定理2.2(唯一性)：若數列{ an }收斂，則它只有一個極限.
證：設a=lim( n→∞) an，對任何b≠a，取ε0=(|b-a|)/2，則在(a;ε0)之外有{ an }的有限個項，從而，在(b;ε0)之內至多只有{ an }的有限個項，所以b不是{ an }的極限。
所以收斂數列只有一個極限.
定理2.3(有界性)：若數列{an}收斂，則{an}為有界數列，即存在正數M，使得對一切正整數n有：| an |≤M.
證：設lim( n→∞) an=a，取ε=1，存在正數N，對一切n>N，有|an -a|≤1；
又|an|-|a|≤|an -a|≤1；∴|an|≤1+ |；
記M=max{|a1|,|a2|,…, |aN|,1+|}，則|an|≤M，∴{an}為有界數列.
所以收斂數列有界.
定理2.4(保號性)：若lim( n→∞) an=a>0(或<0)，則對任何a』∈(0,a)(或a』∈(a,0))，存在正數N，使得當n>N時，有an>a』(或an<a』).（注：在應用保號性時，常取a』=a/2）
證：當a>0時，取ε=a-a』>0，則存在正數N，使得n>N時，有an>a-ε=a』；
當a<0時，取ε=a』-a>0，則存在正數N，使得n>N時，有an<ε+a=a』.
所以原命題得證.
定理2.5(保不等式性)：設{an}與{bn}均為收斂數列. 若存在正數N0，使得當n> N0時，有an≤bn，則lim( n→∞) an≤lim( n→∞) bn.
證：設lim( n→∞) an=a，lim( n→∞) bn=b.
則ε>0，正數N1 ,N2，使當n>N1時，有an>a-ε; 當n>N2時，有bn<ε+b.
取N=max{N0,N1,N2}，則當n>N時，有a-ε<an≤bn<ε+b，∴a<b+2ε，
由ε的任意性，得a≤b，即lim( n→∞) an≤lim( n→∞) bn. 所以原命題得證.
注：當an<bn時，仍有lim( n→∞) an≤lim( n→∞) bn. 如當an=0，bn=1/n時，有an<bn，但lim( n→∞) an=lim( n→∞) bn=0.
例1：設an≥0(n=1,2,…). 證明lim( n→∞) an=a，則lim( n→∞) a^(1/n)=√a.
證：ε>0，正數N，使得當n>N時，有|an -a|<ε.
∵an≥0，由保不等式性可知a≥0；
當a=0時，有an<ε，則a^(1/n)<√ε，即|a^(1/n)-0|<√ε，
∴lim(n→∞)a^(1/n)=0=√a.
當a>0時，則有|√(an )-√a|=(|an-a|)/(√(an )+√a)<ε/√a,
∴lim( n→∞) a^(1/n)=√a.
定理2.6(迫斂性)：設收斂數列{an},{bn}都以a為極限，數列{cn}滿足：
存在正數N0時有an≤cn≤bn，則數列{cn}收斂，且lim( n→∞) cn=a.
證：ε>0，正數N1,N2，
使當n>N1時，有an>a-ε; 當n>N2時，有bn<ε+a.
取N=max{ N0,N1,N2}，則當n>N時，有a-ε<an≤cn≤bn<ε+a，即| cn -a|<ε;
∴數列{cn}收斂，且lim( n→∞) cn=a. 原命題得證。
例2：求數列{n^(1/n)}的極限.
解：記an= n^(1/n)=1+hn，hn>0(n>1)，則有n=(1+hn)n>(n(n-1)) hn^2/2，
∴0<hn<√(2/(n-1))，從而有1<an<1+√(2/(n-1))；
∵lim( n→∞) (1+√(2/(n-1)))=1；∴lim( n→∞) n^(1/n)=1.
定理2.7(四則運算)：若{an}與{bn}為收斂數列，則{an+bn}，{an-bn}，{an·bn}也都是收斂數列，且有
lim( n→∞) (an±bn)=lim( n→∞) an±lim( n→∞) bn，lim( n→∞) (an·bn)=lim( n→∞) an·lim( n→∞) bn
當bn為常數c時，有lim( n→∞) (an+c)=lim( n→∞) an+c，
lim( n→∞) (can)=c lim( n→∞) an
若bn≠0及lim( n→∞) bn≠0，則{an/bn }也是收斂數列，且有
lim( n→∞) an/bn =(lim( n→∞) an)/(lim( n→∞) bn )
證：設lim( n→∞) an=a，lim( n→∞) bn=b，則對ε>0，正數N1,N2，
使當n>N1時，有|an-a|<ε; 當n>N2時，有|bn-b|<ε.
取N=max{N1,N2}，則當n>N時，有|an-a|+|bn-b|<2ε.
又|(an-a)+(bn-b)|=|(an +bn)-(a+b)|≤|an-a|+|bn-b|<2ε.
∴lim( n→∞) (an+bn)=a+b= lim( n→∞) an+lim( n→∞) bn;
∵an-bn=an+(-1)bn，
∴lim( n→∞) (an-bn)=a-b= lim( n→∞) an-lim( n→∞) bn也成立.
另|anbn-ab|=|bn(an-a)+a(bn-b)| ≤|bn||an-a|+|a||bn-b|<(|bn|+|a|)ε.
由收斂數列的有界性定理，存在正數M，對一切n有|bn|<M.
∴當n>N時，有|anbn-ab|<(M+|a|)ε.
∴lim( n→∞) (an·bn)=lim( n→∞) an·lim( n→∞) bn.
∵an/bn =an·1/bn ，
∴lim( n→∞) an/bn =(lim( n→∞) an)/(lim( n→∞) bn )也成立.
由於lim( n→∞) bn=b≠0，根據收斂數列的保號性，存在正數N3，使得當n>N3時有
|bn|>1/2|b|. 取N』=max{N2,N3}，則當n>N』時有
|1/bn -1/b|=|bn-b|/|bn b| <2|bn-b|/b^2 <2ε/b^2 .
∴lim( n→∞) 1/bn =1/b.
例3：求
其中m≤k，am≠0，bk≠0.
解：原式=lim(n→∞) (am n^(m-k)+a_(m-1)n^(m-1-k)+…+a1 n^(1-k)+a0 n^(-k))/(bk+b_(k-1) n^(-1)+…+b1 n^(1-k)+b0 n^(-k) )
=(lim(n→∞)(amn^(m-k) )+lim(n→∞)(a_(m-1)n^(m-1-k))+…+lim(n→∞)(a1 n^(1-k))+lim(n→∞)(a0n^(-k)))/(lim(n→∞)bk+lim(n→∞)(b_(k-1)n^(-1))+…+lim(n→∞)(b1 n^(1-k) )+lim( n→∞) (b0 n^(-k)))
∴當m=k時，lim(n→∞)(amn^m+a_(m-1)n^(m-1)+…+a1n+a0)/(bkn^k+b_(k-1)n^(k-1)+…+b1 n+b0 )=am/bk ；
當m<k時，lim(n→∞)(amn^m+a_(m-1)n^(m-1)+…+a1n+a0)/(bkn^k+b_(k-1) n^(k-1)+…+b1n+b0 )=0.
例4：求lim(n→∞) a^n/(a^n+1)，其中a≠-1.
解：當a=1時，lim(n→∞) a^n/(a^n+1)=1/2；
當|a|<1時，lim( n→∞)a^n=0,
∴lim(n→∞) a^n/(a^n+1)=(lim( n→∞)a^n)/(lim(n→∞)a^n+1)=0;
當|a|>1時，lim( n→∞) 1/a^n =0,
∴lim(n→∞) a^n/(a^n+1)=lim(n→∞)1/(1+1/a^n )=1/(1+lim(n→∞) 1/a^n )=1.
例5：求lim( n→∞) √n (√(n+1)-√n).
解：lim(n→∞)√n(√(n+1)-√n)=lim(n→∞)√n/(√(n+1)+√n)=lim(n→∞) 1/(√(1+1/n)+1)=1/2.
定義1：設{an}為數列，{nk}為正整數集N+的無限子集，且n1<n2<…<nk<…，則數列a_(n1 )，a_(n2 )，…，a_(nk )，…稱為數列{an}的子列，簡記為{a_(nk)}.
注：{a_(nk)}的各項都選自{an}，且保持這些項在{an}中的先後次序. {a_(nk)}的第k項是{an}中的第nk項。故總有nk≥k. 而{nk}本身也是{n}的子列.
如：子列{a_(2k)}由數列{an}的所有偶數項所組成，而子列{a_(2k-1)}則由{an}的所有奇數項所組成. 而{an}本身也是{an}的一個子列，此時nk=k, k=1,2,….
數列{an}本身以及{an}去掉有限項後得到的子列稱為{an}的平凡子列；不是平凡子列的子列稱為{an}的非平凡子列。如{a_(2k)}和{a_(2k-1)}都是{an}的非平凡子列。
數列{an}的任一平凡子列同為收斂或發散，且在收斂時有相同的極限。
定理2.8：數列{an}收斂的充要條件是：{an}的任何非平凡子列都收斂.
證：已知數列{an}收斂，設lim( n→∞)an=a，{a_(nk )}是{an}的任一子列.
則對ε>0，正數N，使得當k>N時，有|ak-a|<ε.
∵nk≥k，∴nk>N，從而有|a_(nk )-a|<ε，∴lim( n→∞)a_(nk )=a，{a_(nk )}收斂.
已知數列{an}的非平凡子列{a_(2k)}、{a_(2k-1)}和{a_(3k)}都收斂.
而{a_(6k)}同時為{a_(2k)}、{a_(3k)}的子列，
∴lim(n→∞)a_(2k)=lim(n→∞)a_(6k)=lim(n→∞)a_(3k).
而{a_(6k-3)}同時為{a_(2k-1)}、{a_(3k)}的子列，
∴lim(n→∞) a_(2k-1)=lim(n→∞)a_(6k-3)=lim(n→∞)a_(3k).
∴lim(n→∞)a_(2k)=lim(n→∞) a_(2k-1). ∴{an}收斂. 原命題得證.