高中數學,帶根號最值問題,常見四大類型題,固定模板,招招制敵

求最值帶根號的類型題

帶一個根號，中間為加號的題型。例如：y=√(x^2+36)+x，y=x+√(x^2－8x+17)。帶一個根號，中間為減號的題型。例如：y=√(x^2+36)－x，y=√(x^2+1)－x.帶一個根號，中間為乘法的題型。例如：y=x·√(1－x^2)。帶兩個根號，中間是加法的題型。例如：y=√(x^2+4)+√(x^2－8x+17)

圖一

這些都是常見的帶根號求最值的問題，這些題在高考中一般都是融合在大 題中出現的。

例如，在解決函數問題以及不等式恆成立問題的時候，遇到了上述的函數，就需要知道該函數的極值來畫出圖形，所以一般這些都是融合在以後的做題之中的。

那這樣的題該怎麼計算最值或者極值呢？

這樣的題一般都有固定的方式方法，下面就這五種類型題，說一說它們的解題方法。

類型一

類型一是帶一個根號，中間是加號的題型。

像這樣的題，首先是確定該函數的定義域和單調性。

例如，y=√(x^2+36)+x的定義域是R，是單調遞增的。

其次，確定√(x^2+36)和x的大小。

因為當x趨近負無窮的時候，就相當這兩個數的絕對值在做減，如果√(x^2+36)>x，則無論x如何變化，該y=√(x^2+36)+x函數值都是大於0得，所以該函數的圖像都是在x軸的上方。

最後，就是求出該函數的極限。

當x趨近負無窮的時候，√(x^2+36)趨近正無窮，所以√(x^2+36)+x就相當於正無窮+負無窮，即函數y=√(x^2+36)+x趨近於0正。

當x趨近正無窮的時候，√(x^2+36)趨近正無窮，所以√(x^2+36)+x就相當於正無窮+正無窮，即函數y=√(x^2+36)+x趨近與正無窮。

綜上所述，函數y=√(x^2+36)+x的範圍是(0,+∞)，沒有最大值和最小值。

類型二

類型二，是帶一個根號，中間為減號的題型。

這樣的題一般都是要分子有理化的形式去解決。

例如，y=√(x^2+36)－x=[√(x^2+36)－x]·[√(x^2+36)+x]/[√(x^2+36)+x]=36/[√(x^2+36)+x]。

然後再將函數y=√(x^2+36)+x如類型一的形式去得出函數的極值，最終得到函數y=36/[√(x^2+36)+x]的極值。

即：函數y=36/[√(x^2+36)+x] 的定於為R，因為函數y=√(x^2+36)+x是增函數，所以函數y=36/[√(x^2+36)+x]就是減函數。

當x趨近正無窮的時候，則y=√(x^2+36)+x趨近正無窮，則y=36/[√(x^2+36)+x]趨近於0.

當x趨近負無窮的時候，則y=√(x^2+36)+x趨近於0正，則y=36/[√(x^2+36)+x]趨近正無窮。

所以函數y=36/[√(x^2+36)+x]的範圍也是(0,+∞)，沒有最大值和最小值。

類型三

類型三是帶一個根號，中間是乘法的題型。

像這樣的題，先判斷定義域，然後再根據基本不等式求出最值。

例如，y=x·√(1－x^2)，該定義域是0≤x^2≤1.

對於基本不等式要求一般都是正數，所以此時可以使用基本不等式，即y=x·√(1－x^2)=√x^2·√(1－x^2)≤(x^2+1－x^2)/2=1/2.

所以該函數y=x·√(1－x^2)的最大值是1/2，若且唯若√x^2=√(1－x^2)相等時等號成立，即x=√2/2.

那最小值又是多少呢？

這裡需要將x取負數並且x·√(1－x^2)的絕對值最大即可，x·√(1－x^2)絕對值最大時，就是該函數y=x·√(1－x^2)的最大值，即1/2.

所以函數y=x·√(1－x^2)的最小值就是－1/2，若且唯若x=－√2/2時等號成立。

綜上所述該函數最大值值為1/2，最小值為－1/2.

類型四

類型四是帶兩個根號，中間是加法的題型。

像這樣的題，主要就是數形結合，將這兩個根號看成是距離公式的形式，即一個動點到兩個定點的距離最小。

例如，y=√(x^2+4)+√(x^2－8x+17)=√[(x－0）^2+（2－0)^2]+√[(x－4)^2+(2－1)^2]。

則該函數就可以看成是點(x,2)到定點(0,0)和定點(4,1)的距離。

要想該動點(x,2)到這兩個定點的距離最小，則要根據三點在一條直線上線段最小的原則來計算。

圖二

如圖二所示，要想動點P（x,2）到定點O（0,0）和B（4,1）的距離最小，則作B點關於y=2的對稱點C點(4,3)，連接AC交直線y=2於D點，則當P點在D點時，該動點P到點A和點B的距離最小，即OC=√[(4－0)^2+(3－0)^2]=5。

所以函數y=√(x^2+4)+√(x^2－8x+17)的最小值為5。

當x趨近正無窮或者負無窮的時候，函數y=√(x^2+4)+√(x^2－8x+17)都趨近正無窮，所以該函數的取值範圍為[5,+∞)，即該函數有最小值，無最大值。

總結

上述題都是帶根號的形式，一般不好判斷，所以需要一些方法去判斷。

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