全國初中數學競賽題,圖形複雜,包含的信息量大,90%學生做錯了

2020-12-24 啟源數學

同學們好，今天老師為大家分享一道全國初中數學競賽題，這道題目是一道幾何證明題，光從題目所給的圖形來看，就已經很複雜了。接下來我們就一起來看看這道題吧：

試題

看到題目之後，不知道同學們有沒有思路呢？這道題其實考查了三角形的五心——垂心。接下來老師就帶領大家先對三角形的五心及其各自的性質進行一下複習：

三角形五心定理

三角形的重心，外心，垂心，內心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內心定理，旁心定理的總稱。

重心定理

三角形的三條邊的中線交於一點。該點叫做三角形的重心。

重心的性質：1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1；2、重心和三角形任意兩個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比；3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

外心定理

三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。

外心的性質：1、三角形的三條邊的垂直平分線交於一點，該點即為該三角形的外心；2、若O是ABC的外心，則∠BOC=2∠A(∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A(∠A為鈍角）；3、當三角形為銳角三角形時，外心在三角形內部；當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重合；4、外心到三頂點的距離相等。

垂心定理

三角形的三條高（所在直線）交於一點，該點叫做三角形的垂心。

垂心的性質：1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓；2、三角形外心O、重心G和垂心H三點共線，且OG:GH=1:2(除正三角形）；3、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍；4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。

內心定理

三角形內切圓的圓心，叫做三角形的內心。

內心的性質：1、三角形的三條內角平分線交於一點，該點即為三角形的內心；2、直角三角形的內心到邊的距離等於兩直角邊的和與斜邊的差的二分之一；3、O為三角形的內心，A、B、C分別為三角形的三個頂點，延長AO交BC邊於N,則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC；4、內心到三角形三邊距離相等。

旁心定理

三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。

旁心的性質：1、三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點，該點即為三角形的旁心；2、每個三角形都有三個旁心；3、旁心到三邊的距離相等。

註：1.一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外；2.三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內心，外心，垂心，四心合一。

複習完知識點以後，我們接著來分析這道題：我們可以先延長AP交O2於點Q,連接AH,BD,QB,QC,QH,由AB為O1的直徑，得∠ADB=∠BDQ=90°,從而可知BQ為O2的直徑，由圓周角定理得出CQ⊥BC,BH⊥HQ,又H為ABC的垂心，由垂心的定義得AH⊥BC,BH⊥AC,可推出AH//CQ,AC//HQ，從而證明出四邊形ACQH為平行四邊形，最後再利用平行四邊形的性質證明結論即可。具體解題步驟如下：

答題步驟

今天的試題分享就到這裡，也歡迎大家下方留言或評論，來一起說說你們的想法或建議吧

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