向量m=(c-a,sinB),n=(b-a,sinA+sinC)求sinA?四個常用重要知識點

原題

原題：△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量m=(c－a,sinB)，n=(b－a,sinA+sinC)，且m∥n。

⑴求C

⑵若√6c+3b=3a，求sinA。

圖一

這道題雖然只是三角函數中一個簡單的小題，但是該題中卻存著很重要的且經常使用的四個方面的知識點。

第一個方面的知識點

第一個方面的知識點：

兩個向量a和b平行，則有向量a=λb，其中a和b都是向量，λ是實數。

如果給出向量a和向量b的坐標分別為(x1,y1)和(x2,y2)，且兩個向量平行，則x1y2－x2y1=0；

如果給出向量a和向量b的坐標分別為(x1,y1)和(x2,y2)，且兩個向量垂直，則x1x2+y1y2=0。

因為已知中給出向量m=(c－a,sinB)，n=(b－a,sinA+sinC)，且m∥n，所以有(c－a)(sinA+sinC)－(b－a)sinB=0.

第二個知識點

第二個知識點：當題中給出「(c－a)(sinA+sinC)－(b－a)sinB=0」這樣關於三角形三邊和三角形內角的式子時，一般都是將其中三角形內角的函數值根據正弦定理，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R為該三角形外接圓半徑）將該式子轉化成全是三角形邊的形式，即得出三角形三邊的關係。再根據餘弦定理得出三角形中其中一個內角的餘弦值。

所以將(c－a)(sinA+sinC)－(b－a)sinB=0根據正弦定理有(c－a)(a+c)－(b－a)b=0，整理得到c^2=a^2+b^2－ab。

圖二

根據餘弦定理c^2=a^2+b^2－2abcosC，所以有cosC=1/2，所以∠C=π/3.

所以就求出∠C的值為π/3.

第三個知識點

第三個知識點：對於給出三角形的三邊關係卻沒有和餘弦定理有必然的聯繫，且又求角的正弦值時，就要將給出的三邊關係根據正弦定理轉化成角的形式去解答。同時要根據三角形的內角和或者求出的角的度數以及已知的角度數，儘量的縮小角的個數，以便得出結果。

因為√6c+3b=3a，求sinA，所以要將√6c+3b=3a這個式子轉化成角的形式。

根據正弦定理有√6sinC+3sinB=3sinA，因為上述已經求出了∠C的度數，即∠C=π/3，所以∠B=2π/3－A，所以將式子√6sinC+3sinB=3sinA轉化為√6×√3/2+3sin(2π/3－A)=3sinA，整理得到1/2sinA－√3/cosA=√2/2。

所以有sin(A－π/3)=√2/2。

第四個知識點

第四個知識點：將角和角之間能靈活變形，向已知靠攏。

例如：sin2α=sin(α－π/3+α+π/3)，sinα=sin(α－π/3+π/3)，sin2α=sin(α－β+α+β)，sin2β=sin(α+β－(α－β))，sin(2α－π/6)=sin(π/2+2α－2π/3)=cos(2α－2π/3)=cos(2π/3－2α)=2[cos(π/3－α)］^2－1等等。

因為sin(A－π/3)=√2/2，所以有sinA=sin(A－π/3+π/3)=sin(A－π/3)cosπ/3+sinπ/3cos(A－π/3)。

因為∠B=2π/3－∠A>0，所以0<∠A<2π/3，所以－π/3<A－π/3<π/3，所以cos(A－π/3)=√2/2。

所以sinA=sin(A－π/3+π/3)=sin(A－π/3)cosπ/3+sinπ/3cos(A－π/3)=(√6+√2)/4.

圖三

上述是構建，也可以通過角的範圍來求解。

因為sin(A－π/3)=√2/2>0，所以0<A－π/3<π/3，所以A－π/3=π/4，所以A=7π/12，所以sinA=(√6+√2)/4。

總結

我們做題的目的不僅僅是會做，而是要明確思路，越是小題越能很好的透露出解題的思路和技巧。

大題其實都是小題的組合，這些小題每一步思路都能明確，當面對大題時，思路也能明確，從而迎刃而解。

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