這段時間因疫情影響，小學在家上網課，也沒發新學期的課本，主要是老師講一些開發學生思維的題目或者遊戲。說實話，挺難的，至少我念小學的時候沒有接觸這麼難的題目。比如，今天老師留的課後作業，九宮格，我跟大家一樣，早知道這個題目，《射鵰英雄傳》裡也有情節，但是一直沒有單獨拿出來作為一個事情來研究。今天算是第一次和小孩一起來解答這類題目。
先看題目：
解答：
第一步：1-9一共9個數字，要填入9個方格中，要達到三行、三列以及兩條對角線上的數字之和相等，那麼這個「相等的和」是多少呢？是不是先把1-9這9個數從1到9依次相加，1+2+3+4+5+6+7+8+9=（1+9）+（2+8）+（3+7）+（4+6）+5=10+10+10+10+5=40+5=45，如下圖，1和9、2和8、3和7、4和6都能夠一次收尾配對湊成10，剩下單個5，4個10再加上1個5，等於45。
然後把45分成相等的三份，每份是15，那麼三行、三列以及兩條對角線上的「相等的和」就是15。
第二步：我們再來進一步理解題目的意思，進一步思考。三行、三列和兩條對角線上的和都是相等，等於15。看下圖我表上顏色，扣除中間的白色空格，兩個黃色的空格之和=兩個綠色的空格之和=兩個紫色的空格之和=兩個黑色的空格之和，對不對？為什麼相等？因為她們分別各自加上中間那個相同的白色的空格，分別構成完整的行、完整的列和完整的對角線，都等於15啊，所以她們是相等的。
現在假設中間那個白色空格裡填的是A、上面提到的「兩個黃色的空格之和=兩個綠色的空格之和=兩個紫色的空格之和=兩個黑色的空格之和」就應該=15-A。這個理解吧？因為他們和為15啊，比如說兩個黃色的空格加上中間白色的空格，和為15啊。
再從另外一個角度考慮，從整個圖形看，是不是「兩個黃色的空格」+「兩個綠色的空格」+」兩個紫色的空格「+「兩個黑色的空格」一共8個有顏色的空格，外加一個中間的白色的空格，就構成了圖形全部？8個有顏色空格的數字之和+中間白色空格=全部空格之和45？是不是這樣？8個有顏色空格的數字之和是不是四個（15-A)相加？中間白色空格是不是A？（15-A)+（15-A)+（15-A)+（15-A)+A=45，60-4A+A=45，60-3A=45，3A=15，A=5，中間那個白色空格就填入5，那麼其他兩個黃色的空格之和=兩個綠色的空格之和=兩個紫色的空格之和=兩個黑色的空格之和=10。
或者，假設中間那個白色空格裡填的是A，假設兩個黃色的空格之和=兩個綠色的空格之和=兩個紫色的空格之和=兩個黑色的空格之和=B，那麼：A+B=15，A+4B=45，用第2個等式減去第一個等式，A+4B-（A+B）=45-15，3B=30，B=10，A=15-10=5。
這一步，我們主要求出了中間空格為5，兩個黃色的空格之和=兩個綠色的空格之和=兩個紫色的空格之和=兩個黑色的空格之和=10。
第三步：通過步驟二，我們知道，兩個黃色的空格之和=兩個綠色的空格之和=兩個紫色的空格之和=兩個黑色的空格之和=10，我們再來看除5之外的1、2、3、4、6、7、8、9這8個數字，能夠兩兩湊成10的只有1和9、2和8、3和7、4和6，剛好四對。如果第一行的黃色空格填1，那麼第三行的黃色空格就只能填9，同理，其他的顏色包括綠色、紫色和黑色，只要確定了其中一個空格填什麼，另外那個空格就填（10-第一個空格），比如黑色的空格，其中一個填寫了2，那麼另外一個黑色空格只能填8了，是一一對應的關係。另外，就是整體圖形中不包含中間空格5的有第一行、第三行以及第一列、第三列，加起來的和要為15。比如：左上角第一個黃色空格填1，那麼第三行第三個黃色空格填9，兩者和要為10；第一行的第二個黑色空格和第三個紫色空格之和應為14，讓第一行三個空格加起來等於15才行，那除了1、5、9已經填了一次以外，還有哪兩個數字加起來等於14呢？只有6和8啊，是不是？我們就這麼來一步一步的考慮。
邏輯關係清楚了，接下來具體怎麼填寫？我們來通過試錯來找到正確的填法。
第四步：試錯的話，接上面，先假設第一行第一個空格填1，那麼我們可以確定第三行第三個空格填的是9，她兩和為10啊，然後第一行其他兩個空格和應為14，應分別填寫6和8或者8和6。我們先填上，試試看行不行？
填完之後，我們來看，第一列除1之外，還有2個空格也需要填數，是不是也需要填寫兩個和為14的數呢？是的，但和為14的數，只有6和8或者8和6，已經填過一次了，不能再重複填寫了，這說明什麼？說明把1填在第一行第一個空格的假設行不通啊，那個地方不能填1，1和6、8這三個和為15的數，第一個不能填1，那就考慮填6吧，看是否填6行的通？（或者考慮第三列怎麼填？左邊第三列已經填了8和9，8+9=17，已經超過15了，行不通；右邊第三列已經填了6和9，6+9=15，已經不能再填其他任何數了，也行不同。所以，這也說明，第一行第一個填寫1就根本行不通。）
填6也有兩種填法，分別是6、1、8和6、8、1：
再進一步，按和為15的規則填寫第三列如下：
發現右邊要讓和為15，就必須填10，而題目只要求填寫1-9，填10就不行，所以6、8、1的填法就不對，不再考慮了，就接著考慮6、1、8的填法。依次填寫如下：
至此，1-9這9個數字全部填到9個空格裡去了。對不對呢？從三行、三列、兩條對角線一共8個方面，我們來逐一覆核一下。是對的。
最後，我們把上圖分別轉90度、180度、270度，轉置之後也都是符合答案的九宮格，就是數字擺放位子看起來好像有些不一樣了啊，實質沒有任何變化。
大家也可以把第一行第一個空格假設為1之外的其他數，比如先填2（或者3、4、6、8、9）等來考慮怎麼推理得出正確答案吧。
思考題：請把1、2、3這三個數，填入下圖九宮格中，使每一行、每一列、每一條對角線的和都等於6。每一行、每一列的三個數字不能重複。
參考答案：
引申：九宮格中間空格有沒有什麼規律？
是=每行之和/3嗎？