思維教學（六）：全景視角破解南通壓軸題

孫悟空為什麼比豬八戒厲害？因為孫悟空有火眼金睛，外看皮相，內觀神魂，所以妖魔鬼怪無所遁形，加之七十二變和如意棒，降妖除怪便能輕而易舉。我們解題也是一樣，視點站位高才能看到整體，方法理解透才能靈活應變，我在《中考數學思維方法與解題策略》中提出的全景思維就是為了培養思維的開闊性和靈活性。全景思維是一種立體的、聯繫的、變動的思考角度，既見樹木又見森林，觀其形相求其本質，不拘於一隅，不限於一法，不斷突破定勢，隨時生長創造，從而發現解決問題的最佳路徑。下面以中考題為例探討如何在全景視角下聚焦突破題目的難點。

2018南通中考卷第28題：

【定義】

如圖1，AB為直線l同側的兩點，過點A作直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l於點P，連接AP，則稱點P為點A，B關於直線l的「等角點」．

【運用】

如圖2，在平面直角坐標系xOy中，已知A(2，√3 )，B(－2，－√3)兩點．

（1）C(4，√3/2)，D(4，√2/2)，E(4，1/2)三點中，點______是點A，B關於直線x＝4的等角點．

（2）若直線l垂直於x軸，點P(m，n)是點A，B關於直線l的等角點，其中m＞2，∠APB＝α，求證：tan(α/2)＝n/2．

（3）若點P是點A，B關於直線y＝ax＋b（a≠0）的等角點，且點P位於直線AB的右下方，當∠APB＝60°時，求b的取值範圍（直接寫出結果）．

解析：問題（1）簡單略過，主要看後兩問。

我在《初中數學思維方法與解題策略》一書中總結了解題的四大基本原則：觀察聯想、猜測推理、可視化、簡單化，這幾者當然不是截然分開相互獨立的，而是相互交叉有機融合的。我還提出了兩種重要的思維方式：完形構造和全景思維，完形構造應用條件用足原理力求模型的完整性，全景思維培養多解擇優意識力求思維的靈活性。

（2）問網上和教輔的解析多是通過△APF來求的，過程較為繁瑣計算較為複雜。其實稍加觀察就會發現，在下圖的Rt△PMH中求解最為簡潔利索，簡直是秒殺的節奏，只用了一個簡簡單單的轉化：∠PA′F=∠PMH=1/2∠APB=α/2，再求MN=1/2BE=m，MH=MN-HN=m-(m-2)=2，即得tan(α/2)=tan∠PMH=PH/MH=n/2。

那麼這麼好的解法怎樣才能很快找到呢？先根據條件觀察尋找等於α/2的角，圖中有不少與α/2相等的角，選擇哪一個用呢？做個簡單的推理，PH=n，按題意則MH必為2，顯然兩邊長度的表示簡單易求，因此選擇△PMH計算其正切值最為簡便。這就是全景思維：看到多個圖形、多向聯繫、多種思路，從而能夠選擇最優方案。很多同學在解題時往往一條路走到底，不反思這條路好不好走，有沒有其它的路可以走，導致思路單一、思維定勢，所以平時解題就要視野開闊，保持思維開放，進行全景式思考，培養多解擇優意識，這樣可以提高解題效率，同時提升思維的靈活性和發散性。

（3）問：首先由∠APB＝60°判斷是定線對定角模型，得點P在以AB為弦的圓上（AB所對的優弧），再判斷直線y=ax+b(a≠0)隨著P點變化是怎樣運動的。我們知道，解決動態圖形問題的策略是：「以靜制動，動中尋定」，依據定義參照圖1的方法畫出圖形，這裡的直線作法實質就是作∠ABA′的角平分線（或作AA′的垂直平分線），如下圖。

如果在做題時一時難以發現直線y=ax+b(a≠0)的變化特徵，可以多畫幾個P點進行觀察猜測，同時也進行了可視化處理：

通過畫圖會發現此直線在運動過程中始終經過一個定點，那麼這個定點在什麼位置呢？為什麼會經過這個定點呢？結合條件和圖形稍作推理計算可得∠BPC＝60°，所以弧BC的大小是確定的，B是定點，所以C必是定點，易知△ABC是等邊三角形。

圖形的變化規律已經明朗，P點運動時直線PC實質是在繞點C旋轉，所求b的取值範圍只需看直線與y軸交點的位置變化情況，觀察圖形可以想像出，P點在優弧AB上從B至A運動時，直線與y軸交點先由BC與y軸交點處（不重合）向下無限下降，再從上方無限高處下降至直線AC與y軸交點處（不重合），實際運動情況如下圖：

觀察可知，直線與y軸交點在直線BC與y軸交點下方，在直線AC與y軸交點的上方，而且當PC平行於x軸時，a=0，故把此點舍掉。下面的問題就簡單化為：求直線AC、BC的函數表達式。C點坐標通過「改斜歸正」易得C（3，－2√3），再求得直線AC為y=-3√3 x+7√3，直線BC為y=－√3/5 x－7√3/5，所以b>7√3或b<－7√3/5且b≠－2√3。

本題也可以看A′點的運動軌跡是以AB為弦所含圓周角為30°的圓弧，所求直線為AA′的垂直平分線，所以必過圓心C，同樣可知此直線過定點C，極端位置為直線AC、BC。

本題綜合了軸對稱、圓、等邊三角形、一次函數等知識，考察空間觀念及數形結合、分類討論的思想方法，要順利地解決這樣的問題除了基本知識方法要紮實掌握，還要具備全景思維，看到題目所有條件信息並對關鍵部分進行聚焦處理，聯繫所學知識方法進行推理，根據問題情境構造恰當的模型不斷加以轉化，使複雜問題分解成一個個簡單問題。