中考數學壓軸題分析:動點產生的等邊三角形存在性問題

本題是一道難得的動點問題，特別是最後一問，涉及了動點產生的等邊三角形，求運動時間，難度比較大。特別是對於學生來說，很少見到這樣的題目。不過對於相當一部分老師而言，這就是套路題了。

綿陽果然是教育重鎮，具體請看下方的2020年四川省綿陽市中考數學壓軸題。

【中考真題】

（2020•綿陽）如圖，在矩形ABCD中，對角線相交於點O，⊙M為△BCD的內切圓，切點分別為N，P，Q，DN＝4，BN＝6．
（1）求BC，CD；
（2）點H從點A出發，沿線段AD向點D以每秒3個單位長度的速度運動，當點H運動到點D時停止，過點H作HI∥BD交AC於點I，設運動時間為t秒．
①將△AHI沿AC翻折得△AH′I，是否存在時刻t，使點H′恰好落在邊BC上？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由；
②若點F為線段CD上的動點，當△OFH為正三角形時，求t的值．

【分析】

題（1）主要是利用內切圓的半徑與直角三角形的三邊關係求解。當然主要是根據切線長定理進行求解。易得內切圓的半徑為2，結論可得。

題（2）①的條件為點H′落在BC上，利用這個結論可以畫出圖形。

根據翻折，可以得到∠DAC=∠H′AC，再利用平行線的性質得到∠ACH′=∠CAH′，得到△AH′C為等腰三角形，可以設AH=AH′=CH′=x，然後在△ABH′中利用勾股定理即可求解。

題（2）②中由於點F與點H都為動點，所以難度較大。可以先畫出草圖。

遇到等邊三角形，或者等腰直角三角形的時候，可以考慮構造三垂直的相似進行求解，也就是一些老師提到的（矩形大法）。

「12345」選自紀博士和於特講題

如上圖，構造直角三角形OHP，然後再作垂線。容易發現點D為HN的中點，因為點F為OP的中點，利用平行線分線段成比例可以得到結論。再得到△OHM∽HPN。HN、DN與HM的長度，結論可求。

本題的圖形構造方法種類多樣，本質都是利用三垂直或一線三等角等進行構造。特殊的三角形。

【答案】解：（1）∵⊙M為△BCD的內切圓，切點分別為N，P，Q，DN＝4，BN＝6，
∴BP＝BN＝6，DQ＝DN＝4，CP＝CQ，BD＝BN+DN＝10，
設CP＝CQ＝a，則BC＝6+a，CD＝4+a，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BC²+CD²＝BD²，即（6+a）²+（4+a）²＝10²，
解得：a＝2，
∴BC＝6+2＝8，CD＝4+2＝6；
（2）①存在時刻t
如圖1所示：

由摺疊的性質得：∠AH'I＝∠AHI，AH'＝AH＝3t，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∠BCD＝90°，OA＝OC
∴AC＝BD
∴∠ADO＝∠OAD，
∵HI∥BD，
∴∠AHI＝∠ADO，
∴∠AH'I＝∠AHI＝∠ADO＝∠OAD＝∠ACH'，
∴△AIH'∽△AH'C，
∴
∴AH'²＝AI×AC，
∵HI∥BD，
∴△AIH∽△AOD，
∴
解得：AI
∴（3t）2
解得：t
即存在時刻t
②作PH⊥OH於H，交OF的延長線於P，作OM⊥AD於M，PN⊥AD於N，如圖2所示：

則OM∥CD∥PN，∠OMH＝∠HNP＝90°，OM是△ACD的中位線，
∴OM
∵△OFH是等邊三角形，
∴OF＝FH，∠OHF＝∠HOF＝60°，
∴∠FHP＝∠HPO＝30°，
∴FH＝FP＝OF，HP
∴DF是梯形OMNP的中位線，
∴DN＝DM＝4，
∵∠MHO+∠MOH＝∠MHO+∠NHP＝90°，
∴∠MOH＝∠NHP，
∴△OMH∽△HNP，
∴
∴HN
∴DH＝HN﹣DN＝3
∴AH＝AD﹣DH＝12﹣3
∴t
即當△OFH為正三角形時，t的值為（4