雄的世紀。

18世紀數學英雄的最高代表就是列昂納德·歐拉。牛頓、萊布尼茲

建立的微積分，為18世紀數學家所掌握，向數學、物理、天文和各

個科學技術領域開拓，取得前所未有的進步。這場浩浩蕩蕩數學徵

戰的旗手歐拉，以他非凡的聰明才智、勤奮勞動和驚人毅力，把微

積分發展為擁有眾多分支的分析數學。這種廣義的數學分析實際上

包括了對所有運動變化的定量研究。他在幾何、代數上數量龐大的

發明創造，導致一些全新的數學分支的誕生。歐拉為促進數學空前

蓬勃的發展，耗盡了畢生精力：先是獻出他的雙目，最終是他的生

命。他為人類文明建立了不朽的功勳。

和煦的陽光透過明亮的玻璃窗，照進四壁放滿書籍的書房。一

位頭髮略呈斑白的學者俯身在靠窗的書桌上揮筆疾書。他左手抱著

一個兩歲的幼兒坐在他的膝上。桌子對面的小伊琳娜在給玩具娃娃

穿衣裳。孩子們的拍手聲和歡笑聲從過道傳過來——阿爾伯特正領

著弟弟妹妹們拉著一隻布狗熊在地上打滾；小狗查利高興地搖著尾

巴在人群裡竄來竄去。這是1747年4月的一天，列昂納德·歐拉正

在寫他的著名論文：《無窮小分析引論》。

有人說，歐拉計算起來毫不費力，就像人在呼吸，鷹在翱翔；

也有人說，歐拉寫他的高超論文，恰如文筆流暢的作家給他至親好

友寫信那樣輕鬆自如；甚至有人說，歐拉能夠在妻子第一次和第二

次催他吃午飯的不到半小時的間隙裡完成一篇論文。且不說這些說

法是不是言過其實，從這裡我們多少可以看出他那無與倫比的數學

才華。

歐拉是歷史上最多產的數學家。多產的法國數學家柯西的全集

有26卷；德國數學家高斯的全集有12卷；而歐拉一生創作了886

篇論著，他的全集有74卷之多。如果考慮到他生命的最後17年雙

目已經完全失明，就更令人驚嘆不止了。人們可以在所有數學分支

中見到他的光輝名字：歐拉公式，歐拉函數，歐拉方程，歐拉多項

式，歐拉常數，歐拉積分，歐拉線，……即使在初等數學中也不例

外，那裡的不少重要概念和定理正是這位大師的傑作。發現立體幾

何中有名的歐拉定理和建立起今天三角學科學體系的就是這位大名

鼎鼎的歐拉。不僅如此，在數學以外的許多學科還有一大串以他命

名的專門術語來紀念他的卓越貢獻，歐拉運動學方程，歐拉流體動

力學方程，歐拉力，歐拉角，歐拉坐標，歐拉相關，等等。他那博

大精深的學識和無窮無盡的創造精力永遠是人們敬慕的對象。1909

年，瑞士自然科學協會，在全世界許多學術團體和個人資助下著手

搜集和出版歐拉的佚文的時候，指出：歐拉不僅屬於瑞士，而且屬

於全世界。的確，被譽為&34;的列昂納德·歐拉不愧

為瑞士奉獻於世界的最偉大科學家。

不解之緣

在瑞士北部連綿起伏的叢山中，同德、法兩國交界的地方有一

顆晶瑩的明珠——巴塞爾城。清澈的萊茵河從她身旁輕輕流過，好

似一條絲帶把城市裝扮得嫵媚動人。巴塞爾是瑞士的學術中心，歷

史上產生過許多大科學家的聲名顯赫的伯努利家族就居住在這裡。

1707年4月15日，城市居民冊上又增添一個新居民，保羅·歐拉

和瑪格麗特·布魯克的兒子列昂納德·歐拉降生了。第二年，小歐

拉隨雙親遷到附近的雷欣村，父親就在村裡當加爾文教的牧師。其

實，保羅本人對數學頗為在行，他曾經是數學家雅各布·伯努利的

高材生。可是，他自己不想從事數學工作不說，還要兒子長大以後

和自己一樣，在鄉村教堂裡當牧師。做父親的只指望兒子繼承自己

的事業，不想把孩子培養成為科學家，這類事例在科學史上屢見不

鮮。高斯的父親要兒子當花匠；維爾斯特拉斯的父親要兒子當文官；

黎曼的父親想讓兒子當牧師。保羅這樣打算倒也情有可原，因為當

牧師畢竟比當數學家容易，何況它的收入要優厚得多呢!因此，保

羅對兒子從小就灌輸極嚴格的宗教教育。什麼早禱告，晚禱告，每

天必做，甚至在每餐飯以前，還要講一通主耶穌的道理。幸好他有

個&34;，逢到高興的時候，他會拋開天國和上帝，眉飛色舞地

講起人世間迷人的自然數和三角形來。憑著他向善男信女布道的時

候練就的好口才，保羅把數學講得繪聲繪色，妙趣橫生，完全迷住

了小歐拉。熱愛數學的種子就這樣默默地埋在孩子的心田。

中學一畢業，歐拉順從父親的意願來到巴塞爾大學學神學和希

伯來語。不過他心裡明白，自己真正喜愛的是什麼。這時保羅當年

的老師雅各布·伯努利已經去世，由他弟弟約翰·伯努利接替擔任

數學講座教授。約翰本來是位醫術高明的醫生，後來受他哥哥的影

響改攻數學。他28歲出任荷蘭格羅寧根大學數學教授，並且多次奪

得法國科學院頒發的研究獎，成為馳名歐洲的大數學家。數學界至

今流傳著一段有關約翰的軼事。在第五章中提到過，為微積分發明

的優先權，約翰站在萊布尼茲一邊，同牛頓爭論得相當激烈。但是，

牛頓在約翰的心目中仍然無可爭辯地享有崇高的地位。年輕的約翰

有一次在英國旅行，遇到一個外國人。這個人身體微胖，長髮披肩，

顯然受到周圍人們的極大尊敬。約翰不避嫌疑，上前謙遜地介紹自

己：&34;&34;那人冷冷地回答，&34;約翰把這次會見看做是自己一生中所接受的最高貴的禮物。

這時約翰雖然年過半百，但是精神矍鑠，講起課來旁徵博引，

生動而富有感情。每逢他上課，教室裡總是濟濟一堂，座無虛席。

歐拉也去聽約翰的課。坐在教室最前排的歐拉特別惹人注目。在他

高高的額頭下閃爍著一對天真無邪的大眼睛。不過說他是個孩子可

能更確切，因為他的年紀最多不過十二三歲，個子比一般學生足足

矮一頭。大學生們都當他是小弟弟，沒有把他放在眼裡。可是，人

不可以貌相。有一次，約翰在講課的時候無意中提到當時數學家們

還沒有解決的一個大難題。誰知下課鈴聲一響，歐拉不聲不響交給

他一份答案。約翰看著看著，幾乎不敢相信自己的眼睛。是的，歐

拉的解答還稱不上是真正完備的，但是它構思的精巧和大膽使約翰

清楚地意識到，站在自己面前的這個瘦小的孩子，將是未來的數學

巨人。這個意外的發現使約翰大為興奮。他當即決定每星期在家單

獨為歐拉授課一次。有這樣的好機會，歐拉連做夢也沒有想到，心

裡真有說不出的高興。果然，在名師的精心指導下，歐拉的數學突

飛猛進。他的勤奮和才能也深深吸引約翰的兒子丹尼爾·伯努利

(1700—1783)，他們從此成為終身好友。

歐拉17歲獲碩士學位。父親要他放棄數學，把全副精力放在神

學上。歐拉雖然篤信上帝，可是要去做神職人員，他打心眼裡不樂

意。不過，他是個孝順的兒子，不願公然違抗父親的意志。正在感

到左右為難，伯努利父子聞訊趕來為他說情。

&34;約翰壓抑著內心的激動接著說，&34;

保羅不是鐵石心腸。他理解約翰也理解兒子的心情。深孚眾望

的約翰教授的一席話使保羅改變初衷，雖然這將給家裡的生活帶來

困難。從此，歐拉再也不用等到父親熟睡以後才偷偷起床來做他的

計算，也不用在數學書外面套一張聖經的封皮來逃避父親的注意。

他像放出攀籠的蒼鷹衝向自由的藍天，又像餓虎撲向面前的獵物。

從古希臘的經典著作到牛頓的《自然哲學的數學原理》，他巴不得

一古腦兒把它們嚼碎吞下。好在他有驚人的理解和消化能力，這些

豐富的知識再好不過地促使他飛速成長。

日曆翻到了1727年。春風吹綠了巴塞爾的大地。年輕的歐拉滿

懷創造的激情，躍躍欲試。當時歐洲的科學院有個通行的做法，它

們把各國政府或有關部門提出的科研項目，設置獎金公開徵求解答。

在這些題目中有相當一部分同航海有關，因為隨著航運事業的發展

和連續不斷的海上戰爭，各國政府愈來愈關注海洋的控制。那一年，

法國科學院提出的題目是：關於船的立桅。巴黎獎金是一項崇高的

榮譽，對數學家來說，能贏得一次這樣的榮譽就足慰平生了。歐拉

決定利用這次機會考驗一下自己的能力。從某種意義上說，歐拉的

處女作是他全部工作的縮影。它既顯示出歐拉的力量，也暴露了他

的弱點。歐拉的力量在於分析。他是分析學精妙絕倫的大師，又是

頂呱呱的方法發明家和運算的巨匠。分析的武器一到他的手中真可

謂堅無不摧，攻無不克。歐拉的弱點，如果有的話，就在於有的地

方和實踐脫節。倘若我們記得瑞士根本不存在海軍，那麼對他的弱

點也就不會過分驚奇。他在瑞士的湖泊裡只見過不多的幾艘划槳的

小船，還沒有見過真正的海船呢!評選結果，歐拉的論文得到很高

的評價，但是沒有獲獎。不過這算不了什麼。歐拉從這次工作中得

到有益的鍛鍊。後來他以12次獲得這類獎金來補償這次失利。

同年，在朋友們的慫恿下，歐拉向巴塞爾大學申請教授職位。

可惜他資歷尚淺，雖然經約翰·伯努利極力推薦，還是遭到校方拒

絕。接連的挫折沒有使歐拉氣餒，反而激起他更加發憤地學習。這

時丹尼爾·伯努利正在彼得堡大學任數學教授，他一口答應為歐拉

在科學院謀個差使。想到不久將去彼得堡同丹尼爾在一起，歐拉滿

心喜悅。有一次丹尼爾來信提到，彼得堡科學院可能要開設醫學部。

聽到這個消息，歐拉開始熱心地學習生理學，還去聽醫學講座。盡

管這樣，歐拉經過這些年來對數學的潛心研究，已經和數學結下不

解之緣。無論做什麼事情，即使在欣賞詩篇，他都要用自己的數學

天才去試探一番。歐拉十分喜愛的羅馬大詩人維吉爾的史詩《埃涅

阿斯紀》中有這樣一句：&34;讀到

這裡，恐怕誰也不會想到它和數學有什麼聯繫。可是，歐拉在這裡

禁不住要對船體在這種狀態的運動來一番詳細的計算。研究醫學同

樣不能使他和數學分離。耳朵的生理學激起他對聲音的傳播發生興

趣。他利用數學來描述和研究聲波的運動，寫下一系列聲學方面的

重要論文，使這個領域成為數學物理學的一個重要分支。歐拉早期

的工作就像一棵粗壯的大樹，藤攀枝繞，盤根錯節，繁茂地向四面

八方生長出千姿百態的枝杈。

在彼得堡

丹尼爾辦事利索。過不多久，歐拉接到去彼得堡工作的來信，

職務是科學院醫學部的助理。他興高採烈地打點起行李匆匆啟程。

套馬大口噴著水氣，揚蹄飛奔。歐拉眺望著一閃而過的茅舍、田野，

憧憬著未來，充滿著希望。他感到渾身有使不完的力量，恨不得插

翅飛到彼得堡，立即投入工作。

可是一到彼得堡，前來迎接的丹尼爾愁容滿面。他讓歐拉在家

好好休息，壓根兒不提去醫學部就職的事。原來，在歐拉急匆匆日

夜兼程地趕路的時候，在位剛剛兩年的俄國女皇葉卡捷琳娜一世猝

然去世。權力落入未成年的沙皇彼得二世手中。幼稚的小沙皇根本

不懂科學，只把科學院當成多餘的奢侈品。他打算解散科學院，把

外籍科學家統統打發回國。丹尼爾四處奔走求告，結果一無所獲。

歐拉只得悶坐在家裡一籌莫展。這時候，俄國海軍部正在招考海軍

軍官。為了生活，他決定去碰碰運氣。半個月以後，歐拉早早來到

涅夫斯基大街看結果。平日冷冷清清的海軍部大樓門前，今日熙熙

攘攘，人頭濟濟。有的喜形於色，有的故作鎮靜。歐拉不安地在遠

處向貼榜處瞧去，心頭不由一震。榜上的名字雖然寫得密密麻麻，

但是他一眼就看出，第一個名字不是別人，正是列昂納德·歐拉!

他揉揉眼睛湊往近處再一瞧，果然不錯。不知是身體不適還是今天

彼得堡的寒風格外凜冽，他感到好似背上澆了一桶冷水，渾身發涼。

他裹緊圍巾，翻起大衣領子，被人群推擠著恍恍惚惚向外走。錄取

無疑可以使他擺脫生活的困境，但是成為海軍中尉畢竟不是他的理

想。看來已經沒有兩全的妙策，只有聽從命運的安排去海軍部報到。

正在這時，一輛馬車飛快趕到，滿頭大汗的丹尼爾跳下車來一把將

歐拉抱住。事情有了意想不到的轉機。經過再三交涉，沙皇政府終

於同意歐拉去科學院工作。歐拉簡直不敢相信這個&34;

的喜訊。他握住丹尼爾的雙手久久說不出一句話來，眼眶裡閃爍著

喜悅的淚花。

但是要高興還為時過早。新沙皇為了鎮壓人民的不滿和反抗，

在彼得堡布滿告密的奸細。流放和處決的消息不時傳來。數學部有

位同事因為傳抄一首無名作者的無題詩，被遣送到西伯利亞。整個

俄羅斯籠罩在恐怖的烏雲之下。歐拉除了埋頭工作，根本過不上正

常的社交生活。1730年，小沙皇夭折，由彼得大帝的侄女安娜·伊

凡諾夫娜即安娜女皇即位。科學院的處境有了相當改善。可是整個

俄國在安娜的情夫恩斯特比龍的統治下，成為俄國歷史上最恐怖的

時期之一。歐拉只有用緊張的思考和不停的計算來擺脫他對血腥統

治的恐懼和厭惡。忍受不了令人窒息的氣氛，丹尼爾於1733年回到

自由的瑞士。歐拉很快晉升為科學院數學部的負責人。想到自己將

在俄國長期居住，歐拉決定結婚。新娘柯黛玲是畫家格賽爾的千金，

溫柔賢淑，持家有方。婚後家庭生活恩愛美滿。然而政治氣候更加

惡化。歐拉想步丹尼爾後塵回瑞士工作。無奈小生命一個接著一個

地出世，使離開的希望化為泡影。歐拉夫婦先後生育的子女達13個

之多，堪與歐拉在科學上的多產相媲美。不過孩子也有好處。天倫

之樂洗淨他一天工作的疲勞，也使他暫時忘卻彼得堡街道上的血雨

腥風。歐拉是位慈祥而稱職的父親，他為子女的教育付出大量心血。

每到晚上，孩子們圍坐一圈，由歐拉親自布置和檢查他們的作業，

解答他們的問題。他還編了許多數學趣題啟發他們的思考。下面就

是其中的一個：

&34;

一道初等代數的簡單應用題，經過歐拉精心編寫，大大激發起

孩子們的學習興趣。但是，最受孩子們歡迎的還是他那講不完的故

事和詩朗誦；而如果他得閒能和孩子們在一起唱歌遊戲，消磨一個

愉快的晚上，更使他們久久難忘。孩子們的嬉笑聲和琅琅讀書聲時

時從窗戶飄出來，怪不得許多過路的行人以為，這裡一定開辦著一

個很好的幼兒園呢!

歐拉是那種極為罕見的數學家，他能夠在任何地方、任何條件

下工作，一切外界的幹擾都不能打斷他聚精會神的思考。就在子女

繞膝、笑鬧之聲不絕的環境裡，在沙皇統治恐怖的濃重陰影下，一

篇篇論文源源不斷地從歐拉的手中流出。他用拉丁文寫的論文深入

淺出，雅俗共賞，字句極少改動。尤其是他創造了現代數學的語言，

更使他的作品受到廣泛歡迎。今天我們常用的數學符號，像用∑表

示求和，用i表示

，用f(x)作為函數的記號，用sin、cos、tan

表示正弦、餘弦和正切，以至用a、b、c表示三角形的邊，用A、

B、C表示它們的對角，等等，正是歐拉所首創的。文章一寫完，歐

拉把它放在早已經疊得高高的一堆手稿上等待印刷。科學院學報需

要材料的時候，只要派個印刷工人逕自從那上面來取就是。這樣，

常常把先寫好的手稿壓在下面。所以，在歐拉的論文集裡常有後寫

作的反而先發表那種怪現象。

柯尼斯堡七橋

1736年，姍姍來遲的夏天又匆匆離去。轉眼間，歐拉在彼得堡

已經度過10個春秋。身為科學院數學部的負責人，擺在他面前的研

究課題有長長一串。眼下他正在修改一篇《論力學》的重要論文，

準備付印。他為力學所作的，正是100年以前笛卡兒為幾何所作的。

他把微積分的全部威力第一次用來對付力學，使力學擺脫傳統所採

用的幾何的綜合論證方法的束縛而成為分析的科學，從而開創這門

基本科學的現代新紀元。

吃罷午飯，歐拉點燃菸斗，拿起剛送到的信件閱讀起來。這是

難得的休息。親友們生活上的問候和同行們在學術上的熱烈探討，

猶如一道金色的陽光透過彼得堡灰濛濛的天空投射到他的心房，使

他感到溫暖。從歐洲各地向他求教的來信每天都有一大堆。今天有

一封從柯尼斯堡的來信特別引起歐拉的興趣。

18世紀東普魯士

的柯尼斯堡，就是今

天俄羅斯的加裡寧格

勒。美麗的普雷格爾

河水輕盈地流經這座

僻靜的小鎮。河上旖旎的風光吸引小鎮的居民來這裡散步休息、野餐、垂釣。普雷格爾河上有兩個小島，從河的兩岸分別有三座橋和它們相連；另外又有一座橋把兩個小島連接起來。時間一久，有位愛思考的居民提出來一個問題，一個散步的人能不能一次走遍七座橋，而且每座橋只能走一次?這個問題誰也回答不了。有人說可以，可是走來走去，始終沒有走通；有人說不行，可惜又說不出令人信服的理由。這個不大不小的問題竟一下子難住全鎮居民和外地遊客。幸好有位小學

老師出來解圍，他想出一個好主意：為什麼不寫封信去請教在彼得

堡鼎鼎大名的歐拉呢?

歐拉是出名的&34;，他對別人的請求總是有求必應。

無論是應邀撰寫初等數學的教科書還是繪製俄國地圖，無論是有關

度量衡制度的改革還是設計一種檢驗天平的實用方法，基至連中小

學生有解不出的&34;來求教，也總能使他們如願以償。只要需

要，不論它多麼平凡，多麼瑣碎，他總會毫不猶豫地去完成。他從

來不考慮這種&34;是否會影響自己的研究，降低自己的&34;。其實，歐拉不僅僅把它當作自己應盡的責任，他對它們確實

懷有濃厚的興趣。你看，像柯尼斯堡七橋這類問題在數學上還沒有

人處理過。它顯然不是我們所熟悉的代數問題，因為它不是研究數

量的大小。它和平面幾何也不相同。平面幾何裡的圖形不是直線就

是圓，是討論它們的角度大小和線段長短。可是在柯尼斯堡七橋問

題裡，橋的準確位置無關緊要，陸地的大小和形狀也不用考慮。重

要的是考慮一共有幾塊陸地、幾座橋以及它們的連接情況。根據這

個特點，歐拉先把柯尼斯堡七橋畫成

一個線條圖，在他的圖形裡，小島和

河岸變成了點，橋成了連接這些點的

線。這樣，問題就成為：從圖上某一

點開始，中間任何一條線不得畫兩遍，

鉛筆不準離開紙，能不能把這張圖一

筆畫出來?經過一番思索，歐拉終於找到一個徹底而漂亮的答案。說它徹底，因為它給出了能否一筆畫出一張&34;圖的明確條件；說它漂亮，因為它的條件非常簡單，對於任何一張&34;圖，只要一兩分鐘就可以作出判斷。

七橋問題的圓滿解決使柯尼斯堡人心滿意足。但是對歐拉來說，

這僅僅是個開端。發現一塊礦石意味著可能有巨大的寶藏。經過精

心的開掘，歐拉果然發現一個只要考慮位置關係和性質的全新的數

學領域——拓撲學，建立了網絡的概念並且推導出拓撲學中非常

有價值的關係式。拓撲學在近代有重大發展，它滲透到數學的各個

分支，獲得了廣泛應用。比如，安排運輸路線或郵遞路線就得考慮

這樣的問題：怎樣把貨物或郵件送到指定地點而又不走回頭路。

不嫌棄平凡的工作並且善於從中發現不平凡的內容，是歐拉難

能可貴的品質。在歐拉琳琅滿目、美不勝收的創作寶庫裡，珍藏著

他為柯尼斯堡七橋、西洋棋中騎士的跳步等一類數學遊戲所寫的

大量光彩照人的作品。

晴天霹靂

正當這位從巴塞爾來的年輕數學家以神話般的速度在數學的各

個領域裡一篇接一篇地發表獨具匠心的論文的時候，晴天一聲霹靂，

歐拉的右眼瞎了!

天文學上彗星軌道的計算曆來是數理天文學中的一大難題，因

為它牽涉到兩個以上的星體。沒有計算機幫助，要想得到比較精確

的結果，即使是一位極有才能的數學家，一般也要花好幾個月的辛

勤勞動。為了吸引科學家們的興趣，1739年，法國科學院特別為這

一課題設置巨額獎金，徵求解答。歐拉決定在這個領域裡施展一下

計算才能。他對通常採用的方法作了一系列重大改進。儘管這樣，

計算仍是困難重重。可是一旦開始工作，要歐拉中途停頓簡直不可

能。他在書房裡著迷似地幹了起來，忘了吃飯和休息。餓了啃幾口

麵包，困了就靠在椅背上迷糊一會兒。柯黛玲看著丈夫這樣不顧一

切地工作，只有干著急，愛莫能助。雖說進展神速，等他算出彗星

的軌道，時光已經不知不覺地過去3天。晨曦透過窗簾悄悄報告新

的工作日的來臨。歐拉的眼睛布滿血絲，頭昏沉沉的，身子疲憊不

堪。他輕輕闔上剛寫好的論文，隨手推開窗戶，張開雙臂伸了個懶

腰，突然眼前發黑，一頭栽倒在地!歐拉在床上整整躺了一個星期。

病後，他的右目完全失明了。

歐拉作為計算方法的大師，無疑從來沒有人超過他，甚至連比

較接近他的人也不容易找到。然而他的每項成就遠不像人們所想像

的那樣輕而易舉，他們以為，歐拉寫一篇論文就像魔術師從手帕裡

變出一隻鴿子一樣，只消一眨眼的功夫。這是嚴重的誤解。雖然歷

史上對於這次計算是不是歐拉右目失明的直接原因存在不同意見，

但是在這一點上沒有什麼爭論：歐拉作品裡的字字句句，無不浸透

著他的滴滴心血。歐拉的天資聰敏過人，可是歷史上具有這樣天賦

的人才何止歐拉一個!而像歐拉這樣對數學執著追求和不懈努力的

人卻是絕無僅有的。他和數學已經融為一體。形形色色的數學問題

不用說，即使是粗看起來同數學毫不相干的問題，他也要從數學的

角度一一加以分析推敲。歐拉的這種&34;一直保持到他生命的

最後一刻。經過長年累月的鍛鍊，他的才思磨礪得超乎尋常的敏銳，

解決問題的能力和速度也就遠遠超過一般人的想像了。

在柏林

1740年，普魯士國王腓特烈大帝在柏林登基。腓特烈身材矮

小，可是野心勃勃。他自詡為&34;，要&34;，使普魯士在各方面都雄踞歐洲之首。柏林科學院的現狀使他

失望，由於沒有稱職的領導人，科學院死氣沉沉，最多只能在歐洲

充當二三流角色。彼得堡科學院卻是另一番景象。在歐拉領導下，

那裡人才輩出，成果纍纍，呈現一派蓬蓬勃勃的生氣。因此當腓特

烈打聽到歐拉在俄國生活苦悶的消息，大喜過望。他立刻向歐拉發

出&34;邀請，來挖彼得堡科學院的牆腳。

腓特烈的王宮金碧輝煌。僕僕風塵的歐拉一身便服前來謁見。

腓特烈見到新來的數學家穿著皺巴巴的西服，圍一條發黃的絲圍巾，

連禮帽也沒有戴，心中很不高興。這無異是對&34;不

可容忍的怠慢。他愛理不理地敷衍兩句就拂袖而去。和國王貌合神

離的皇后倒是十分殷勤。她看到歐拉的打扮和風度與眾不同，想同

他好好聊聊。可是，歐拉在俄國幾乎與世隔絕地沉默了10多年，他

擔心皇后連珠炮式的問話是不是別有用心。

&34;皇后不解地問。

&34;歐拉回答說，&34;

歐拉沒有把宮廷不愉快的談話放在心上。他的心早被一大堆數

學問題所佔領，已經容不下其他的瑣事。這些日子他一直在考慮，

怎樣對17世紀最偉大的發明——微積分作系統的介紹。因為自從牛

頓-萊布尼茲建立微積分以來，它在物理學、天文學、航海學和工程

學等廣大領域裡已經顯示出無比威力，並且由此產生一系列的新的

分支，如微分方程、無窮級數、變分法、函數論等，迅速形成一個

數學中最龐大、最重要的分支——數學分析。數學家熱衷於分析這

些新分支的發展。但是要做到這一步，首先必須擴展微積分本身。

牛頓-萊布尼茲創造了微積分基本方法，可是從它的邏輯基礎到應用

還有大量問題有待解決，而為了讓更多的人掌握分析的武器，還需

要掃除從初等代數過渡到微積分的重重障礙。歐拉決心肩負起這項

艱巨而有意義的任務；在當時健在的數學家中，的確沒有誰比他更

勝任這項工作的了。不久，遐邇聞名的《無窮小分析引論》和《微

分學原理》兩部傑作先後問世。連同他後來在彼得堡出版的《積分

學原理》，它們都是分析中裡程碑式的經典著作，為鼓舞和造就一

批批有才華的青年成為偉大的數學家建立了不朽的業績。先有拉格

朗日、拉普拉斯，後有高斯、柯西、黎曼等，這些大數學家都是在

歐拉著作的指引下邁進莊嚴的數學宮殿的。甚至今天大學課程裡的

某些內容，實際上仍和200多年前歐拉留下來的一樣。歐拉在分析

上所表現的高深造詣和超凡技巧，立刻博得&34;的美

譽。

歐拉關於數論的大部分工作也是在柏林完成的。17世紀大數學

家費馬生前提出的大量重要而有趣的命題，到今天為止，世界上還

沒有人能把它們全部證明出來，惟有歐拉證明了其中的大部分。不

僅如此，許多命題他還進一步加以引申推廣。特別是在1745年前

後，他發現了18世紀數論中最重要的定理——二次互反律。這是一

項極其了不起的成就。後來的數學家們為探求它的含義引申出大量

極有意義的成果。

但是，歐拉在柏林期間最傑出的成就是關於變分法的工作。

在兒童遊樂場裡，你一定見到過孩子們喜愛的滑梯吧。順著後

面的梯子一級級爬到頂部，身子往滑槽裡一坐，哧溜一下就滑到了

地面。可是有誰想過，從頂部A到著地處B，滑梯做成什麼樣才最

省時間呢?有人可能會說，這很簡單，把滑梯做成直的就行啦，因

為這樣從A到B的距離最短(如下圖左)。直線距離最短是不錯；

可是，距離最短並不等於時間最省，因為他還沒有考慮到速度大小

呢。要知道，直的滑梯下滑的速度是增加得比較慢的。那麼，滑梯

該做成什麼形狀才好呢?早在1696年6月號的《教師學報》上，歐

拉的老師約翰·伯努利就把它提出來向其他數學家挑戰。提出這個

著名的&34; (如下圖右)比歐拉的出生整整早了10

年。這一類極大極小問題還可以舉出許多。它的萌芽可以追溯到希

臘以前的時代。在古代，傳說迦太基人建造城市的時候允許居民佔

有一天犁出一條溝所圍成的土地。由於一個人在一天裡犁溝的長度

一般是確定的，所以對他來說，問題就是應該把溝犁成什麼形狀所

圍的面積才最大。

約翰·伯努利的難題在提出以後的第二年就由牛頓、萊布尼茲、

雅各布·伯努利和約翰·伯努利本人先後給出了解答。可惜他們的

工作只到這裡為止。在約翰·伯努利的建議下，歐拉在1728年開始

涉足這個困難的領域。他從研究曲面(主要是地球)上的測地線問

題著手，就是連接曲面上(地球面上)的兩點，什麼樣的曲線距離

最短?歐拉很快找到了答案。不久，他把最速降線問題加以推廣，

並且考慮了摩擦和空氣的阻力。接著，他又致力於尋找解決這類問

題的更一般的方法。經過前後16年的不懈努力，終於獲得成功。雖

然他所採用的是分析和幾何相結合的方法而不是純分析的方法，論

證十分複雜，但是最後的結果卻同樣簡單而且優美，有廣泛的應用。

1744年，歐拉的《尋求具有某種極大或極小性質的曲線的技巧》在

柏林正式出版。這部傑作立刻使他被公認為當時最偉大的數學家。

隨著它的出版，變分法作為一個新的數學分支誕生了。

10年後，數學界又升起一顆燦爛的新星。年方19歲的拉格朗

日受到歐拉方法的啟發，開始研究變分法。歐拉得知以後，立即給

予熱情的鼓勵。經過四年的努力，拉格朗日果然發現了解決這類問

題的最佳方法。歐拉興奮異常，他趕緊壓下自己即將付印的有關著

作，讓拉格朗日的結果先發表。用歐拉的話說，&34;他知道私

人信件裡無論說得多動聽，對年輕的拉格朗日畢竟幫助不大。因此

在出版自己著作的時候，他著重聲明，在拉格朗日提出這個方法以

前，自己遇到了&34;。可以想像，作為一位在全世

界享有崇高威望的大數學家，要在自己的著作中公開承認一位默默

無聞的青年超過了自己，該需要何等的勇氣和坦蕩的襟懷!其實，

這無須使歐拉感到難堪。牛頓不是說過嗎，他之所以能看得比前人

遠些，只因為他是&34;罷了。在變分法方面，歐拉

超過了他的老師約翰·伯努利；而今天，年輕的拉格朗日又走到歐

拉的前頭。&34;。科學的發展不是如同滔滔長江，

後浪擁著前浪，奔騰向前，永不停息嗎?不久，由歐拉推薦，年僅

23歲的拉格朗日被選為柏林科學院的外籍院士。歐拉的高尚品質贏

得科學界的廣泛尊敬。在他的晚年，當時歐洲所有的數學家都以自

己是他的學生而感到自豪。

但遺憾的是，腓特烈邀請歐拉不是為了分析和數論，也不是為

了變分法。腓特烈只是要歐拉為他的科學院裝點門面和給他的侄女

迪莎公主當私人教師。可憐的數學家不得不每天從寶貴的時間裡擠

出兩三個小時花在這位驕傲的公主身上。歐拉不甘心讓公主獨享美

果。他把豐富多彩的授課內容用信的形式公開發表。他那優美流暢

的文筆使人們吃驚地發現，歐拉的文學才能被大大地低估了。著名

的《致德國公主的信》立刻用7種文字翻譯出版，風靡一時。

這一切還不足以耗盡歐拉無窮無盡的創造精力。他還為普魯士

政府解決了諸如鑄幣、城市水道、運河、保險金和養老金制度等一

系列重大的實際問題。特別是由於他的卓越領導，使瀕臨絕境的柏

林科學院重獲新生，一躍成為歐洲最有影響的科學院之一。

好像神奇的園丁，歐拉所到的地方無不繁花似錦，生意盎然!

無法容身

但是誰會想到，歐拉在柏林的生活甚至比在彼得堡更難受。說

來也不奇怪，一群大臣貴族整天圍著腓特烈轉，令人作嘔的歌功頌

德和阿諛逢迎早已使他飄飄然。試想質樸的歐拉一不會吹牛，二不

會拍馬，在腓特烈國王面前不亢不卑，直言不諱，豈能不遭白眼?

雖然腓特烈以科學保護人自居，可是他不懂數學，也不喜歡數學，

更看不上&34;的歐拉。他甚至公然奚落歐拉是&34;!

歐拉不會機智地避開哲學問題的辯論，也使他自己吃了苦頭。

歐拉的學識淵博，舉世公認。他不僅在自然科學各部門，而且

在文學、音樂、神學等許多方面都有極深的造詣。可是，歐拉在哲

學上卻是個門外漢。他以為哲學只是詭辯學，見仁見智，不值得下

功夫研究。當時腓特烈宮廷裡有位紅人，他就是18世紀多才多藝的

法國大作家伏爾泰。這個人能言善辯，口若懸河，論戰起來語言尖

刻辛辣，毫不留情。他常常喜歡把單純好奇的歐拉誘入哲學的迷宮，

引得一班咬文嚼字的朝臣們在旁邊擠眉弄眼，看熱鬧。結果可想而

知，歐拉總是低頭認輸。在一片笑聲中，歐拉自己也不由得溫厚地

笑起來。其實，歐拉只把辯論作為無傷大雅的消遣，倒不在乎它的

勝負。他甚至頗為欣賞從伏爾泰那裡招來的毫不容情的批評。然而

腓特烈把辯論看得十分認真。書生氣十足的歐拉使他失望。他要物

色一位儀表堂堂、能應付各種場面的老練的哲學家來領導科學院和

應酬他的宮廷。他決定邀請法國著名數學家、思想家達朗貝爾

(1717—1783)來接替這個位子。達朗貝爾是位理想的人選。他對哲

學深有研究，而且和歐拉在數學上關係有些冷淡。可是達朗貝爾不

是這種人，可以讓個人關係的好惡來左右自己學術上的判斷。他直

截了當地告訴腓特烈，想把任何人置於歐拉之上是痴人說夢。不想

這個回答只是火上澆油。腓特烈惱羞成怒了!

實際上，歐拉和彼得堡科學院一直藕斷絲連。即使在柏林科學

院任職，彼得堡也照常支付他一部分薪金。同樣，歐拉雖然身在柏

林，仍為彼得堡寄去了上百篇論文，還不時對那裡的事務提供諮詢

意見。1762年葉卡捷琳娜二世即位，俄國科學家的工作條件有了相

當的改善。她熱情邀請歐拉重返彼得堡工作。歐拉很清楚，自己僅

剩的深受白內障折磨的左目絕對經不起彼得堡嚴寒的侵襲。不過他

還是決定回去。柏林的氣氛已經使他無法容忍。這位歐洲最有威望

的數學家為腓特烈夜以繼日地幹了20多年，終於未能逃脫顛沛流離

的命運。年近花甲的歐拉，拖著病體，偕同多病的柯黛玲和一大群

子女，又一次餐風飲露，長途跋涉，來到冰雪覆蓋、寒風怒號的彼

得堡

重返彼得堡

歐拉在彼得堡受到異常隆重的歡迎。葉卡捷琳娜二世用王室成

員規格禮待這位大數學家。她專門為歐拉準備好一幢雅致而舒適的

住宅，配備了8名僕役，還委派一名御用廚師來管理膳食。

歐拉迫不及待地投身工作。可是好景不常。北方刺骨的嚴寒和

緊張勞累的工作使他左眼的視力迅速惡化。這一消息引起拉格朗日、

達朗貝爾等歐洲著名數學家的驚恐不安。他們紛紛向歐拉表示同情

和慰問，希望他好好休息。早日恢復健康。按理說歐拉是該放下工

作，安心休養一番了。他為數學已經足足奮鬥30多年，獲得了舉世

矚目的成就；他的著作遠遠超過歷史上任何一個最多產的數學家；

特別是他為此已經獻出自己寶貴的右目。現在，如果再不注意保養，

他僅存的左目眼看又要失明。失明意味著什麼，歐拉比誰都清楚。

雙目失明將使他成為生活上不能自理的殘廢，將再也看不見使他神

往的計算公式和幾何圖形，看不見親人的臉龐和美好的世界，一句

話，他將墜入黑暗的無底深淵!可是他同樣清楚，工作就是他的生

命。要是生活中失去了他自己鍾愛的計算，那麼活著還有什麼意義

呢?不錯，失明可以剝奪他看書寫字的能力，可是奪不走他超群絕

倫的才華，更休想奪走他熱愛數學和獻身科學的決心!他平靜地等

候著失明的到來，但是決不向黑暗低頭。他決心用加倍的努力，來

回答命運對他的挑戰。

在最後失明以前，歐拉習慣用石筆在一塊大石板上進行演算。

他雙目失明以後，決定由自己口授，主要讓大兒子阿爾伯特來筆錄。

從查閱資料到論文寫作中所遇到的種種意想不到的不便和困難，他

只有用延長工作時間來彌補。他的創作精力使年輕人自愧不如。從

他口中吐出的一字一句，慢條斯理，綿綿不絕，好似一條抽不完的

絲線。這根無形的絲線把年輕人緊緊捆住，累得他們腰酸背疼。大

兒子支持不住了，就由大女兒接著記。這位雙目失明的老人憑著超

乎尋常的意志和毅力，再一次創造出令人瞠目結舌的奇蹟。他的科

學成果在失明以後不但沒有減少，反而增加了!除了厚厚3卷《積

分學原理》以及《船舶製造和結構全論》等重要著作外，他還用每

年800頁的驚人速度發表了近400篇具有獨創性的研究論文。今天，

當我們手捧他的光輝論著，欣賞著那絲絲入扣的深刻分析和令人眼

花繚亂的精巧計算，誰會相信它們的作者竟是一位雙目失明的老人!

毫無疑問，這一切成就都和歐拉罕見的記憶能力密切相關。維

吉爾的洋洋12大卷國民史詩《埃涅阿斯紀》，雖然他青年時代以來

已經不再翻閱，仍能背誦如流。如果這還不足以顯示他記憶力的無

比高超，那麼他還能告訴你，史詩每一頁的第一句和最後一句是什

麼。他能不假思索地背出前100個素數的前6次冪。至於當時數學

上的所有重要公式，不用說都準確無誤地保存在他的記憶裡。他的

心算能力同樣舉世無雙。不論是算術的、高等代數的還是微積分的，

甚至那些對有才能的數學家在紙上作起來頗感棘手的計算，他都能

應付自如。有一次歐拉的兩個學生計算一個複雜的式子，他們在答

數的第15位上差一個單位。為判定哪個正確，歐拉親自心算了一

遍。他的答案最後證明是對的。所有這些，現在都對他大有幫助，

使他能泰然自若地面對黑暗的挑戰。他失明以後還有一件事，說起

來簡直叫人難以置信。

在歐拉時代，要確定船隻在海上的位置是一項極困難的工作。

按當時的方法，緯度的確定還比較容易，只要通過對恆星的觀察就

可以解決。困難的是確定經度。它需要知道月球每時每刻相對於

一個標準位置(17世紀後半期已經定為英國的格林尼治)的方位。

這個方位要求有極高的精確度。假如角度上差一分，那麼在經度上

就會差半度。真是失之毫釐，差之千裡。可是，要精確計算月球的

方位真不容易，因為它牽涉到3個星球：太陽、地球和月球。這種

&34;是數理天文學中最困難的問題之一，甚至連牛頓對它

也感到頭痛。牛頓在《自然哲學的數學原理》第三卷中用幾何方法

研究過月球的運動，可惜用這個方法製作的月球位置表所帶來的船

只位置的誤差高達160公裡。這幾乎是船隻整整一天的航程，當然

滿足不了戰爭和航運事業的需要。各國政府和科學家為它絞盡了腦

汁。英國專門成立&34;，並且設置高達20000英鎊

的獎金來徵求解答。年邁的歐拉不顧自己已經雙目失明，決定利用自己的分析對月球作一次透徹的計算。他的心血沒有白花。歐拉的新方法把誤差縮小到只有30公裡。為了表彰他的功績，英國海軍部向他頒發了巨額獎金。

參天大樹

雙目失明僅僅是災難的開始，不幸接二連三地向歐拉襲來。

1771年的夏天嚴重乾旱，彼得堡已經有50多天沒有下過一滴

雨。城市在烈日火焰般的烘烤下呻吟著，艱難地喘著氣。傍晚時分，

一間民房不慎失火整個街區像一堆乾柴那樣地燃燒起來，把天空映

照得通紅。歐拉正斜倚在沙發上，為一篇有關力學的論文打腹稿。

等他聽到外面驚慌嘈雜的響聲和聞到撲鼻的焦煙氣味，整個住宅已

經被火舌吞沒。歐拉急忙起來，摸索著向擺放自己手稿的桌子走去。

不料在慌忙中腳被椅子絆住，身子重重地摔倒在地。嗆人的濃煙滾

滾而來，憋得他喘不出氣。他掙扎著想站起來，可是四肢已經不聽

使喚。在這千鈞一髮的時刻，跟隨歐拉多年的瑞士僕人彼得·克萊

姆衝進屋來。他背起老主人轉身就走。但是歐拉緊緊抓位門框不肯

放手，要他丟下自己的心血去逃生絕對不行。他堅持要彼得用臺布

把一大堆尚未付印的手稿包好帶上。時間已經刻不容緩，房子隨時

都可能坍塌。但是彼得執拗不過老人，只得遵命。當彼得背著失明

而有病的老主人踉踉蹌蹌來到院子，只聽得轟隆一聲，圖書館倒了!

整個住宅和全部家產隨著沖天火光付之一炬，惟一倖免的是歐拉幾

千頁尚未出版的手稿！

1776年，歐拉痛失了40多年來朝夕相處，患難與共的忠實伴

侶——柯黛玲。無論是早年在彼得堡的血腥恐怖日子裡還是在柏林

的屈辱環境下，無論是在雙目失明的悲痛歲月還是在火燒家園的不

幸時刻，柯黛玲總是和他一起分擔著痛苦和憂傷。她默默照料著偌

大的家庭，使歐拉免去後顧之憂。現在，柯黛玲先他而去。歐拉撫

摸著自己剛出版的新書悵然若失。由於孩子眾多，自己又是行動不

便的盲人，亟須一位能幹的主婦來照料整個家庭，歐拉只得再度結

婚。第二個妻子珊蘿·亞佩吉·格賽爾，是柯黛玲同父異母的妹妹。

為恢復左眼視力的手術失敗，宣告歐拉永遠失去重見光明的希

望。原來根據醫生的診斷意見，通過手術可能使左眼恢復視力。手

術十分順利。歐拉心焦地計算著哪天能復明。他想像著又見到了燦

爛的陽光，用眼睛來&34;那一個個妙不可言的數學符號。一想

到這裡，他抑制不住內心的激動。可是希望又一次落空，患部發生

了感染。經過一段難熬的拖延，他終於沒有掙脫黑暗的無情魔掌。

但是，歐拉是棵高聳入雲的參天大樹。一切不幸和挫折，即使

如逞兇的冰雹雷擊，肆虐的風霜雨雪，也摧毀不了他旺盛的生命力，

反而使他更蒼勁有力，氣勢非凡!面對命運的重重打擊，歐拉泰然

自若，我行我素。這位巨人以他堆積如山的精心傑作向全世界證明，

只要志向明確，意志堅強，鍥而不捨，勇往直前，一個人，即使是

一個盲人，也可以創造出人間奇蹟!

前進吧，前進將使你產生信念

17世紀在英國點燃的工業革命之火，到歐拉時代，在整個歐洲

已經形成燎原之勢。發明和工業，擴張和財富，繼地理發現之後的

科學發現，這一切都給人們以信心。黃金時代正露出曙光，人類的

心靈正從沉睡中覺醒。科學家熱切地要去徵服世界，去探索宇宙的

奧秘。偉大的牛頓逝世那年，歐拉剛剛20歲。這時候，笛卡兒的坐

標幾何問世已有90年，微積分的建立大約已有50年，而物理和天

文學的關鍵——牛頓萬有引力定律已經在科學界流傳了將近40年。

在這些領域裡，大量孤立的問題雖然已經獲得解決，但是對當時純

粹數學和應用數學所面臨的種種問題，卻還沒有來得及發動一場系

統的全面的進攻。笛卡兒、牛頓、萊布尼茲所發明的強大的分析方

法遠沒有開發到應有的極限。誘人地展現在歐拉面前的是一片廣袤

肥沃的處女地。

不過，18世紀的數學同今天相比，還顯得相當粗糙。在歐拉時

代，微積分的基礎本身還不清楚，而且從誕生之日起就一直受到攻

擊；無理數的概念還模糊不清；連負數也遭到非議；對複數不用說

更是錯誤百出。像歐拉所著《對代數的完整介紹》一書，1768年，

1769年在俄國第一次出版，1800年在德國出版，是公認的18世紀

最好的代數教科書，其中就有這樣的錯誤：

今天的每個初中學生都知道，在根式運算中必須以a、b不小於零為

前提。

但是，英國數學物理學家賀拉斯·蘭姆說得好：&34;達朗貝爾更有一句為人們廣為引用

的名言：&34;18世紀的數學家正是在

缺乏理論保證和邏輯支持的情況下，僅僅依靠一套明確的運算法則

和數學的物理意義，勇敢地開闢前進的道路。他們對數學的方法確

信無疑。分析在物理應用上所取得的不同凡響的成功使他們陶醉，

而無暇顧及數學的嚴密性。在他們看來，追求證明的嚴密性似乎是

自找麻煩。&34;因此，人們正確地稱這個時代是英雄的時代，而歐

拉更是英雄時代裡的數學英雄。他憑藉威力無比的分析武器，以磅

礴的氣勢向數學各個領域發起猛攻，奪得了一個又一個令人驚羨的

成果。他在微積分、微分方程、曲線曲面的解析幾何和微分幾何、

數論、級數和變分法等領域中都有輝煌的成就。他把數學應用於力

學，創立了分析力學和剛體力學。他的研究足跡遍及當時科學的一

切領域。上至天文，下至地理，大到行星軌跡，小到分子運動，從

潮汐理論到船舶設計，從聲的傳播、光的波動到人體的血液流動，

從望遠鏡、顯微鏡的設計到梁的彎曲和彈道的計算，……範圍是這

樣廣闊，內容是這樣深刻，以致要寫出他的全部發明項目都需要好

幾頁的篇幅，而他所提出的創見至今仍有待於我們用心研究的，還

可以列出長長一串。怪不得僅僅為整理他沒有發表的文稿就使彼得

堡科學院足足忙碌了47年!歐拉為我們清理好場地，開闢出道路，

把一切有價值的發現連接成一個整體。正是在這個基地上才建起今

天繁榮的現代數學之城。可能在歐拉著作中有個別結論在今天看來

是不成熟的，甚至是錯誤的，但是正像白壁的瑕疵，太陽的黑子，

時代的局限性畢竟掩蓋不了他那光芒四射的成就。因此，大數學家

高斯極其公正地指出：&34;拉普拉斯也滿懷敬意地提

到這位可敬的長者：&34;

1783年9月18日，像往常一樣，全家還在睡夢之中，歐拉已

經摸索著起床。老僕人輕輕地把他攙扶到花園裡，坐在安樂椅上。

彼得堡秋天的黎明涼氣襲人。遠處屋頂上嫋嫋炊煙和地平線上輕柔

的晨霧，在早霞襯託下把城市點綴得五彩繽紛，富有詩意。偶爾傳

來馬車馳過的轔轔聲和行人的腳步聲。隨著城市的甦醒，老人永不

疲倦的大腦開始了一天的工作。不久前，法國航空先驅者約瑟夫-米

歇爾·蒙戈爾費埃和雅克-艾蒂安·蒙戈爾費埃兄弟搭乘充滿熱氣的

氣球成功地飛上天空。現在歐拉正在凝神思考，怎樣用數學來描述

氣球冉冉上升的運動。中午，歐拉和家人有說有笑地共進了午餐，

飯後在沙發上假寐片刻。天王星是新近發現的，他思索著說出它的

軌道。這個結果同觀測數據正好符合。老人感到有點疲乏，想稍稍

休息一下。他一邊喝茶，一邊逗孩子玩耍。突然，一陣暈眩，菸斗

從手中掉落。歐拉只來得及輕輕說出一句話：&34;這位一

生奮鬥不息、為數學無畏地獻出自己雙目的老人，終於&34;。