數理統計與概率論及Python實現——概率論中基本概念

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作者：Keivan Chan

來源：97年陳伯伯

其實從中學就開始學習統計學了，畫直方圖，求平均值，找中位數等；大學也集中學過概率論和數理統計；

到了工作中，統計作為數據科學的基礎，想要從事這方面的工作，這始終是一個繞不過去的檻；

這次主要寫連載，一是主要為了鞏固數理統計的知識，二也是嘗試用簡單易懂系統的文字向感興趣的朋友介紹相關內容；

導讀：

基礎中的基礎隨機事件試驗與樣本空間：頻率與概率

基礎中的基礎

    在所有可觀察的現象中，可以從大的方面分為兩類——必然現象和隨機現象。

    物理學中各種定律描述的基本上都是必然現象，比如物體會因為重力而從高處下落，某一時刻地球位於太陽系中的位置。這些現象的發生都是確定無疑的，如果我們完全認識了它們的內在規律，那麼在發生之前就是可以完全準確的預測出結果。

    但是還有一類現象是不確定的。它的不確定性表現在，事先無法準確的預測其結果。唯一可以獲得這類現象的結果的辦法是等到它們發生之後。最典型的例子就是拋硬幣。拋一枚均勻的硬幣之前，已知結果只有正面和反面兩種，但是無法知道到底會是哪一面。比如說，跟喜歡的人表白；明天是否會下雨等。可以看到，這些現象單次發生的時候，是毫無規律可循的。

    

    也正是有了這兩種現象，才讓這個世界既可以被認識，又不至於完全可以被預測。

    但當我們在相同的條件下，大量重複（如果可以的話）做某件不確定的事，然後統計實驗結果，就有可能發現某種規律。還是拿拋硬幣來舉例，每次拋硬幣都不知道會得到正面還是反面，但如果有耐心將一枚均勻的硬幣拋20,000次（已經有多位著名的統計學家這麼做過了），然後統計一下正反面分別出現了多少次，就可以發現它們差不多都是10,000次，也就是差不多各佔50%。上面的拋硬幣的例子中，隨機現象（拋硬幣）在相同的條件下，大量重複試驗中呈現的規律性就叫做統計規律性。

    

    《概率論與數量統計》就是研究隨機現象的統計規律的一門學科。

    

    概率論研究的是隨機現象的模型（即概率分布）；

    數理統計是研究隨機現象的數據收集和處理；即包括數據的收集、整理、分析和建模，從而對隨機現象的某些規律進行預測或決策。

    怎麼學習概率論與數量統計：

學思想：如何看待和處理隨機規律性；

學方法：建立統計模型；

學應用：模型的實際應用，也可以自己收集、尋找各種實例；

學軟體：掌握統計軟體的使用和結果分析。

隨機事件試驗與樣本空間：

隨機事件：在一定條件下，並不總是出現相同結果的現象成為隨機現象，三個特點：

可以在相同條件下重複進行；

事先知道所有可能出現的結果；

進行試驗前不知道哪個試驗結果會發生。

隨機實驗：對在相同條件下可以重複的隨機現象的觀測、記錄、實驗稱為隨機實驗；例如常出現的擲骰子，摸球，射擊，拋硬幣等。

樣本空間：隨機現象的一切可能基本結果組成的集合稱為樣本空間，一般即為S（大寫的S）；S中的元素e稱為樣本點；

           將樣本點的個數為有限個或可列個的情況歸為一類，稱為離散樣本空間；

           將樣本點的個數為不可列個的情況歸為一類，稱為連續樣本空間；

隨機事件：隨機現象的某些樣本點組成的集合稱為隨機事件；簡稱事件；即事件是樣本空間的子集；

            由樣本空間單個元素組成的子集稱為基本事件;

            由樣本空間最大子集構成的事件稱為必然事件；

            由樣本空間最小自己（即空集）構成的事件稱為不可能事件；

事件的相互關係：

事件的包含：A⊆B

事件的相等：A=B

事件的積（交）：A∩B，AB

互斥事件（互不相容事件）：不能同時出現

事件的和（並）：A∪B

事件的差：A-B，A發生，B不發生

對立事件（逆事件）：互斥，必需出現其中一個

          事件的運算性質就是集合的性質

頻率與概率

頻率：

    頻率是0～1之間的一個實數，在大量重複試驗的基礎上給出了隨機事件發生可能性的估計。

    頻率的穩定性：在充分多次試驗中，事件的頻率總在一個定值附近擺動，而且，試驗次數越多擺動越小。這個性質叫做頻率的穩定性。

    

概率：

    概率的統計性定義：當試驗次數增加時，隨機事件A發生的頻率的穩定值p就稱為概率。記為P(A)=p

    概率的公理化定義：設隨機試驗對於的樣本空間為S。對每一個事件A，定義P(A)，滿足：

非負性：P(A) ≥ 0；

規範性：P(S) = 1；

可列可加性：A1, A2, ...兩兩互斥，及AiAj = ∅, i≠j, 則P(∪Ai) = ∑P(Ai)

（看不懂的調過即可）（從統計學定義理解即可）

條件概率：

    P(A|B)表示在事件B發生的條件下，事件A發生的概率，相當於A在B中所佔的比例。此時，樣本空間從原來的完整樣本空間S縮小到了B

    由於有了條件的約束（事件B），使得原來的樣本空間減小了。

                   

圖1：a.條件概率的樣本空間；b.條件概率的計算公式

 

例：一個家庭中有兩個小孩，已知至少一個是女孩，問兩個都是女孩的概率是多少？

（假定生男生女是等可能的）

解：由題意，樣本空間為

S = {(兄, 弟), (兄, 妹), (姐, 弟), (姐, 妹)}

B = {(兄, 妹), (姐, 弟), (姐, 妹)}

A = {(姐, 妹)}

由於事件B已經發生，所以這時試驗的所有可能只有三種，而事件A包含的基本事件只佔其中的一種，所以有：

P(A|B) = 1/3,

即在已知至少一個是女孩的情況下，兩個都是女孩的概率為1/3。

在這個例子中，如果不知道事件B發生，則事件A發生的概率為P(A) = 1/4

這裡P(A) ≠ P(A|B)，其原因在於事件B的發生改變了樣本空間，使它由原來的S縮減為新的樣本空間SB = B。

今天就這樣，白了個白~

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