2020年北京高考數學考試於今日下午結束了，北京教育考試院和北京教科院基教研中心的專家們對今年的數學卷試卷進行了細緻的命題解析，一起來看↓↓↓
數學試卷整體分析
2020年高考數學北京卷落實立德樹人根本任務，加強關鍵能力和素養的考查，通過「入口易、口徑寬，深入緩、出口難」做好文理合卷，形成「一個中心，三個基本點，五條路徑」的評價體系。即以立德樹人為中心；以知識思想、能力素養、應用文化為三個基本點；以優化試卷結構、精選試題素材、科學設計試題內容、創新試題設問方式、凸顯試題發展功能為五條實施的路徑
● 以立德樹人為命題的中心
北京卷命題以立德樹人為根本，突出試題的育人價值。如第15題關注現實生活中的環境汙染問題，引導學生關注民生，樹立有責任的公民意識
北京卷繼續堅持對「四具備」人才的考查。如第9題，考查的是三角函數的知識，需要細緻的觀察、嚴謹的推理和高度概括整合，找出角與三角函數值之間的關係；第20題的第（2）問，需要學生在計算過程中，一絲不苟，嚴謹求實的精神。
總之，北京卷通過設置不同的問題情境，體現高考的育人功能。
● 以知識思想、能力素養、應用文化為命題的三個基本點
數學是自然科學的基礎，也是重大技術創新發展的基礎；而數學實力往往影響著國家實力。北京卷以知識思想、能力素養和應用文化為命題的三個基本點，力圖把學生的數學真實實力考出來。
01、突出對主幹知識和重要思想的考查
北京卷突出考查主幹知識內容，強調通性通法。如對集合、複數、向量、函數、三角函數、立體幾何、解三角形、統計與概率、函數與導數、圓錐曲線等主要板塊的主幹內容進行重點考查，充分體現了對數學知識考查的基礎性、全面性和綜合性。
數學基本思想方法是數學知識在更高層次的抽象與概括。北京卷第5、6、10、15題考查數形結合的思想；第8、19題考查函數與方程的思想；第10、13、16、21題考查化歸與轉化思想；第18題考查或然與必然的思想；第19、21題考查分類與整合的思想。
02、突出對數學關鍵能力和數學學科素養的考查
北京卷突出對數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想像、數學運算、數據分析六大素養的綜合考查。
如第15題汙水治理問題，主要考查學生的抽象概括、直觀想像能力。第18題是考查學生數據分析和數學建模的素養。北京卷設計現實性和綜合性問題，在現實情境中考查學生核心素養的發展水平。
03、突出對數學應用和文化的考查
北京卷突出對數學應用和文化的考查。數學應用考查方面，北京卷關注社會，關注學生發展，引導學生運用所學數學知識解決生活實際問題。如第15題，選取具有時代特色的環境治理為情境創設數學問題，考查學生身邊的數學；第18題考查概率統計知識在數學和生活中的應用，使學生體會到數學知識與現實生活息息相關。
北京卷進一步加強數學文化的考查，增強文化性。如第10題關注無理數的兩種計算方法：中國傳統的「割圓術」和數學家阿爾·卡西的求解方法。既弘揚了中國傳統文化，又引導學生學習世界輝煌燦爛的數學文化。
● 助力文理合卷新高考落地的五條路徑
根據考試內容要求、考生群體變化、考生水平變化，北京卷在試題的文理合卷方面，遵循「入口易、口徑寬，深入緩、出口難」的基本原則。通過優化試卷結構、精選試題素材、科學設計試題內容、創新試題設問方式、凸顯試題發展功能等方面推進新高考的改革，打造高考數學命題新形態。
01、優化試卷結構，推進文理合卷順利實施
在保持測試時長和總分不變的前提下，北京卷優化試卷的結構，調整了選擇題、填空題和解答題的數量和分值。選擇題由原來的8道變為10道，填空題由原來的6道變為5道。增加了主觀題的比例，主客觀題目比值為1.3:1。通過加強對主觀題的考查，為學生展現數學思維能力搭建了平臺。
根據試題難度和要求，北京卷在試題的排列順序上也有所變化。如首次將立體幾何解答題放在解答題的第一題進行考查。這種嘗試增強了試題靈活性，為引導教學、防止題型固化、命題方式固化起到積極的作用。
在試卷難度控制上，為了增強文科傾向考生在數學學習上的獲得感，試題「入口易、口徑寬」，中低難度試題的分值佔有一定的比例；為了繼續保持理科傾向考生在數學學習上的成就感，試題「深入緩、出口難」，沒有降低綜合創新題的難度，依然具有較強的挑戰性，並保持了較好的區分度。
02、精選試題素材，貼近學生的真實生活
北京卷試題素材的選取真實、自然、合理。如第15題通過以汙水治理為背景設置題目，體現了十九大報告提出的「提供更多優質生態產品以滿足人民日益增長的優美生態環境需要」的要求；第18題通過活動方案支持度調查，體現了民主決策過程。材料源於社會、源於真實情境，考查學生分析和解決具有實際意義問題的能力。
03、科學設計試題內容，回歸數學本質和學生的基礎
北京卷命題體現數學本質，遵循學生身心發展的規律。一是試題內容緊扣課標和教材，體現數學的本質，引導教學回歸數學本質，回歸學生的基礎。如第10題根據教材中提到的「割圓術」的部分思想改編而成，第16、17題都是立體幾何和三角部分的基礎性問題。
二是試題具有豐富的問題梯度，符合學生的認知規律。如第12、13題，都是設置兩空，第一空為第二空適當做鋪墊。如第18題，學生在解決了第（1）問後，就會為第（2）問的解答提供基礎和臺階。試卷通過「多問把關」「多題把關」等方式，為不同水平的考生搭建了施展才華的舞臺。
04、創新試題呈現方式，力求考出具有不同專業傾向學生的真實水平
北京卷在試題上進行適度創新，增強試題的選擇性和開放性。
一是設計條件或結論開放、解題方法多樣、答案不唯一的試題。如第14題，要求學生給出滿足條件的一個常數值，試題答案不唯一。學生需要根據已有的信息進行猜想、探究和推理，從而得出結論。
二是設計分層賦分試題。第15題汙水治理問題，從不同角度設置了4個選項，其中3個是正確的。
三是設計了結構不良問題，需要學生自己選擇適當的條件進行解決。如第17題的設問具有開放性，學生需要選擇條件①或條件②，用餘弦定理或正弦定理去求解三角形。兩個問題需要的知識和方法有所不同，考查具有不同專業傾向的學生真實水平。
05、凸顯試題的價值功能，為學生的終身發展打基礎
北京卷的命題，不僅體現人才的選拔功能，而且還引導學生去探索，應用數學知識去解決職場與生活中的實際問題。如第18題，以學生熟悉的學校生活為背景來設計，重點考查抽樣，樣本估計總體，總體的概率推斷。第（1）問考查 「樣本估計總體」的思想，現實生活中需要對總體做一些判斷，比如兩個男學生是否同時支持該方案的概率，或者更複雜的群體（如第（2）問中的群體）的支持度。除性別外，第（3）問考查不同年級的支持情況。作為校方，為了提高學生的支持度，需要加強對高年級的學生宣傳和方案完善。問題引導學生積極參與到學校的各項活動和決策中，這為學生未來的職業發展奠定了基礎。
高考具有發展性功能，北京卷在促進學生數學的可持續思考中起到重要的作用。第21題需要學生運用逆向思維、歸納、分類討論、反證法、最小數原理等數學思考方法，並能用數學的語言邏輯，嚴謹地寫出證明過程。考查學生的一般化和概括遷移能力，有助於引導學生從做題到做事，為未來進一步學習奠定良好的基礎。
2020年是文理合卷的第一年，疫情給高考命題帶來了新的問題和挑戰。北京卷以立德樹人為中心，著力於知識方法，能力素養，文化應用的考查，依據「入口易、口徑寬，深入緩、出口難」「多問把關」「多題把關」等基本原則進行文理合卷的設計，形成了「一個中心，三個基本點，五條路徑」的評價體系。
引導教學在六個方面「下功夫」， 即「在主幹知識的掌握上下功夫」「在數學學科本質的理解上下功夫」「在數學思想方法的領悟上下功夫」「在數學應用探究上下功夫」「在創新思維形成上下功夫」「在數學素養的養成上下功夫」。
導向中學對「四具備」人才的培養，即「具備自覺的數量觀念的人」「具備嚴密推理邏輯的人」「具備高度抽象概括的人」「具備一絲不苟、精益求精作風的人」。
2020年數學學科高考命題落實新高考文理合卷要求、保持命題總體穩定的前提下，變中求穩，穩中求進，不忘教育初心，牢記高考改革的使命，引導中學遵循教育規律，助力學生德智體美勞的全面發展。
數學試卷的特點
2020年高考北京數學試卷整體上符合國家課程標準要求，結合北京市高中數學教學現狀，知識要素覆蓋全面，數學素養考查突出。與去年相比，在試卷結構、分數設置等方面有所調整，在題型分布、難度預設和梯度設計方面基本保持穩定。試題設計圍繞高中數學的核心內容，重點知識重點考查，通性通法著力考查；圍繞學生的學習和生活實際，考查數學知識的綜合與應用，體現數學的文化及教育價值。
● 保持穩定和連續性，穩中有進，適度創新
相比於去年，數學試卷總體穩定，有利於考生穩定心態，正常發揮；適度創新，有利於考查考生的實踐能力和鍥而不捨的精神。
相比於去年，數學試卷由兩套試卷（文理各一套）調整為一套試卷，試題題型依然是選擇題、填空題和解答題，每一部分題型的難度預設基本符合從易到難的分布。試題的表述形式簡潔、規範，圖文準確並相互匹配，呈現方式及作答方式堅持多樣化，延續了北京數學試卷「大氣、平和」的特點。
相比於去年，數學試卷在題量分布、分數設置等方面均有變化，調整了部分考查內容，出現了新穎的題目形式。例如選擇題由8個小題，每題5分，調整為了10個小題，每題4分，總分保持不變；填空題由6個小題，調整為了5個小題，每題依然是5分，總分由30分降為25分；解答題依然是6個小題，但總分由80分提升為85分。在考查內容上有所調整，刪減了一些歷年常考的內容，如線性規劃、算法和程序框圖、參數方程和極坐標等。在題目呈現上出現了一些新的變化，用以區分不同能力水平的學生。例如第（17）題難度並不大，但思維的自由度較大，由考生自行選擇設計問題並解答，凸顯考生分析和解決問題的能力。
● 堅持考查基礎知識和基本技能，夯實基礎，強調綜合
整份試卷注重對基礎知識和基本方法的考查，主幹內容重點考查。
例如，選擇題的前5道題和填空題前3道題，涉及內容都是基礎知識和基本方法，考查了集合、複數、二項式定理、三視圖、兩點間的距離公式、函數定義域、雙曲線的性質、平面向量等內容。
在試題設計上，這些試題涉及的知識點相對較少、思維相對簡單，易於解答。在此基礎上，試卷強調對主幹內容的重點考查，體現了對數學知識考查的全面性、基礎性和綜合性，在解答題中重點考查了立體幾何、三角函數、概率統計、導數、直線與圓錐曲線、數列綜合等主幹內容。解答題的前2道題，表述簡單明確，集中考查立體幾何和解三角形的主幹知識及核心概念。再例如第（18）題，情境熟悉，問題清楚，重點考查讀題、讀表、計算等基本技能及方法。
● 堅持考查數學方法及數學本質，能力立意，凸顯數學素養
試卷突出了數學學科素養，在關注考生未來發展的同時，以能力立意，強調了數學方法和數學本質的考查，在選拔功能等方面都作了精心設計。
例如，第（6）題表面上是解不等式，實質是在考查基本初等函數的圖像，有助於學生建立形與數的聯繫，加深對事物本質和發展規律的理解和認知，體現了直觀想像核心素養；第（18）題的解決需要學生分析數據，從數據中獲得有用信息並形成數學模型，注重了對公民應具備的基本數學素養——數據分析的考查；第（20）題考查了解析幾何中的主要方法，需要學生具備一定的數學運算核心素養，並能夠程序化思考問題；第（21）題是以數列知識為背景的創新問題，梯度明顯，重點考查了學生的邏輯推理素養，對學生有論據、有條理、合乎邏輯的思維習慣和數學交流能力有一定的要求。此外，從第（18）題到第（21）題，雖然每道題都考查了數學的主幹知識和主要方法，入口也很容易，但其出口並不簡單，試題在讓不同層次的學生均有所獲得同時，進行多題把關，體現了試題的選拔功能。
● 重視數學應用，滲透數學文化，體現數學價值
應用問題在素材選取上，源於社會實際和學生的真實生活，考查學生數學應用素養、理性思維素養，引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。
例如第（15）題，以環保部門要求相關企業加強汙水處理，排放未達標的企業要限期整改這個情境為載體，貼近生活，是對數學學習後所沉澱下來的素養的考查，要求考生能夠在短時間內審清題意，理清解決問題的思路，建立適當的數學模型來解決問題，體現試題的教育價值。例如第（10）題，以2020年3月14日全球首個國際圓周率日為背景，結合中國優秀傳統數學文化中的「割圓術」及近代數學史上西方的阿爾·卡西法，感悟數學「近似計算」之美，將美育教育融入數學教育。引導學生關注世界，學習世界燦爛的數學文化。例如第（18）題，以學生身邊的兩項活動方案來設置問題，考查概率統計在生活中的應用，使學生體會到數學與現實生活息息相關。這類問題重點考查數據處理能力，也增強學生用數據表述及解決現實問題的意識。
縱觀整份試卷，在突出基本知識、基本技能和基本思想方法考查的同時，突出考查學生的數學素養，展現數學的應用價值。保持了北京試卷綜合、靈活的特色，變中求穩，穩中求進，給不同能力水平的學生提供了展示的平臺，對今後的數學教學起到了積極的引導作用。
點評專家：
北京市東城區教師研修中心 張許合（高級教師）
北京市西城區教育研修學院 孫秀平（高級教師）
北京市朝陽區教育研究中心 蔣曉東（高級教師）
北京教育科學研究院 黃煒（高級教師）
北京教育科學研究院 李青霞（高級教師）