三角形的五心

    重心、外心、內心、垂心、旁心統稱為三角形的"五心",由於三角形的五心處在特殊的位置上,因而它們具有豐富而獨特的性質,這些性質是解與五心相關問題的基礎.

一.重心

三角形的三條中線的交點叫三角形的重心.

如圖,設O為三角形的重心,則有

1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。 　　

2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。 　　　　

3.在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均，即其坐標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標系——橫坐標：(X1+X2+X3)/3 縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標：（Z1+Z2+Z3）/3 　　

4.重心和三角形3個頂點的連線的任意一條連線將三角形面積平分。 　5.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

6.重心是三角形內到三邊距離之積最大的點。

7.重心在向量中的重要結論:外心

二.外心

三角形三邊的垂直平分線的交點叫三角形的外心.(外接圓的圓心) 

1.三角形的外接圓有且只有一個，即對於給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內接三角形卻有無數個，這些三角形的外心重合。 　　

2.銳角三角形的外心在三角形內；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心與斜邊的中點重合 　　

4.OA=OB=OC=R 　　

5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 　　

6.S△ABC=abc/4R

三.內心

　

三角形的內心是三角形三條角平分線的交點(或內切圓的圓心)。

三角形的內心的性質

　　1.三角形的三條角平分線交於一點，該點即為三角形的內心 　　

2.三角形的內心到三邊的距離相等，都等於內切圓半徑r 　　

3.r=2S/(a+b+c) 　　4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 　　

5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 　　

6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是內切圓半徑)

四.旁心

1 三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交於一點，該點即為三角形的旁心。

2旁心到三角形三邊的距離相等。

3三角形有三個旁切圓，三個旁心。旁心一定在三角形外。

4直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等於三角形周長的一半。

5∠BI1C=90°-∠A/2.

6AP1=r1·cot(A/2)=(a+b+c)/2.

7∠AI1B=∠C/2.

8S⊿ABC=r1(b+c-a)/2.

9r1=rp/(p-a).

10r1=(p-b)(p-c)/r.

111/r1+1/r2+1/r3=1/r.

12r1=r/(tanB/2)(tanC/2).

五.垂心

三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點(通常用H表示)。

三角形的垂心的性質

　　1.銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外 　　

2.三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心 　　

3. 垂心O關於三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上 　　

4.△ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF 　　

5. H、A、B、C四點中任一點是其餘三點為頂點的三角形的垂心(並稱這樣的四點為一—垂心組)。 　　

6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圓是等圓。 　　

7.在非直角三角形中，過O的直線交AB、AC所在直線分別於P、Q，則 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC 　　

8.三角形任一頂點到垂心的距離，等於外心到對邊的距離的2倍。 　　

9.設O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 　

10.銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等於其內切圓與外接圓半徑之和的2倍。 　　

11.銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心；銳角三角形的內接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。