溫馨提示:本文屬於高中數學《三角函數與平面向量》,該模塊的創作已過半,歡迎持續關注。
摘要:根據由面積比關系所表示的共始點三向量一般關係式,利用從一般到特殊的數學思想可知,該思路同樣適用於三角形五心的向量結論有關問題。如此,我們不僅掌握了一種不同於向量分解的證明方法,還找到了一種簡明地、不混淆地理解和記憶三角形五心向量結論的方法。如此,我們既可藉助簡單的與五心有關的面積關係來準確地記憶向量結論,又能順帶地掌握面積法推導過程中涉及的基本且很重要的知識與技能。可謂是一箭雙鵰、事半功倍。
在本號已發表的文章「抓住兩個共性特徵,助你攻克高中數學三角形五心之向量結論的證明」中,利用向量分解、運算等基本技能推導出以下三角形五心之向量結論:
若有ΔABC,O為其所在平面上一點, ∠A、∠B、∠C所對邊分別為a、b、c,則有:
這些結論看上去比較簡潔,而且看上去形態近似,非常容易混淆,而基於向量分解與運算的推導過程本身並不能提供太多用來輔助辨析與記憶的信息。
那麼,有什麼好辦法能使理解與記憶既輕鬆又記得牢,還不會混淆嗎?請大家接著往下看,本文將給出一個令你滿意的辦法。
或許很大同學都知道,有關三角形五心之向量結論的推導,除了之前提到過的向量分解法,還可以利用面積法來推導。先來看一個幾個結論:
① 當共始點三向量方向為星形時,則有:
提示:不能完全理解有關內容的同學,請先複習平面向量定理——三向量共麵條件經簡單變換即可得到該結論。
② 當共始點三向量方向為爪形時,則有:
③ 若為ΔABC所在平面內不在邊上的任一點,則有:
關於這個結論的詳細證明,請參考「關於共點向量分割三角形面積的四個結論」(百度搜索該文即可),這裡不再贅述。本文除了向大家介紹一種不同於向量分解的用於推導三角形五心向量結論的方法——即面積法之外,重點是解讀其實質,使三角形五心之向量結論的理解與記憶更直觀、輕鬆、高效且不會混淆。
根據上述①、②的結論,③的結論的形式是必然。而③的結論的核心是向量係數與面積的關係,即三個向量係數之比正好為由「兩向量與一邊」所組成的3個三角形的面積之比。
為此,我們把①、②、③的結論綜合起來,即可用下圖來梳理和理解共始點三向量有關問題:
而三角形五心的向量結論實質上是上圖所述一般情形的幾個特例。因此,我們自然可以利用面積法來證明了三角形五心的向量結論,尤其是我們還可以通過面積法來簡便地、不混淆地理解與記憶它們——因為三角形五心的面積比問題的規律性強且簡單,大多數同學稍加用心即可快速地心算出來。
有關五心相關面積比的簡易求法及其向量結論的表示,詳見下表(按慣例,令AB=c, BC=a, AC=b):
綜上所述,利用由面積比關系所表示的共始點三向量一般關係式,可將三角形五心的向量結論的理解與記憶轉化為三角形(五心)有關的概念、性質等的記憶,從而使理解更透徹、使記憶更輕鬆且牢固。
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