一、三角形的基本知識點
1、三角形的概念
由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
組成三角形的線段叫做三角形的邊；
相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；
相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。
2、三角形中的主要線段
（1）角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。三條平分線交於一點，這一點叫做"三角形的內心"，要區別三角形的「角平分線」及「角的平分線」的區別。「角平分線」是線段，「角的平分線」是射線。
角的平分線的作圖：
1）、以O為圓心，適當的長作為半徑作弧，交OA於M,交OB於N；
2）、分別再以M、N為圓心，大於MN一半長為半徑作弧，兩弧交於角∠AOB內部於點C；
3）、作射線OC，則OC即為∠AOB的平分線;
（2）三角形中位線：在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中位線。三條中位線相交於一點，這一點叫做"三角形的重心"。三角形的中位線可以將三角形分成面積相等的兩個小三角形。
1）、三角形共有三條中位線，並且它們又重新構成一個新的三角形。
2）、要會區別三角形中線與中位線。
三角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊，並且等於它的一半。
三角形中位線定理的作用：
位置關係：可以證明兩條直線平行。
數量關係：可以證明線段的倍分關係。
常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：
結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。
結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。
結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。
結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。
結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。
（3）三角形垂線(高)：從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。
3、三角形的穩定性
三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫做三角形的穩定性。三角形的這個性質在生產生活中應用很廣，需要穩定的東西一般都製成三角形的形狀。
4、三角形的特性與表示
三角形有下面四個特性：
（1）三角形有三條線段
（2）三條線段不在同一直線上
（3）首尾順次相接
（4）三角形是封閉圖形
三角形用符號「」表示，頂點是A、B、C的三角形記作「ABC」，讀作「三角形ABC」。
5、三角形的分類
三角形按邊的關係分類如下：
三角形按角的關係分類如下：
把邊和角聯繫在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。
6、三角形的三邊關係定理及推論
（1）三角形三邊關係定理：三角形的兩邊之和大於第三邊。
推論：三角形的兩邊之差小於第三邊。
（2）三角形三邊關係定理及推論的作用：
①判斷三條已知線段能否組成三角形
②當已知兩邊時，可確定第三邊的範圍。
③證明線段不等關係。
7、三角形的角關係
三角形的內角和定理：三角形三個內角和等於180°。
推論：
①直角三角形的兩個銳角互餘。
②三角形的一個外角等於和它不相鄰的來兩個內角的和。
③三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。
註：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。等角的補角相等，等角的餘角相等。
8、三角形的面積
三角形的面積=(底×高)/2
應用：經常利用兩個三角形面積關係求底、高的比例關係或值
二、等腰三角形
1、等腰三角形的性質
（1）等腰三角形的性質定理及推論：
定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）
推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊並且垂直於底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。
推論2：等邊三角形的各個角都相等，並且每個角都等於60°。
（2）等腰三角形的其他性質：
①等腰直角三角形的兩個底角相等且等於45°
②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。
③等腰三角形的三邊關係：設腰長為a，底邊長為b，則(b/2)<a
④等腰三角形的三角關係：設頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=(180°—∠A)/2
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推論：
定理：如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。這個判定定理常用於證明同一個三角形中的邊相等。
推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形
推論2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。
三、直角三角形
1、直角三角形的性質
1）、直角三角形的兩個銳角互餘
2）、直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
3）、攝影定理
在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項
4）、常用關係式
由三角形面積公式可得：AB*CD=AC*BC
2、含30° 角的直角三角形的性質
1）、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等於斜邊的一半。
∵ 在RtΔABC中， ∠C=90°、∠A=30°、∠B=60° ∴BC=AB/2
【例題】已知等腰三角形底角∠B=∠C=15°,腰AB長20，求AB到底BC的高？
解：
延長BA，過C點作垂直要BA的延長線相較於D點
∵∠B=∠C=15°, ∴∠DAC=30°，∴CD=AC/2=10
3、直角三角形勾股定理
1）、直角三角形(等腰直角三角形也算在內)兩直角邊(即「勾」「股」短的為勾，長的為股)邊長平方和等於斜邊(即「弦」)邊長的平方。
2）、勾股定理僅適用於直角三角形。勾股定理表達式：a^2+b^2=c^2
3）、勾股定理證明
（歐幾裡得證明）
做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結 BF、CD. 過C作CL⊥DE，交AB於點M，交DE於點L.
∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， 12a∵ ΔFAB的面積等於2，ΔGAD的面積等於矩形ADLM的面積的一半，
∴ 矩形ADLM的面積 =a^2同理可證，矩形MLEB的面積 =b^2.∵ 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積∴ c^2=a^2+b^2。
4、三角函數
1、三角函數的基本定義
①sinA=∠A的對邊/斜邊=a/c
②cosA=∠A的鄰邊/斜邊=b/c
③tanA=∠A的對邊/鄰邊=a/b
④cotA=∠A的鄰邊/對邊=b/a
2、一些特殊角的三角函數值
3、各銳角三角函數之間的關係
（1）互餘關係：sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)，tanA=cot(90°-A)，cotA=tan(90°-A)
（2）平方關係：sin^2A+cos^2A=1
（3）倒數關係：tanAtan(90°-A)=1
（4）弦切關係：tanA=sinA/cosA
四、相似三角形
1、相似三角形概念
三角分別相等，三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。
相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣。全等三角形可以被理解為相似比為1的相似三角形。相似三角形其實是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是幾何中兩個三角形中，邊、角的關係。
相似用符號「∽」來表示
2、相似三角形的基本定理
平行於三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似。
相似三角形的等價關係：
（1）反身性：對於任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；
（2）對稱性：若△ABC∽△A'B'C'，則△A'B'C'∽△ABC
（3）傳遞性：若△ABC∽△A'B'C'，並且△A'B'C'∽△A''B''C''，則△ABC∽△A''B''C''。
3、三角形相似的判定
（1）三角形相似的判定方法
①定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似
②平行法：平行於三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似
③判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那麼這兩個三角形相似，可簡述為兩角對應相等，兩三角形相似。
④判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，並且夾角相等，那麼這兩個三角形相似，可簡述為兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。
⑤判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那麼這兩個三角形相似，可簡述為三邊對應成比例，兩三角形相似
（2）直角三角形相似的判定方法
①以上各種判定方法均適用
②定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似
4、相似三角形的性質
（1）相似三角形的對應角相等，對應邊成比例
（2）相似三角形對應高的比、對應中線的比與對應角平分線的比都等於相似比
（3）相似三角形周長的比等於相似比
（4）相似三角形面積的比等於相似比的平方。
5、相似多邊形
（1）如果兩個邊數相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，那麼這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應邊的比叫做相似比（或相似係數）
（2）相似多邊形的性質
①相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例
②相似多邊形周長的比、對應對角線的比都等於相似比
③相似多邊形中的對應三角形相似，相似比等於相似多邊形的相似比
④相似多邊形面積的比等於相似比的平方
6、位似圖形
如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在直線都經過同一個點，那麼這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，此時的相似比叫做位似比。
性質：每一組對應點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比都等於位似比。
由一個圖形得到它的位似圖形的變換叫做位似變換。利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小。
7、相似三角形模型
1)、「X」型
2)、「子母」，「A型」，「斜A」
3)、「K」型
4)、共享型
五、三角形的五心
三角形的「五心」指的是三角形的外心，內心，重心，垂心和旁心
1、三角形的外心
三角形的三條邊的垂直平分線交於一點,這點稱為三角形的外心(外接圓圓心)。
三角形的外心到三角形的三個頂點距離相等． 都等於三角形的外接圓半徑。
銳角三角形的外心在三角形內；直角三角形的外心在斜邊中點；
鈍角三角形的外心在三角形外。
證明外心
外心定理的證明：如圖，設AB、BC的中垂線交於點O，則有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂線上，因為O到三頂點的距離相等，故點O是ΔABC外接圓的圓心．因而稱為外心．
2、三角形的內心
三角形的三條內角平分線交於一點,這點稱為三角形的內心(內切圓圓心)。
三角形的內心到三邊的距離相等,都等於三角形內切圓半徑。
內切圓半徑r的計算：
設三角形面積為S，並記p=(a+b+c)/2，則r=s/p。
特別的，在直角三角形中,有 r=(a+b－c)/2。
內心定理的證明：
如圖，設∠A、∠C的平分線相交於I、過I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，則有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分線上，即三角形三內角平分線交於一點．
3、三角形的重心
三角形的三條中線交於一點,這點稱為三角形的重心。
上面的證明中，我們也得到了以下結論：三角形的重心到邊的中點與到相應頂點的距離之比為1∶ 2。
證明重心定理
證法1 如圖，D、E、F為三邊中點，設BE、CF交於G，連接EF，顯然EF∥=BC，由三角形相似可得GB＝2GE，GC=2GF．又設AD、BE交於G'，同理可證G'B=2G'E，G'A=2G'D，即G、G'都是BE上從B到E的三分之二處的點，故G'、G重合．即三條中線AD、BE、CF相交於一點G．
證法2 設BE、CF交於G，BG、CG中點為H、I．連EF、FH、HI、IE，因為EF∥=BC，HI ∥=BC，所以 EFHI為平行四邊形．所以 HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF．同證法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共點．即定理證畢．
4、三角形的垂心
三角形的三條高交於一點,這點稱為三角形的垂心。
斜三角形的三個頂點與垂心這四個點中，任何三個為頂點的三角形的垂心就是第四個點．所以把這樣的四個點稱為一個「垂心組」。
分析 我們可以利用構造外心來進行證明。
證明
如圖，AD、BE、CF為ΔABC三條高，過點A、B、C分別作對邊的平行線相交成ΔA'B'C'，顯然AD為B'C'的中垂線；同理BE、CF也分別為A'C'、A'B'的中垂線，由外心定理，它們交於一點，命題得證。
5、三角形的旁心
三角形的一條內角平分線與另兩個外角平分線交於一點,稱為三角形的旁心(旁切圓圓心),每個三角形都有三個旁切圓。
三角形的五心有許多重要性質，它們之間也有很密切的聯繫，如：
（1）三角形的重心與三頂點的連線所構成的三個三角形面積相等；
（2）三角形的外心到三頂點的距離相等；
（3）三角形的垂心與三頂點這四點中，任一點是其餘三點所構成的三角形的垂心；
（4）三角形的內心、旁心到三邊距離相等；
（5）三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心；
（6）三角形的外心是它的中點三角形的垂心；
（7）三角形的重心也是它的中點三角形的重心；
（8）三角形的中點三角形的外心也是其垂足三角形的外心．