動點問題，作為中考數學壓軸題的一個熱點，年年考，年年都有很多學生不會寫！而動點問題又會分許多的題型，動點產生的面積問題、最值問題、全等三角形問題、相似三角形問題等！
這裡，精選兩道二次函數中因動點產生的直角三角形問題，供需要的學生朋友參考學習。
順便鍛鍊一下舉一反三的能力，不然很難在中考之前將這眾多的題型一一掌握。
例題1、如圖1，拋物線y=ax+bx+c經過平行四邊形ABCD的頂點A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），拋物線與x軸的另一交點為E．經過點E的直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等兩部分，與拋物線交於另一點F．點P在直線l上方拋物線上一動點，設點P的橫坐標為t
（1）求拋物線的解析式；
（2）當t何值時，△PFE的面積最大？並求最大值的立方根；
（3）是否存在點P使△PAE為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
【考點】二次函數的應用，二次函數的實際應用-動態幾何問題
【解析】【分析】
（1）由A、B、C三點的坐標，利用待定係數法可求得拋物線解析式；（2）由A、C坐標可求得平行四邊形的中心的坐標，由拋物線的對稱性可求得E點坐標，從而可求得直線EF的解析式，作PH⊥x軸，交直線l於點M，作FN⊥PH，則可用t表示出PM的長，從而可表示出△PEF的面積，再利用二次函數的性質可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由題意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°兩種情況，當∠PAE=90°時，作PG⊥y軸，利用等腰直角三角形的性質可得到關於t的方程，可求得t的值；當∠APE=90°時，作PK⊥x軸，AQ⊥PK，則可證得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性質可得到關於t的方程，可求得t的值．
參考答案
例題2、如圖，已知二次函數y= 4/9 x﹣4的圖像與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C，⊙C的半徑為√5 ，P為⊙C上一動點．
（1）點B，C的坐標分別為B（________），C（________）；
（2）是否存在點P，使得△PBC為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）連接PB，若E為PB的中點，連接OE，則OE的最大值=________．
【分析】
（1）在拋物線解析式中令y=0可求得B點坐標，令x=0可求得C點坐標；
（2）①當PB與⊙相切時，△PBC為直角三角形，如圖1，連接BC，根據勾股定理得到BC=5，BP2=2 √5 ，過P2作P2E⊥x軸於E，P2F⊥y軸於F，根據相似三角形的性質得到P2F：P2E=CP2：BP2 =2，設OC=P2E=2x，CP2=OE=x，得到BE=3﹣x，CF=2x﹣4，於是得到FP2=11/5 ，EP2=22/5 ，求得P2（ 11/5 ，﹣22/5 ），過P1作P1G⊥x軸於G，P1H⊥y軸於H，同理求得P1（﹣1，﹣2），
②當BC⊥PC時，△PBC為直角三角形，根據相似三角形的判定和性質即可得到結論；
（3）如圖（3）中，聯結AP，根據OB=OA，BE=EP，推出OE=0.5AP，可知AP最大時，OE的值最大。
答案
【考點分析】二次函數圖像與坐標軸的交點問題，相似三角形的判定與性質，二次函數的實際應用-幾何問題。
其實，關於動點產生的直角三角形問題，還可以用作圖法確定存在的點有多少個，即一圓兩垂線！然後利用相似三角形的性質求出點的坐標！
關於動點產生的直角三角形問題，你有什麼想說的？歡迎留言討論……