對於一條連續的、光滑的曲線，根據定積分的幾何意義，很容易計算曲線與x軸所圍成的區域的面積，但如何計算曲線的長度呢？
1.直角坐標曲線
曲線f(x)為一條在區間[a,b]上連續且光滑的曲線，如圖1所示。
圖1.曲線f(x)示意圖
在求曲線的長度前，小編先解釋一個概念。所謂光滑的函數曲線，意思就是函數在一段區間內存在一階導數。
根據微分的思想，一段曲線的長度可以分割成無數條短曲線的和。
現在假設用n-1個數將區間[a,b]分割成n個子區間。根據圖1可知，每個子區間的弧長可以近似用圖2的式子來表示。
圖2.子區間的弧長
則曲線的總弧長近似等於各個子區間的弧長之和，如圖3所示。
圖3.曲線總弧長與子區間弧長的關係
當n趨於無窮時，曲線弧長可以用極限的形式表示，且根據定積分的定義，可以得出曲線弧長與定積分的關係，如圖4所示。
2.參數曲線
如果用參數形式來描述函數曲線，則曲線長度的計算公式如圖5所示。
圖5.二維空間的參數曲線長度
3.二維以上的空間曲線
對於二維以上的空間曲線的長度，通常採用參數曲線的計算公式進行計算。以三維空間為例，三維空間的曲線長度的計算公式如圖6所示。
圖6.三維空間曲線的曲線長度
微分的思想極其重要，基本上整個積分這塊都是圍繞微分思想而展開的。而微分思想最重要的一點就是將一段區間分割成無數個子區間進行考慮。
大家一定要嘗試自己推導一遍，加深對微分的理解！