夏乙 慄子 一璞 發自 凹非寺量子位 出品 | 公眾號 QbitAI
40分鐘後，89歲的阿蒂亞爵士（Sir Michael Francis Atiyah）完成了他全球矚目的黎曼猜想證明演講，現場聽眾報以10多秒的掌聲。
接下來是提問環節。
沒想到，高智商聽眾雲集的會場裡，隨即陷入一片沉默。「Come on！」等待20秒仍不見人提問的阿蒂亞呼籲大家勇敢一點。
直到一分鐘後，站在臺上的阿蒂亞才聽到第一個問題：
「黎曼猜想這算是被成功證明了嗎？」
提問者應該是一位印度小哥，他來自數學家鄙視鏈的下下遊，人工智慧領域，一上來就拋出這個尖銳的問題。
阿蒂亞說，他自己覺得算是已經證明了黎曼猜想，不過如果你堅決不接受反證法的話……
當然，阿蒂亞也表示這個證明現在還不完整，接下來還有很多後續問題要解，今天只是萬裡長徵的第一步，不過，第一步也應該算是問題的一個解。
他說：「我可以退休了。」
第二位提問觀眾關心論文什麼時候發表，好檢驗一下這個證明。這樣一個問題勾起了阿蒂亞的傷心事。
順著這個提問，阿蒂亞開始吐槽了學術界的「老齡歧視」。他說：「等你到了我這個年紀，人們就不發表你的論文了，他們會說你太老了，肯定哪兒證明錯了。」
他說他甚至被arXiv拒了稿，簡直是歧視啊。
第三位提問的終於是個小姐姐，關心了一下阿蒂亞自己對證明黎曼猜想這件事的感受：你認為大家會相信你的證明嗎？還是說你根本不在乎大家信不信？
大家信不信，阿蒂亞是很在乎的。他說，得不得獎不重要，有人聽才重要。
不過，大家不信也正常，因為他發現，如果有人給舊方法找了種更聰明的用法，人們還比較容易相信，但大家不願意相信全新的證明。
而他這次所講的，就是一個全新的方法。
核心三分鐘
作為菲爾茲獎與阿貝爾獎雙料得主、英國皇家學會院士，阿蒂亞爵士於德國柏林時間9月24日上午9點45分登上講臺。
在他40分鐘的演講中，大部分在回顧歷史，嚴格來講，只有三分多鐘在講解他如何使用了一個簡單的反證法，就證明了159年來無人能攻克的黎曼猜想。
三分多鐘講解，只有一張PPT。
阿蒂亞爵士對黎曼猜想的證明，只是推演物理學中精細結構常數α的副產品，建立在馮·諾依曼（John von Neumann）和弗裡德裡希·希策布魯赫（Friedrich Hirzebruch）工作的基礎之上。
也就是說，他最初也不是想根據這兩位的工作來證明黎曼猜想，而是要推演精細結構常數。
精細結構常數通常被認為約等於1/137.03599913，但它究竟是怎麼來的，到底是不是一個常數，困擾著無數物理學家，就像黎曼猜想困擾著數學家一樣。
這個推演過程，就用上了Todd函數，這個函數是希策布魯赫用阿蒂亞老師的名字命名的。
阿蒂亞在推演精細結構常數的過程中，發現Todd函數還能用來證明黎曼猜想，於是就有了今天這場演講。
用Todd函數，靠反證法證明黎曼猜想的過程，全在下面這一頁PPT裡了：
為了避免曲解（實際也聽不懂）阿蒂亞的原意，我們把現場這段三分多鐘的講解，剪出來放在這裡，我們一起聆聽大師現場教學：
想要進一步研究，可以參考阿蒂亞證明黎曼猜想的論文預印本。
論文獲取連結: https://pan.baidu.com/s/1m6de_9f2503yZeyQPqlwvA 提取碼: cs2u
全文很短，只有5頁。
同行不予置評
不知道這個證明，你能看懂幾分。
但根據我們的觀察，這個演講發表之後，阿蒂亞爵士並沒有收到太多的讚美。科技媒體New Scientist曾經聯繫了多位數學家，問他們怎麼看阿蒂亞證明黎曼猜想的方法，但數學家們大多表示不予置評。
就像爵士演講之後的提問環節，全場無人舉手，空氣像凍住了一樣。
△「證明部分，就留作課後練習吧。「
從20日發布演講預告，到昨天下午演講結束，外界對阿蒂亞的這份證明，一直不太看好。畢竟十年來，他幾乎沒有做出過讓學界認可的成果了。
甚至，演講開始前傳出的預印本，許多人都懷疑是假的，不相信阿蒂亞會給出那樣的證明。聽了演講之後，才驚呼「啊，是真的啊。」
另外，阿蒂亞爵士在演講中提到，證明過程中用到的最重要的工具，是Todd函數。
針對這一點，有不止一個網友表示，「這跟Todd函數沒啥關係啊，就是多項式而已。」
另外據《文匯報》報導，對於阿蒂亞這次的工作，有同行在網上表示，為了尊重這位曾經做出過非常傑出而漂亮工作的偉大數學家，就不要再討論了，因為他的證明是「not even wrong」。
在科學界，這個英語短語描述了一個聲稱是科學的論點或解釋，但是基於無效的推理或推測前提。因此，它指的是不能嚴格地、科學地討論的論述。
再看看學術討論之外的世界，推特用戶的娛樂精神就比較充足：
「我跟導師聊起阿蒂亞證明黎曼假說的事。他說每個人，不管 (前一秒) 是在帶孩子，還是在呼吸，還是在幹嘛，都紛紛放下手上的事，開始證明黎曼假說了。」
妄自解讀了一下這條評論，大概是說，這樣就能證明的話，是人都能證明了。
當然，負面評價也不是全部。
有人指出，這份證明，只是阿蒂亞其他研究的一個推論(Corollary) ，而那些研究外界都沒有看過，無從評價對錯。真正的問題在於，Todd函數到底是怎麼用的。
阿蒂亞本人也說，這個證明只是「萬裡長徵第一步 (the First Step on a Long Road) 」，還有很多需要補充的東西。
不過，他依然相信，自己有理由把 (證明黎曼猜想的) 100萬美元收入囊中。
全程視頻+PPT
阿蒂亞此次演講+問答的全程，視頻可在量子位（ID：QbitAI）公眾號查看。
如果你想下載觀摩阿蒂亞此次演講使用的PPT，這裡是下載地址：https://pan.baidu.com/s/1akir2ySSlHbU4lxyYfI9CA （提取碼: qeb7）
黎曼猜想簡史
所以講了這麼多，黎曼到底猜想了啥？
一個找質數的方法。
質數，就是自然數中那些只能被1和它自己整除的整數。比如2、3、5、7、11、13、17、19、23……這些數。
質數看起來似乎沒什麼規律，在數軸上突然地出現，又突然地消失，從古希臘開始，人們就被這個「玄學」所困擾：
質數啊，你們到底有沒有什麼規律？
然而當時，古希臘人對質數除了定義之外的唯一知識就是：
自然界有無數個質數。
這個證明來自於歐幾裡得，他用反證法證明了這一點。
之後的1600年，人們對於素數的認知毫無進展。
研究調和級數的奧裡斯姆大佬
時間一躍來到了中古晚期，法國瓦盧瓦王朝國王查理五世的顧問，title包括經濟學家、數學家、物理學家、天文學家、哲學家、音樂學家、神學家等一長串的一位大佬尼克爾·奧裡斯姆（Nicole Oresme）研究出了一個新的函數：調和級數發散
是不是覺得看起來很玄學？
他的證明過程就很簡單了，非常的奧數style。
△ 調和級數發散的證明，小學數學就能看懂
調和級數發散看起來跟質數似乎沒啥關係，但是就是這個式子，一不小心給後來的黎曼猜想奠定了基礎。
歐拉老師的乘積公式
奧裡斯姆大佬告別歷史舞臺353年之後，輪到歐拉老師秀了。
萊昂哈德·歐拉（Leonhard Eule），就是那個從陪伴大家從中學到高數到複變函數的歐拉老師，他發現了一個名叫歐拉乘積公式的函數：
這個公式仿佛冥冥中和質數的分布有某種聯繫，數學王子高斯（Gauss）和另一位數學大師勒讓德（Legendre）就感覺到了這一點，倆人不約而同的提出了質數定理：
從不大於n的自然數中隨機選一個，它是質數的概率大約是1/ln n。
黎曼大神登場
前面四位數學家做了一些鋪墊之後，主角黎曼大神終於登上了歷史舞臺。
黎曼33歲那一年，當上了柏林科學院的通信院士，這可是非常高的榮譽，黎曼一開心，想想來這麼好一家單位不能白來，我來的時候以單位為榮，我走的時候就要單位以我為榮。
怎麼以我為榮呢？黎曼就寫了一篇牛逼哄哄的論文，題目叫《論小於已知數的質數的個數》，翻譯成人話就是：質數是怎麼分布的。
這篇論文裡，黎曼提出了一個函數，被後世稱為黎曼ζ函數（ζ，讀音Zeta）。
如果把它展開，你就會發現，黎曼ζ函數長得跟前面奧裡斯姆調和級數發的式子差不多。
之後，黎曼還定義了兩類零點：
平凡零點：某個三角sin函數的周期零點；
非平凡零點：ζ函數自身的零點。
針對非平凡零點，黎曼提出了三個命題：
第一個命題，黎曼指出了非平凡零點的個數，且十分肯定其分布在實部大於0但是小於1的帶狀區域上。
黎曼大神形容「這是不言而喻的普適性的結果」，意思就是「這特麼簡直是廢話，還用說嗎？」
可是地球上的其他人類不這麼覺得。46年後，在芬蘭數學家梅林和德國數學家蒙戈爾特的努力下，第一個命題終於被證明了。
第二個命題，黎曼提出所有非平凡零點都幾乎全部位於實部等於1/2的直線上。
這個命題，黎曼大神自己證出來了，可是他不說，因為他覺得命題的證明還沒有簡化到可以發表的程度。
這些地球上的其他數學家懵逼了：大神你不說就撒手西去了，這得讓我們活著的數學家急死啊！
所以這個黎曼覺得很簡單的命題，地球上的其他數學家至今還處在一臉懵逼的狀態中。
第三個命題，黎曼不像前兩個那麼確定了，他用十分謹慎的語氣寫到：很可能所有非平凡零點都全部位於實部等於1/2的直線上。這條線，從此被稱為臨界線。
注意，黎曼猜想終於出現了！就是這第三個命題。
從此，黎曼猜想就開始折磨數學家們：到底能不能證明？能證明還是證偽？什麼時候才能證明？
數學家們糾結到什麼程度呢？
如果能穿越到500年後，德國數學家希爾伯特醒來的第一句話就是：黎曼猜想被證明還是證偽了？
美國數學家蒙哥馬利也說，如果有魔鬼答應讓數學家們用自己的靈魂來換取一個數學命題的證明，多數數學家想要換取的將會是黎曼猜想的證明。
黎曼猜想，簡直是數學界の終極奧義。
後世數學家的燒腦歷史
雖然黎曼猜想很難證明，不過別忘了前面的第二個命題，他自己證明了，還不說，黎曼大神可是一個喜歡藏著掖著的人啊！
於是後世數學家們就開始扒拉黎曼遺留的手稿。
萬萬沒想到，黎曼大神自己謹慎到證明沒簡化就不發，可是黎曼大神的管家是個粗心漢。他想都沒想，就把主子遺留的手稿給燒了。
不過，好歹黎曼的遺孀是個聰明人，她看管家犯傻，就趕緊去搶救了一部分手稿出來，送給了黎曼生前好友、另一位數學家戴德金。
可是送過去之後，黎曼夫人後悔了：萬一那些手稿裡有黎曼給我寫的情書呢？
她就找戴德金把大部分手稿要回來了，剩下的被戴德金獻給了哥根廷大學圖書館。
因為天才的思路普通人往往跟不上，這些手稿看起來很難懂。不過，關於手稿的故事我們告一段落，後面它會發揮巨大的價值。
下面，則是歷代數學家們一步步靠近黎曼猜想真理的過程。
阿達馬與普森
黎曼去世30年後，法國數學家雅克·阿達馬和英國天文學家諾曼·普森兩位也不約而同了一下，他們幾乎同時證明了ζ(s)的所有非平凡零點的實部均小於1，即Re(s)=1上無非平凡零點。
所以這也就是素數定理。
玻爾與蘭道
時間走到了一戰爆發那年。
丹麥數學家哈拉爾德·玻爾和德國數論家愛德蒙·蘭道開始了一場合作，證明了玻爾-蘭道定理：
含有臨界線的任意帶狀區域都幾乎包含了ζ的所有非平凡零點，表明了臨界線為零點匯聚的「中心位置」。
零點現世
黎曼一直在講「零點」。
可是，他要的零點在哪兒？沒人知道。
1903年，丹麥數學家第一次算出了前15個非平凡零點的具體數值。在黎曼猜想公布44年後，人們終於看到了零點的模樣。
毫無意外的是，這些零點的實部全部都是0.5。
哈代與利特爾伍德
1921年，英國數學家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德證明了存在常數T，使臨界線上虛部位於0與T之間的非平凡零點的數量至少為KT。
四年後，兩人還算出前138個零點，這基本達到了人類計算能力的極限。
沉迷手稿的西格爾
還記得前面的手稿麼？終於有人看明白啦！
1932年，德國數學家西格爾（Siegel）在手稿中發現了一個被塵封了73年的公式：
△ 來自維基百科截圖
這個公式表明，黎曼當年發表第三命題不是拍腦門瞎說的，而是經過了深刻的思考和計算。為了紀念西格爾對手稿的辛苦挖掘，這個公司後來被叫做黎曼-西格爾公式。
利用黎曼-西格爾公式，後來的數學家們就可以開心的找零點了。
挪威數學家塞爾伯格（Selberg）證明了臨界線上的零點個數佔全部非平凡零點個數的比例大於零，這意味著臨界線上的零點在全部零點的分布中舉足輕重。
之後，美國數學家萊文森（Levinson）引入了獨特的方法，證明臨界線的零點佔全部零點的比例達到了34.74%。
基於萊文森的技巧，美國數學家康瑞（Conrey）在1989年把比例推進到了40%，這也是迄今為止得到的最好結果。
本段內容部分參考中國科學院數學與系統科學研究院黃逸文的《黎曼猜想》一文