什麼是旁心
旁心是三角形某角的內角平分線和該角兩側邊延長線的外角平分線的交點。旁心可以和三角形內心和外心結合起來理解。內心是三角形內切圓的圓心，外心是三角形外接圓的圓心，旁心則是三角形邊的外切圓的圓心。一個三角形有三個旁心。
旁心的理解參照下圖。
BIb 是∠ABC的內角平分線，AIb和CIb是∠BAC和∠BCA的外角平分線，他們相交於Ib點，它就是旁心。可以看到，Ia、Ib、Ic都是旁心，三個圓均與三角形的邊和延長邊相切。I是三角形的內心，即內角平分線的交點。
旁心六大性質
旁心在教材上不會專門提及，但他們具有很多重要的性質需要記住，可以靈活用於實際考試中。
1、三角形旁心到三邊的距離相等。
這個和內心到三邊的距離相等是一樣的。從Ib向三邊做垂線，利用三角形全等（△AEIb ≌△AGIb）即可證明EIb=GIb，同理可證GIb =FIb，所以EIb=GIb= FIb。
2、旁心張角公式：∠AIbC=90-∠ABC/2
證明思路：∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠FCA=∠ABC+∠BAC，因此∠EAC+∠FCA=∠ABC+∠ABC+∠ACB+∠BAC=∠ABC+180，則∠IbAC+∠IbCA=(∠EAC+∠FCA)/2=∠ABC/2+90，所以∠AIbC=180-（∠ABC/2+90）=90-∠B/2
旁心張角公式可以和內心張角公式結合起來，就是正負號不一樣。即∠AIC=90+∠A/2。
3、BE=BF=(a+b+c)/2
由圖可利用AG=AE，CG=CF可將b值轉換到BE和BF線。即a+b+c=BE+BF，而利用角平分線性質BE=BF，所以BE=BF=(a+b+c)/2。
4、旁切圓半徑公式
rb=2S/(a+c-b)ra=2S/(a+b-a) rc=2S/(a+b-c)
S為△ABC的面積，證明思路是利用面積法建立等式關係。
5、△ABC是三個旁心點組成的三角形即△IaIbIc的垂足三角形。
也就是說，如下圖A、B、C三點分別是△IaIbIc三邊的垂足點。因為∠IcAB+∠BAI+∠CAI+∠IbAC=180。而AI是內角平分線，∠BAI=∠CAI， IcIb 是外角平分線，∠IcAB=∠IbAC，
所以，∠IcAB+∠BAI=90，即A是垂足點（IA⊥IbIc）。同理可證B、C也是垂足點。
6、內外心和相應夾邊四點共圓，∠AIcI=∠CIaI=∠ABC/2
由第5點性質知道，∠IcAI=90，同理∠Ic BI=90，所以I、A、B、Ic四點共圓，所以∠AIcI=∠ABI=∠ABC/2，同理可證∠CIaI=∠ABC/2。
中考真題
（2019年徐州中考壓軸題）如圖，平面直角坐標系中，O為原點，點A、B分別在y軸、x軸的正半軸上。△AOB的兩條外角平分線交於點P。P在反比例函數y=9/x的圖像上。PA的延長線交x軸於點C。PB的延長線交y軸於點D。連接CD。（1） 求∠P的度數及P的坐標；（2） 求△OCD的面積；（3） △AOB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積，若不存在，請說明理由。
這題雖然沒有提到半個關於旁心的字眼，但它的確是一道考旁心的題。正常情況下，看到兩條外角平分線相交，就應該立刻想到P點就是△AOB的一個旁心。接下來旁心的相關性質和證明思路就要考慮是否能排上用場。
第（1）小題，就是直接利用旁心的外張角公式。∠P=90-∠AOB/2=45。但是這裡不是填空或選擇，所以要去證明∠P=45。利用上面旁心第2性質提到的思路可以輕鬆證明。
利用旁心第1性質可知道P到x軸、y軸的距離相等，即P點的x坐標和y坐標相等，所以P的坐標是（3，3）。同樣需要證明，思路就是做x軸、y軸和斜邊的垂線這3條輔助線，如下圖。
利用三角形全等證明EP=GP=FP。
第（2）小題是求△COD的面積，因為A、B點位置並沒有固定，所以想直接算出OC和OD的值然後再算面積的思路絕對是行不通的，只有把OC*OD作為一個整體來計算，然後求出面積。我們知道，三角形相似的比例等式裡可以轉換成兩條線段的乘積的表達式。結合本題，已知條件都在右上方，所以要想辦法把OC*OD轉換過去。上面我們已經知道P點是旁心，不防連接OP，根據旁心的性質，OP一定是∠AOB的角平分線。第（1）小題已經求得P的坐標是（3，3），即PF=OF=3，所以∠FOP=∠EOP=45，∠COP=∠DOP=135。此時，應該能看出是要證明△COP∽△DOP。因為∠PCO=∠CPE，而∠EPO=45，∠APB=45，所以∠CPE=∠OPD，∠PCO=∠OPD，因此△COP∽△DOP（AAA），那麼得到CO:OP=OP:OD，CO*OD=OP*OP=18，S△COD=9。
由上面的分析可以看出，利用旁心的特性，連接OP，找到三角形相似是本題的關鍵。當然，本題也可以設AO=m，OB=n然後利用代數思想求出△COD的面積。由於和本文主題關係不大，此處從略，有興趣的讀者可以私信我。
第（3）小題，設BF=x，AE=y，那麼OB=3-x，OA=3-y，由（1）知AB=AE+BF，在△AOB中，由勾股定理得到(x+y)*(x+y)=(3-x)*(3-x)+(3-y)*(3-y)，整理得到y=(9-3x)/(x+3)。S△AOB=(3-x)(3-y)/2=3(3x-x*x)/(x+3)，設(3x-x*x)/(x+3)=k，整理得到x2 +(k-3)x+3k=0。因為x為實數，所以△=(k-3)2-12k≥0。解得k≥9+6倍根號2（捨去）或k≤9-6倍根號2。所以S△AOB最大值為27-18倍根號2。將面積轉換成一元二次方程，再利用判別式求出分式函數的最值，是本題的關鍵。當然，如果沒有前面兩個小題關於旁心相關性質的證明基礎，第（3）個小題將無從下手。
總結
旁心的幾大性質雖然不在教材上明確提出，但是考試經常會考到關於旁心的相關知識。由於題目本身用其他基本原理可以證明或計算，所以本質上不超綱。但是如果對旁心知識掌握得熟悉，在考場上就能順利、及時地想到解題思路。
口訣：外角平分線相交，交點就是一旁心，旁心六個性質妙，證明思路要記牢