在生前身後相當長時間內，拉馬努金一直不被普通公眾所重視，直至2015年，他的故事被拍成了電影《知無涯者》（The Man Who Knew Infinity），拉馬努金的名字才進入大眾文化視野，因其傳奇的數論天賦為世人熟知。
在他逝世後的近一個世紀，人們仍然享受著他的數學遺產，並期待更多奇蹟的發現。
2012年印度國家數學日紀念郵票（圖源：Wikipedia）
撰文 | 楊梟
編輯 | 趙坤 小賽
數學離不開證明，但有一位數學家常常跳過這一關鍵步驟。1913年，他給身在劍橋的哈代（G. H. Hardy），寄去了一堆幾乎沒有什麼證明的公式，比如：這是一個積分求解的公式。儘管教科書上有上百種求解微積分的方法，然而任意給出的一個函數很大可能無法求積。這封信上的公式相當於一個求解的捷徑。為了證明這個公式，哈代頗費了一番功夫。
在印度
拉馬努金於1887年12月22日出生在印度的泰米爾納德邦的金奈（舊稱馬德拉斯），並成長在一個虔誠的印度教家庭。11歲時，通過從房客那裡借閱高等數學書，他掌握了當時大學數學的全部知識。16歲時，他從朋友那裡獲得了《純數學與應用數學基本結果概要》（A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics）的圖書館副本，其中收錄了5000個定理。這本書喚醒了拉馬努金的數學才華，使他從此開始在筆記本上塗塗畫畫，記錄數學女神給他的靈感。
然而，獨特天賦並沒有讓他獲得全面的報償。無論是獎學金考試還是大學畢業考試，他都只能通過其中有關數學的部分。沒有學位，無人指導，他只能私下獨自研究數學。拉馬努金家是正統的婆羅門，在印度教種姓制度下屬於祭祀貴族，一家人雖然精神上很富足，物質上卻非常貧窮。接下來的幾年拉馬努金窮困潦倒，甚至食不果腹。
1910年，拉馬努金遇到了印度數學協會的創始人耶爾（V. Ramaswamy Aiyer）。為了能夠在稅務部門找到一份工作餬口，他向耶爾展示了自己的數學筆記。於是，耶爾成為了拉馬努金的第一位伯樂。在耶爾的幫助下，拉馬努金結識了當地有名望的數學家們，並經過推薦，得以將數學成果發表在《印度數學學會雜誌》（Journal of the IndianMathematical Society）上。雜誌在每期開始時，總會提出娛樂讀者的挑戰性問題，拉馬努金就提出了這樣一個問題：拉馬努金期待會有人回復他，但事實證明，天才的問題可能只能由天才自己解答，他在六個月後給出解法，為此，他又提供了一個創造性的公式，
這一公式對哈代來講非常新穎，它由一類超幾何級數函數派生出來，這類函數最初是由歐拉和高斯研究出來的。哈代發現這些結果比高斯在積分上的工作「更有趣」。在手稿的最後一頁看到其關於連分數的定理後，哈代說這些定理「一定是真的，因為，如果它們不是真的，沒有人有想像力去創造它們」。
去劍橋
拉馬努金前往劍橋的過程頗費了些周折。由於他的家庭是正統的婆羅門，出於宗教的考慮，到外國去便可能失去種姓，因此拉馬努金一開始拒絕前往英國。後來，他的母親做了一個夢，夢中Namagiri女神命令她，不要再阻礙自己的兒子追求理想。拉馬努金的劍橋之旅這才得以成行。在海上漂泊了近一個月後，拉馬努金來到了劍橋。接著，哈代和利特爾伍德（J. E. Littlewood）著手研究他的筆記本。雖然在之前的信中，哈代已經收到了120個定理，但拉馬努金的筆記本中還有更多。哈代發現其中有些定理已經被發現了，只是拉馬努金還不知道，但還有一些是真正的突破。哈代和拉馬努金個性截然不同。哈代是一位無神論者，證明和數學嚴謹性的倡導者；拉馬努金則是一位篤信宗教的人，他非常依賴自己的直覺和洞見。哈代盡其所能填補對方教育上的空白，並在需要正式的證據來支持研究結果的情況下指導他。他們在劍橋合作了五年。後來，當哈代被問到什麼是他對數學最大的貢獻時，他不加思索地回答，是發現了拉馬努金。他稱他們之間的合作關係為：「我人生中的一個浪漫的意外」（theone romantic incident in my life.）。1916年3月，拉馬努金因其在高度合成數[注]方面的研究獲得了理學學士學位（後來更名為博士學位），該學位研究成果第一部分以論文的形式發表在《倫敦數學學會學報》（Proceedings of the LondonMathematical Society）上。這篇長達50多頁的論文，證明了這些數字的各種性質，是當時數學研究中最不尋常的論文之一——拉馬努金在處理它時表現出了非凡的獨創性。拉馬努金提出了一系列非凡的命題，但因他的數學表達常常與其他數學家相異，很多命題沒有得到證明而被稱作拉馬努金猜想。其中，最著名的是他斷定了拉馬努金τ函數的大小。1916年，拉馬努金髮表了一篇關於一個算數函數的文章，想要求解，即n的因子的s次冪的和。這個問題導向了τ函數，他發現了該函數的一些性質，但未能給出顯式。直到1974年，比利時數學家德利涅（Pierre Deligne）才證得這一猜想，並因而獲得了菲爾茲獎。1917年12月6日，拉馬努金入選倫敦數學學會。1918年，他被選為英國皇家學會會員。他是第二位入選的印度人，也是皇家學會歷史上最年輕的成員之一。1918年10月13日，他成為第一位當選劍橋大學三一學院院士的印度人。回故鄉
雖然榮譽紛至沓來，但拉馬努金的身體狀態每況愈下。實際上，他的一生都飽受健康問題的困擾。早年在印度時，長期的貧困與飢餓導致拉馬努金一直飽受病痛的折磨。婚後，他患上睪丸鞘膜積水，不得不動手術，一家人卻負擔不起手術費，直到一位醫生自願免費為他治療。然而，這只是他體弱多病的開始。到了英國之後，由於當地氣候陰雨連綿，再加上一戰期間定量配給造成的長期食物匱乏，拉馬努金的健康狀況惡化，他被診斷出患有肺結核和嚴重的維生素缺乏症，並被關進了療養院。1919年，他帶著成就與病痛回到了印度，然而故鄉的氣候與飲食也無力回天。臨終前，拉馬努金給哈代寫了一封信。信中描述了幾個新的函數，它們與已知的模形式（一種解析函數）有不同的表現，但又緊密地模仿了它們。他推測，他的模擬模形式與之前由雅可比（Carl Jacobi）確定的普通模形式相對應，並且這兩種形式最終都將得到類似的輸出。2012年，在拉馬努金誕辰125周年的紀念日上，幾位數學家宣布，他們解決了拉馬努金留下的謎語。他們利用了一種當時還未開發出來的現代數學工具，證明模擬模形式可以像拉馬努金預測的那樣進行計算。模形式展開是計算黑洞熵的基本工具之一。雖然一些黑洞並不是模塊化的，但是基於拉馬努金設想的新公式，可以讓物理學家像計算普通物理系統的熵一樣計算黑洞的熵。不過，連證明都常常跳過的拉馬努金，大概不會在意這些公式的實際應用。他常說：「一個等式對我來說沒有意義，除非它代表了神的思想。「拉馬努金以一種天真無邪的方式使用了自己非凡的洞察力，僅僅是為了欣賞數學之美。拉馬努金死後，他的兄弟編纂了他留下的手寫筆記，裡面還有諸多奇異模、超幾何級數和連分數的公式等待發現。Google紀念拉馬努金誕辰125周年的首頁塗鴉（圖源：Google）
在他逝世後的近一個世紀，人們仍然享受著他的數學遺產，並期待更多奇蹟的發現。【注】高度合成數是指任何比它小的自然數的因子數目均比這個數的因子數目少，例如1,2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180……
本文2019.12.22首發於《賽先生》（ID：mrscience100），經授權轉載，如需二次轉載請聯繫原作者。賽先生由非營利公益組織北京市海澱區智識前沿科技促進中心主辦，我們懷揣著「玩透科學，啟迪人生」的信念，希望通過有科普性、解說性、教育性的多媒體內容，點亮更多的普通公眾對科學的熱情。