雖然我多次在文章中提到過乘法口訣表，班級裡相關答疑更是數不勝數，但由於問題情景不同，可能家長們會看到我有不同的說法，今日就正式寫一篇文章，完整講一講。
這篇文章我會分四個層次來講：
第一個層次：從腦科學的角度來講講人腦到底擅不擅長記憶乘法表？
第二個層次：從教學目的來分析老師的各番操作合理麼？
第三個層次：從學習效果來講什麼樣的方法能取得較好的效果？
第四個層次：有沒有特例？
同時今天會有一些腦科學上的名詞解釋，幫助大家正確理解本文。下面先從腦科學角度來講。
大腦的「錯誤」
「大腦不是用來思考的，它的真正作用在於使你避免思考。」
——威林厄姆《為什麼學生不喜歡上學？》
人生來第一要務就是生存，我們的大腦也是為此準備的。想像一下原始人遇到危險時需要的是立即做出本能反應，而不是去思考。危機四伏的生存環境要求人具有發達的本能和直覺系統。被包圍的時候，能直覺到敵人的數量多少，哪邊人少是突破口也是一種原始的「數感」。幼兒早年對數的直覺很符合人性，他們在中大班的時候基本上都能感知到5以內的數，這是很正常的，能定性地區分估測兩堆物體的多少。但是到了小學，突然發現學習數學需要的是精密計算，要記憶幾十條乃至上百條關於計算的信息，大腦開始出現各種差錯。
讓人尷尬的是這些「差錯」有一大部分源自於大腦的一種「高效機制」。大腦具有很強的「模式識別」能力，人通常通過聯結的機制來提取，通過一個經驗關聯另一個經驗，追溯記憶。
聯結記憶是一個強有力的工具，它讓我們可以在碎片化的數據之間建立聯結，讓我們能夠利用類比推理，將一個情境中學到的知識用到新的環境中。實際上，人們不需要看見臉就可以認出某個人，憑藉聯結記憶，人們通過走路、姿勢、聲音和身體輪廓就可以快速準確地辨認出遠處的熟人。但正因為大腦擅長聯結記憶，在遇到乘法口訣表的時候就陷入了困境，因為各個算式太過接近，以至於大腦需要動用很大的能量才能保持各個信息片段之間互不幹擾，且精準提取。這樣大腦就很容易疲勞，從本能角度來講，大腦是不願意讓自己疲勞的，因為要保持警覺狀態以維持生存，大腦傾向於把事物信息模式化分組歸類後儲存，這樣輕鬆便捷，但是對於背誦乘法口訣表來講就不是一件好事了。
注釋：為什麼是很大能量？根據腦電技術（EEGs）研究顯示，簡單的數字操作，比如數字比較，涉及數個不同的腦區。但乘法任務則需要協調多個廣泛分布的神經區域，表明有大量的認知操作參與其中。因此為了作乘法和精確預算，我們不得不調集那些本來是為其他目的發展起來的心理迴路。Micheloyannis,S.,Sakkalis,V.,Vourkas,M.,Stam,C.J.,&Simos,P.G.(2005,January 20) Neural networks involved in mathematical thinking: Evidence from linear and non-linear analyis of electroencephalographic activity. Neuroscience Letters,373,212-217.《人腦如何學數學》中給出了一些研究結果，說到：「我們通過語言記憶乘法表會導致不同輸入之間的互相干擾，計算機能夠區分6*9=54，7*8=56，8*8=64是相互獨立且不同的實體。然而，在人們大聲讀出這些式子時，大腦卓越的模式搜索能力卻檢測出它們之間韻律的相似性，因而難以對這些表達式加以區分。因此，6*9的模式可能會激活其他一系列的模式，包括45，54，56，58，並將它們提取到工作記憶中，從而難以選擇正確答案。」
也就是說人類經歷了數百萬年進化，大腦被賦予了生存技能，可以根據零星的信息就迅速做出判斷和推論，但是我們沒有被賦予記憶「乘法口訣表」的高超技能。
這就是為什麼小孩子背誦乘法口訣表如此困難，且容易疲勞的原因。
教師的「無奈」
儘管腦科學為人們揭示了這一特點，同時也提供了一些建設性的意見（我將在第三部分來講），但另一方面腦科學與教育的結合，步伐還很緩慢，大部分教師群體可能連兒童發展心理學的知識都還不具備，更不要說結合大腦神經科學的知識了。所以，理論發展的前沿，與現實教學之間存在著割裂。
我研究了五個版本的小學課本（人教版、滬教版、北師大版、蘇教版、浙教版），沒有哪個教科書是讓學生「背誦乘法口訣表」的，更不要說背誦加減法口訣表了。尤其在剛剛學習表內乘法的時候，教科書（教參）都強調讓學生從「幾個幾」最底層的邏輯出發學習乘法，比較不同算式之間的關係，進行推理。
然而為什麼到了實際教學中，就會有老師要求學生背誦乘法口訣表，甚至還要一個學生一個學生地抽查呢？
原因之一：教學進度太快。無論是老師為了趕進度，還是課時數不夠，都會導致學生沒有太多時間消化吸收加深鞏固，便進入更高一級的運算學習了。如果表內乘法還不熟練，就會影響後續兩位數，三位數，除法等計算，因此老師不得不提出儘快背出乘法口訣表的硬性任務。
原因之二：一些老師錯誤地認為學習的過程並不重要。如此低級的學段，把事實記憶清晰牢固是最重要的，至於思維能力，等掌握了這些事實後，慢慢再通過做練習來提高。他們並不認為學習乘法表本身這個過程蘊含著對思維的「改造」和促進。——我必須要說，這一點，甚至不少數學家們都是這麼認為的。近百年來，中西方數學家和數學教育家們之間的矛盾分歧一直存在。
原因之三：貪圖省力。如果說前面兩個原因，是因為老師還是很負責的，只不過認識上的不同，造成了方法上的不同，但老師的目的都是在當下不完美的情景中希望能幫助學生們學得更好（但不一定能實現），那麼最後這個原因則是一小部分教師人為偷懶造成的。他們為了教學省力，讓學生提前背誦好乘法口訣表，如此課堂就可以省去一半功夫了，讓家長教會了孩子，到了課堂上就以絕大部分孩子都已經學過為理由，不再在課堂上細講。學校被淪為了「複習回顧」知識的地方，家庭（校外）反倒成了學習新知識的地方。
當然以上原因也可能有混雜，人心複雜，你看不透，當然也不必深究，現象罷了。這能告訴我們什麼呢？如今這個時代，並不是學校說的所有指令都是正確的，教師這個職業的權威性也在下降。如果家長很認真地想培養自己的孩子，那就需要先「武裝」自己，你自己得學習，才能協調各方面的矛盾，折中地去處理。
家長們必須要認清，完美的教學是不存在的，合理和不合理，都與個體差異有關，就自己孩子的情況，做出一些調節是有必要的。呆板地遵守某些條規（不管你固執地認為絕對不能背誦口訣表還是你單一地就是遵照老師的要求一絲不苟地叮囑孩子背誦），就變成愚鈍了。
解決方案：意義的構建
如果我們能夠結合各方面的研究，現實情況，做出一個對孩子思維發展最有利的方案，不是沒有，相應地需要付出更大的「代價」。
這個代價是指：你的耐心，你的時間精力。
第一部分我們講了大腦的本能用於適應生存，同時這裡要提到大腦是一個高效的過濾器。每天我們受到大量信息的「轟炸」，醒著的時候，人眼不斷接受各種各樣的信息，這些信息如果不加選擇地都進入大腦，進行深度加工儲存，那大腦這個CPU就要崩潰當機了。所以人腦保護性地會過濾掉許多無用的信息，那些在它們看來無意義的信息。
尋找意義，就是大腦的機制之一。無論在生活中，還是在學習中，建構意義，就是大腦在思考的時候在做的事。如果學習沒有建構意義，就很容易遺忘變形，產生錯誤聯結，單純背誦乘法口訣表就容易產生工作記憶紊亂。
基於這樣的生物學基礎，兒童在學習乘法表的過程中，就需要特別注意幫助他們建構意義。這裡的建構意義指學生將新的知識與過去的學習經驗聯繫在一起的結果。學習乘法這個新的知識，就要與加法聯繫到一起。比如通過加法計算「幾個幾」來得到乘法的結果。下面是一些建構乘法網絡的例子：
2*5，是2個5相加等於10；
4*5，就是4個5相加，等於2個10，等於20；
5*5，就是5個5，也可以看成10個5的一半，因此是50的一半，是25；
5*6，可以看成5個6，也可以看成6個5，與5個5相比，多了一個5，所以比25多5，是30；
6*6，就是6個6，比5個6要多6，也就是比30多6，是36；
7*8，則可以看成是2個8加上5個8，而如果孩子已經知道8個5是40，那麼5個8也是40，與2個8相加，變成了40+16=56。
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表內乘法的學習，人教版要用23-24個課時，其他版本也差不多，如果一周4個課時，也需要一個半月的學習時間。許多家長希望孩子一個星期就把乘法口訣表背熟，起初一個星期看起來背出了一點效果，但是不練習很快就忘記了，根據記憶曲線，如果沒有經過一個月的持續訓練，很難形成長時記憶。更多情況是斷斷續續進行，哪怕進行一個學期，許多孩子到了二年級下的時候，表內乘法依然不熟悉。這個中間，浪費了多少時間在機械背誦上，假如把這些時間都用來慢慢建構乘法的意義，通過與加法的聯結，深度加工，由於一個乘法算式不是單一與結果關聯，而是有了推導的過程，信息更加豐富，再加上一段時間內持續聯結，一直在建構正確的路徑（而不像背誦記憶，總是會出些錯誤），因此不會產生負強化，不會讓孩子走冤枉路（背了又忘記，或者因為記錯而要花更多時間糾正）。
實際上教科書的編排，24課時是非常合理的，也符合大腦的學習機制。根據Marzano，Pickering，Pollock在《Classroom Instruction that works》中總結的關於練習的法則：第一條掌握一個新技能，需要花至少24次的練習時間；第二條在練習的過程中，學生需要對新概念進行反思，深度分析，才能促進應用。
如果我們仔細再分析，按照表內乘法順序，分組學習，比如先學習關於1-3的乘法，然後是4和5的，再然後關於6以及複習1-6的乘法，接著是關於7的，關於8的，關於9的。每一個模塊都需要經歷24次練習，具體的計劃可能是先學習新的，然後在學習下一個新內容時，同時複習前一模塊的內容，時間上各有側重，周期性循環訓練。這樣分解成6個模塊學習的話，2-3個月可以完成整個大循環，達到熟練的程度。
雖然從局部來看，每個模塊的學習，時間都被拉得很長，節奏慢，但實際上學生頭腦中建構出了更多細節豐富的數字網絡，對知識的掌握更加牢固，反而能力更強。
總是會有特例
乘法口訣表要不要背誦？我認為如果學習方法得當，不需要背誦就能記住，就能掌握得非常好。我的微課班級裡總有一部分家長會反映孩子沒有背誦乘法口訣表，運用推理就能操作複雜的計算，而且正確率也高，速度也不慢。
我還必須要引用一段《人腦如何學數學》裡的話：
「如果將孩子引入計算的過程主要依賴於對乘法表或者其他的算術機械記憶，那麼他們對於數字關係的直覺理解力就會漸漸被破壞和壓制，結果是，他們就會從對數字的直覺加工轉向忽略數字意義的自動化數字運算。而反過來，如果在計算教學開始時就充分利用孩子的數感，感數和數數策略與新的數學運算建立聯繫，那麼乘法表就能夠成為幫助他們加深對數學理解的工具，而不僅僅是為了背誦而背誦.這裡的觀點是要利用學生對於模式的本能感覺，在沒有記憶乘法表的情況下建立乘法的聯結網絡。當然，這個方法並不是對每個學生都適用，對於某些學生來說，記憶乘法表可能是唯一有用的方法。」
如果你不想看上面這段話，只想知道有什麼特例，我來給你總結一下：
1）對於一些具有學習困難症，或者特殊兒童來講，因為缺乏相應的生物學機制來支撐邏輯推理的過程，因此這種建立乘法聯結網絡的方法是不適用的，會更加困難，還不如讓他們直接背誦記憶更有效。
2）對於一部分從幼兒園開始就背誦記憶的孩子來講，到了小學已經不能夠適應邏輯推理的過程，那麼也只能繼續背誦記憶下去了。
3）對於一部分沒有人與之互動，缺乏交流環境，或者與父母親子關係不佳，也厭學的「學習問題生」來講，背誦記憶也可能是唯一的方法。
4）對於特別有天賦的孩子，記憶能力也一流，或者即便是記憶了，也不影響他們對數學其他方面的興趣，他們寧願花更短的時間背出乘法表，節省出時間去挑戰難題，那麼死記硬背這種方式也完全不會抹殺他們的天賦。大部分數學家估計就是這種類型，因此我建議人們在聽數學家或者特別有天賦的奧賽生的建議時，選擇性聽從中學以上學段的建議，而對於幼兒到小學學段，可以選擇性忽略，因為他們本身就非「常人」，在啟蒙階段思維就已經遠遠領先於同齡人了，沒有什麼參考價值。
以上就是特例，從這裡可以看出，其實絕大部分孩子都適合「建構意義」式的學習，穩紮穩打地建立乘法網絡，適當應付一下老師的要求，大部分時間用來練習推算，鞏固聯結，會是更好的方式。
而一些猶疑在兩端，既不想背誦，又不能花功夫下去的家長，恐怕孩子就要受苦了，因為兩頭都不搭的做法是最傷人的。無論死記硬背知識還是提升思維式的訓練都沒有達成，理念口號都不過是空中樓閣罷了。
永遠不要對「不背誦記憶」存有幻想，你的目標不是「不吃苦」，而是「更有能力」，因此必要的訓練是必須付諸心血的。
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