> 重心是什麼的交點有啥性質

　　重心是三角形三邊中線的交點。重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1，重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等，重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

　　1三角形重心定義及性質證明

　　三角形重心是三角形三中線的交點。當幾何體為勻質物體且重力場均勻時，重心與該形中心重合。

　　證明一

　　1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

　　例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中點。EC、FB交於G。

　　求證：EG=1/2CG

　　證明：過E作EH∥BF交AC於H。

　　∵AE=BE，EH//BF

　　∴AH=HF=1/2AF(平行線分線段成比例定理)

　　又∵ AF=CF

　　∴HF=1/2CF

　　∴HF:CF=1/2

　　∵EH∥BF

　　∴EG:CG=HF:CF=1/2

　　∴EG=1/2CG

　　方法二 連接EF

　　利用三角形相似

　　求證：EG=1/2CG 即證明EF=1/2BC

　　利用中位線可證明EF=1/2BC利用中位線可證明EF=1/2BC

　　2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

　　證明方法：

　　在△ABC內，三邊為a，b，c，點O是該三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分別為a、b、c邊上的中線。根據重心性質知：

　　OA'=1/3AA'

　　OB'=1/3BB'

　　OC'=1/3CC'

　　過O，A分別作a邊上高OH'，AH

　　可知OH'=1/3AH

　　則，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC

　　同理可證S△AOC=1/3S△ABC

　　S△AOB=1/3S△ABC

　　所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB

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