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圖1. 曲面單值化定理：所有帶度量的封閉曲面都可以保角地映到三種標準空間中的一種：球面，歐氏平面，雙曲平面。
我們在這裡介紹最為普適的一種方法，適用於任何拓撲和任何目標曲率：曲面裡奇流方法（Surface Ricci Flow）。
裡奇流方法是由丘成桐先生創立的幾何分析學派的經典方法，由丘先生的好朋友和長期合作者哈密爾頓（ Richard Hamilton ）提出，用於解決龐加萊猜想。龐加萊猜想是說如果在一個封閉的有限拓撲空間中，所有的圈都可以縮成一個點，則這個空間和球面拓撲等價。哈密爾頓的直觀想法如下：首先我們在這個拓撲流形上任選一個黎曼度量，然後我們將這個度量進行形變，形變的速率和當前的曲率成正比，那麼曲率將遵循非線性熱流的規律進行擴散，直至成為常值曲率，那麼最終的常曲率度量就是球面的黎曼度量，因此流形和球面等距，龐加萊猜想得證。這種方法實際上給出了一個非常強有力的工具：根據目標曲率來設計目標黎曼度量。這種工具在實際應用中所起到的作用無論如何評價都不會過分！
但是從經典的Ricci流理論到實用的算法之間有一條非常難以逾越的鴻溝。經典的Ricci流理論是建立在光滑流形上面的，例如曲率的定義要求流形的黎曼度量張量是至少二階可微的。但是在計算機中絕大多數幾何曲面的表示是歐氏空間中的多面體（polyhedron），多面體的黎曼度量並不光滑，經典的曲率無法直接在多面體上定義。我們也將多面體曲面稱為離散曲面。光滑結構的欠缺使得經典的黎曼幾何理論無法直接轉化成計算機上的算法。經過很多數學家和計算機科學家的長期努力，這一困難最終被克服，離散曲面Ricci流的理論被完美建立起來。
下面，我們先簡介經典的光滑曲面上的Ricci流理論，然後介紹我們自己創立的離散曲面Ricci流理論。
給定一個光滑封閉曲面，配有黎曼度量。陳省身曾經教過楊振寧微分幾何，他給楊振寧出過一道題：對於任意一點，存在一個鄰域 ，在此鄰域上存在等溫坐標（isothermal parameters），使得黎曼度量具有形式：
。
在等溫坐標下，高斯曲率具有非常簡潔的形式：
。
高斯-博納定理說總高斯曲率是拓撲不變量：
，
這裡是曲面的歐拉示性數（Euler Characteristic number）。
圖2. 黎曼映照。
保角映射的另一種等價提法就是變換曲面的度量，如果映射是保角的，那麼新舊度量之間相差一個標量函數，，這裡函數被稱為是共形因子。那麼新的黎曼度量誘導的高斯曲率滿足Yamabe方程，
。
邊界的測地曲率也滿足類似的方程，
。
反過來，如果我們給定目標曲率，我們可以反解出共形因子，從而得到相應的黎曼度量。例如圖2中，從人臉曲面到平面圓盤的保角變換被稱為是黎曼映照。尋找黎曼映照等價於尋找一個度量，和初始度量相差一個函數，使得高斯曲率處處為0，邊界側地曲率為常數。因此，共形變換等價於求解Yamabe方程。
但是，Yamabe方程高度非線性，傳統的偏微分方程求解方法對其無能為力。最為有效的是哈密爾頓（Richard Hamilton）發明的Ricci流方法：
,
這裡度量張量，是曲面初始的總面積。如果我們用曲率來表示Ricci流，則對應的曲率常微分方程為：
,
這是一個反應-擴散方程。負反饋的擴散項使得系統穩定，正反饋的反應項使得系統加劇震蕩。
哈密爾頓證明，如果曲面的歐拉示性數非正，則Ricci流收斂到常值高斯曲率；Ben Chow證明，如果曲面的歐拉示性數為正，則Ricci流也收斂到常值高斯曲率。這給出了經典的曲面單值化定理：所有的封閉帶度量曲面都可以保角地映到三種標準曲面中的一種：球面、歐氏、雙曲曲面，如圖1所示。
佩雷爾曼（Perelman）證明，哈密爾頓的Ricci流實際上是所謂熵（entropy）能量的梯度流，對於歐拉示性數為負的曲面，熵能量為凸能量，常值曲率度量為熵能量唯一的極值點；對於歐拉示性數為零的曲面，情形類似；對於歐拉示性數為正的曲面，熵能量非凸，常值曲率度量為熵能量的鞍點。這預示著直接求球面度量具有本質的困難。
圖3.離散曲面
在計算機上，絕大多數曲面被表示成離散形式，如圖3所示。所謂的離散曲面，就是將許多歐氏三角形，沿著邊界等距地粘貼在一起，形成一個二維流形。在工程領域，離散曲面被表示成其三角剖分，被稱為三角網格，這裡表示頂點、邊和面的集合。（我們也可以將雙曲三角形，或者球面三角形沿著邊界粘貼在一起，如圖4所示，構成離散曲面。）
圖4. 常曲率三角形。
每個三角形的幾何完全尤其邊長所決定，因此離散黎曼度量可以表示成邊長。換言之，離散度量就是定義在邊長上的正值函數，在每一個三角形上邊長滿足三角形不等式。如圖4所示，常曲率三角形的邊長滿足：
。
固定一個離散曲面的組合結構（三角剖分），則其上所有可能的離散度量構成一個凸集。
圖5. 離散曲率。
離散曲率被定義成角欠（angle deficit），對於內頂點，角欠就是圍繞頂點的周角和的差別；對於邊界頂點， 角欠就是圍繞頂點的周角和的差別,
。
通過簡單的組合推理，我們可以輕易證明離散高斯-博納定理：總曲率等於和歐拉示性數的乘積，
。
更為深刻地，我們可以證明給定光滑曲面，我們可以在曲面上稠密採樣，計算採樣點的測地Delaunay三角剖分，然後用歐氏三角形來取代測地三角形，這樣得到的離散曲面可以逼近光滑曲面，離散曲率逼近光滑曲率測度。
在連續情形下，黎曼度量決定高斯曲率；在離散情形下，邊長決定三角形內角，這就是通常的餘弦定理：
。
我們可以證明Derivative Cosine Law：
。
關鍵的概念是度量的離散共形變換。我們在頂點上定義離散共形因子，給定邊，其邊長變換滿足如下規律：
，
這一操作被稱為是頂點縮放操作（Vertex Scaling）。
圖6. Derivative Cosine Law.
通過直接計算，我們得到微分餘弦定理（Derivative Cosine Law）：
。
由此，我們構造閉的1-形式
。
可以證明，空間
是一個凸集合。因此是恰當形式，積分得到函數，
。
函數的梯度滿足
,
其Hessian矩陣
,
為對稱半負定矩陣，其零空間為。
圖7. Cotangent Edge Weight。
圖7解釋了餘切邊權重（Cotangent Edge Weight），假設是兩個三角形和的公共邊，那麼
,
如果只和一個三角形相連，那麼
。
在整個多面體網格上，我們同樣可以證明如下對稱性：
,
這裡是cotangent edge weight。由此微分1-形式為閉形式，
，
我們可以構造離散離散熵能量
,
其梯度為，其Hessian矩陣為
即三角網格的離散Laplace-Beltrami算子。
給定目標曲率，滿足高斯-博納條件，那麼離散曲面Ricci流和連續Ricci流的定義方式相同：
。
佩雷爾曼所發現的熵能量，也有離散對應形式。離散熵能量定義為：
。
離散熵能量是半負定的，其零空間由生成。因此，在實際計算中，我們可以用牛頓法直接優化離散熵能量。
在優化過程中，每一步我們得到一個多面體度量，我們將三角剖分不停地更新，使之在當前度量下是Delaunay三角剖分。換言之，在曲面離散Ricci流算法中，三角剖分一直保持Delaunay。
應用離散曲率流方法，我們可以計算複雜拓撲曲面的典範共形映射。計算過程非常簡單：首先，我們設定目標曲率函數，其次在超平面上優化嚴格凹的離散熵能量得到目標離散度量，最後我們將離散曲面等距地嵌入到常曲率空間。
圖8. 拓撲四邊形。
例如，我們計算拓撲四邊形的共形模。第一步，我們將所有內點的目標曲率設為0，四個角點的目標曲率設為，其他邊界點目標曲率為0。第二步，我們優化離散熵能量，得到目標平直度量。第三步，我們將離散曲面的三角形面依次逐步平鋪到歐氏平面上，得到平面長方形。如圖8所示。
圖9. 拓撲圓筒的共形模。
圖9顯示了拓撲圓筒的計算方法。米開朗基羅的大衛頭像本來是拓撲圓盤，我們在其頭頂沿著曲線段切開，得到一個拓撲圓筒曲面。我們將內點處目標曲率處處設成0，邊界點上目標測地曲率也是處處為0。通過優化離散熵能量，得到平直度量。我們將拓撲圓筒曲面等距地鋪到歐氏平面上，得到一個基本域。
圖10. 拓撲環帶的共形模。
圖10顯示了也是拓撲圓筒（拓撲環帶）的另一種典範共形映射。我們得到平直度量後，計算一個基本域在平面上的像，得到一個平面長方形。然後我們用指數映射，將基本域映成標準環帶。
圖11. 拓撲多孔環帶的共形模。
圖11顯示了拓撲多孔環帶的典範共形映射。應用Koebe迭代方法，我們每次迭代只需計算拓撲環帶的共形映射，可以直接應用圖10所示的方法。
圖12. 拓撲輪胎的共形模。
圖12顯示了計算拓撲輪胎共形模的方法。第一步，我們將目標曲率處處設置成0；第二步，通過優化離散熵能量，得到平直度量；第三步，我們計算曲面的同倫群基底，將曲面沿著切開，得到曲面的一個基本域；第四步，我們將曲面的基本域等距地鋪到歐氏平面上；第五步，我們基本域的平面像多次拷貝，將不同拷貝沿著邊界等距拼接，得到曲面萬有覆迭空間到歐氏平面的共形映射。
圖13. 虧格為1的曲面帶有3個邊界。
在以上算法中，目標曲率是固定的。其實計算過程中，目標曲率可以是隨時間變化的。如圖13所示，輸入曲面是虧格為1的曲面，帶有3個邊界,。我們在內點處設置目標曲率為0，邊界曲率設定是時變的。假設，一條邊界的頂點逆時針排列是，連結著，在優化迭代過程中，我們設定目標曲率為
.
這裡邊長是依隨優化過程而變化的，因此並非是固定的。這一方法的目的是用離散曲率和離散邊長之比來近似光滑曲率。算法最後會給出穩定的解，我們的平直度量，帶有常值的邊界測地曲率，所有的邊界成為歐氏圓。這種方法也可以用於計算圖11的典範映射。
在實際應用中，目標曲率的選取非常靈活，只要目標曲率滿足高斯-博納公式，那麼滿足要求的離散共形度量一定存在。
在下一講，我們給出離散曲率流的深入理論結果：解的存在性、收斂性證明。
根據離散曲面Ricci流理論，我們可以證明離散曲面的單值化定理：我們可以找到一個離散度量和三角剖分，和初始度量相差一系列的頂點縮放操作，和初始三角剖分相差一系列的對角線對換操作，新的度量誘導的離散高斯曲率處處相等，如圖1所示。離散曲面Ricci流提供了設計黎曼度量強有力的一種工具，在計算機圖形學，計算機視覺，計算機輔助設計，網絡和醫學圖像等領域都有深入的應用。
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