利用解析法破解中考數學壓軸題中的動點直角三角形問題

2020-09-16 考試微課堂

在中考數學的二次函數壓軸題中，由動點產生的直角三角形問題也是熱門考點之一。通常的解法都是在以動點分別向x軸和y軸作垂線，構造我們熟悉的幾何模型，例如「一線三等角」後者「8字型」等等。那麼對於一些想追求高分的同學，如果能夠利用關於垂直問題的幾個解析法小技巧，就可以大大加快解題速度，尤其是對於那些題目中要求只寫出答案，不用給出解題過程的題目。

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第一題是2019河南中考數學壓軸題的二次函數

【分析】第一問，由一次函數表達式可以確定A、C兩點的坐標，然後將其代入二次函數表達式即可。

【分析】對於△PCM為直角三角形這樣的條件，正常的思路應該是分為三種情況來考慮，即P、C、M分別為直角頂點情況。本題的點M，為在拋物線上的動點P向x軸做垂線與直線AC相交所得，則∠PMC一定為銳角，那麼就只剩下兩種情況需要考慮，分別是P為直角頂點和C為直角頂點。

當P為直角頂點時，情況比較簡單，就是點P和點C的縱坐標相同時就是所求。

當C為直角頂點時，過C點做直線AC垂線，與拋物線的交點就是P點位置。所以問題的關鍵在於求出直線PC的表達式，方法有三種：

第一種：利用三角形相似得到對應邊成比例，求出直線PC與x軸的交點D的坐標，進而求得直線PC

第二種：利用兩條垂直的直線，斜率相乘等於-1，利用直線的點斜式方程，直接寫出直線PC的表達式。

第三種：根據P點在拋物線上，直接設出點P坐標，再利用P、C兩點求出直線PC斜率的表達式，與直線AC的斜率相乘等於-1，直接確定P點坐標。

這裡需要注意的是，「斜率相乘等於-1」、「點斜式方程」和「兩點求斜率」屬於高中解析幾何中直線部分的知識點，初中並未涉及，所以在中考時，如果題目要求寫解答過程，這種方法需要慎用。在中考時，部分題目要求直接寫出答案的，可以使用上述的第二種和第三種方法來提升做題效率。

建議有能力的同學要在中考之前將這部分的高中知識進行學習，最好熟練應用，一是可以提升在中考時的解題效率；二可以減輕高中學習的壓力；三是提前鍛鍊解析幾何處理圖形問題的思維，因為上了高中就知道了，初中的平面幾何思路基本不用。

本題採用最常規的三角形相似來進行解答。


【分析】最後一問作為壓軸題來說，其分類的情況難度不高，但是難點在於利用點M（含參數m）和點B′的坐標為（﹣2，﹣4）求出直線BM的解析式。大多數同學的運算能力達不到解含參數方程組的要求，甚至對於複雜係數（含分數、無理數）的方程組應對能力也不足，造成此題沒有思路，建議想在中考取得數學高分的同學把這部分題目勤加練習，需要針對練習的同學請私信。以下是本題的具體解題步驟。

第二題是2019年無錫中考數學壓軸題的二次函數題目

【分析】第一問很簡單，直接給出過程

【分析】第二問的突破點在於DC：CA＝1：2，通過對D點坐標的分解，即過D點做x軸和y軸的垂線，構建「8字型」，利用比例線段或者是相似求出OE的長度，進而確定△BEC面積的表達式，求出滿足條件的A點和B點的坐標，確定拋物線解析式。

【分析】由於C點一定位於B點下方，所以∠B一定為銳角，這裡我們利用特殊值的方法，假定△BCD的另外兩個角為直角時，求出OA的具體值，那麼當△BCD為銳角三角形是，OA的取值範圍就在這兩個具體值之間。

第三題是2019年衢州中考數學壓軸題，供大家練習使用




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