我承認我最近有些膨脹，因為找出了曼德爾布羅特的《市場的（錯誤）行為》這本書，指望自己能夠從中能夠找到股市的鍊金術。對，就是下面這本。
曼德爾布羅特是分形幾何學的創始人，他的主要成就在數學界，這本書是他撈過界，跨到金融市場的產物。分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學，一個典型的分形幾何圖像如下：
分形幾何的圖形具有自相似性，也就是整體跟局部具有相似性。比如說一棵大樹可以分成很多的枝幹，每一根枝幹又由很多小的枝幹組成，這麼一直分下去， 每一根枝幹都跟整個大樹有相似性。因為分形幾何很容易讓我們想到股價的走勢，所以我們也想看看曼德爾布羅特這位大師對股市什麼看法。
這本書在豆瓣上加起來總共不到200個評論，比起《月亮與六便士》之類動輒十幾萬點評來說，真的只能是安慰自己這叫曲高和寡了，而且翻譯真的是……太不上心了，但好在作者語言冗餘比較多，上下文聯繫下來不至於走樣。
在讀這本書的時候，我們可能需要首先思考的一個問題就是：
數學模型的意義是什麼？
與大多數人想像的相反，數學模型是對我們生活的簡化。讀書期間被數學支配的恐懼一直籠罩著我們後來的生活，以至於我們現在見到數學就避之不及。但當你真正的踏入社會，你就會發現，數學其實是對現實生活的一個簡單抽象，因為過分簡略，前提假設太過嚴格，反而掛一漏萬，在解釋實際的時候往往漏洞百出。
金融行業從業人員，很多人都是科班出身，都學過現代金融理論的三大模型，也是當代金融研究的支柱。這三大模型就是MPT（Modern Portfolio Theory）現代投資組合理論，CAPM（Capital Asset Pricing Model ）資本資產定價模型，以及B-S（Black-Scholes）期權定價模型。
現代金融理論的第一大支柱——現代投資組合理論
這個理論最早發表在馬科維茨1952年的博士論文裡，主要內容就是通過風險和收益匹配，找出最佳的投資組合。這個理論的獨創性在於為風險和收益找到一個合理的衡量指標。
馬科維茨找的指標就是，用收益率的標準差和均值來衡量風險和收益。最佳的投資組合一定是在風險固定的前提下收益率最高，或者收益率恆定的前提下風險最低，馬科維茨將這個投資組合稱為有效前沿，也就是上圖的那根線。
現代金融理論的第二大支柱——資本資產定價模型
由於MPT要求的計算量太高，1964年，馬科維茨的學生夏普在MPT的基礎上提出了CAPM，也就是資本資產定價模型。
核心是將資產的收益率劃成兩部分，一部分是無風險收益率Rf，通常用國債利率來代替，另一部分是風險收益率，這部分由β和股權風險溢價Rm組成，股權風險溢價就是股權市場收益率與無風險收益率的差值，β則代表了資產的彈性或者說波動性。
現代金融理論的第三大支柱——B-S（Black-Scholes）期權定價模型
大部分金融科班出身的人，可能到現在還搞不清楚這個模型，可能因為不好懂吧，這個模型也被稱為現代金融學的聖杯。B-s模型之所以複雜，在於用到了微積分。期權定價的難點在於其主要因素都是確定的，但是期權的風險卻很難度量。
為了解決這個問題，布萊克和斯科爾斯創造性的將股票和期權結合在一起，兩者結合之後波動消失了，這樣就將風險內生化了，從而可以用包含股票和其他相關變量的組合來計算期權的價值。公式的難點在於為了解決股票和期權價格動態變化的問題，斯科爾斯將日本科學家用於模擬飛彈軌跡的微分理論引進來，當然直接勸退的效果非常好。
我們常說，基礎不穩，地動山搖。說的都是一個事，就是基礎的重要性。拿到金融理論上來說，就是前提假設必須經得起實踐的檢驗。曼德爾布羅特在這本書裡，質疑的正是現代金融理論的基礎。
現代金融理論最大的假設是金融產品價格具有獨立性，遵從正態分布，偏偏這個假設在實踐中的問題最大。模型是對現實生活的抽象，我們必須要有假設，否則就是空對空。只不過現代金融理論建立的基礎，很可能像流沙，風一吹就散了。
現代金融理論對金融產品的價格做出了兩個假設：一個是獨立性，也就是說當前價格的變動，跟上一次的價格完全無關，你不能通過當前價格預測下一次的價格。第二個是正態分布，價格變動遵循正態分布，大部分變動是小的，只有極小的情況會出現大的變動。
我們沒有用書中的數據，我們用代表中國股市走勢的滬深300指數來檢驗，發現了基本相同的結論。
上圖紫色線是過去十年滬深300指數的實際走勢，藍色線是我們用隨機正態分布模擬的走勢圖。
可以發現，在純隨機的情況下，也可以模擬出一條看上去很像那麼回事的一條線，有漲有跌，還有趨勢。假如這根藍色線就是真實的滬深300指數走勢圖，我相信一定會有研究員煞有介事的解釋，為什麼其中一段是跌的，而另一段是漲的，其實這條線就是我在excel裡面用簡單的隨機數發生器做出來的。
真實的滬深300走勢圖相對模擬的走勢圖，在很多時候非常像，但最難解釋的就是2015年的這一波牛熊轉換，上漲和下跌這個幅度的波動，已經超出了隨機模型的範圍。
從漲跌幅波動率來看，滬深300指數實際的情況要大大超過模擬隨機分布的波動情況。上圖是以標準差的倍數做出的漲跌幅波動情況。可以發現，實際分布的極端值出現的概率要比模擬分布大的多。
2015年8月24日，滬深300指數大跌8.24%，按照正常的正態分布，這一天出現的概率是6倍的標準差，也就是1176年一遇，但實際還是發生了。
大學裡但凡上過管理學課的，都知道一個六西格瑪，當年通用如日中天的時候推廣的一個核心戰略管理思想。六西格瑪是一個生產流程的概率，在正態分布上，六西格瑪就代表著六個標準差，在六個標準差內，99.99966%的產品是沒有品質問題的，也就是說每一百萬的產品中只有3.4個缺陷。
這個概率也代表了出現8月24日那次大跌的概率是100萬個交易日中可能會出現3.4次，按每年250個交易日，就是1176年一回。
從漲跌幅的分布看，模擬的分布是一個典型的正態分布圖，實際分布則要比模擬分布更尖，兩段更長，就是常說的肥尾的存在，極端值出現的概率要比正態分布大很多。在過去的十年裡，滬深300指數單日跌幅大於5%共出現了22次，而模擬分布一次都沒有。
從上面三張圖我們可以發現，實際的股市走勢，與正態分布有很大的差距，表現在極端值的數量要遠遠超出正態分布所能涵蓋的範圍。
不破不立。曼德爾布羅特在書中提出了兩個效應，諾亞效應和約瑟夫效應，為解釋這些極端值提出了新的依據。
這兩個效應都來自眾所周知的聖經故事。
諾亞方舟的故事是洪水淹沒了陸地，諾亞按照神的囑託建造了一個大方舟。連續40天的大雨，代表了突然的變化，諾亞效應用來形容股價突然的變化。比如2015年下半年的那一波直直拉起的牛市。
約瑟夫效應來自於埃及法老王的夢，七個豐收之後接著七個荒年。一個豐收之後還接著一個豐收，代表著趨勢。
股價的約瑟夫效應就是價格可能會連續的上漲，也可能會出現連續的下跌。約瑟夫效應可能會導致諾亞效應的出現，也就是趨勢會連續，同樣出現反轉之後，也會持續很長一段時間。
諾亞效應和約瑟夫效應，顯然都與現代金融理論的基礎，獨立性和正態分布格格不入。為了衡量這種效應，曼德爾布羅特專門設計了一個Hurst指數，取值是大於0小於1。當指數等於0.5時，就代表股價走勢是個純隨機的布朗運動，符合正態分布，如果大於0.5小於1，代表股價具有長期記憶性，就是當前的趨勢可以持續下去，如果小於0.5，則代表股價有均值回歸的趨勢，這個指數的計算暫時超出了筆者的水平。
Hurst指數在股市可以用來擇時，實際上這也是十年前量化投資的一個很重要的擇時指標。根據丁鵬在《量化投資—策略與技術》一書中的模擬，通過指數回測從1997年1月到2010年6月的上證指數，得出了超額收益率超過200%。
但我們知道，這些模擬都太理想化，根據我們對量化研究的了解，無論哪種指數，目前擇時指標的成功率並不高，不值得專門出一個策略。
如果還想繼續了解Hurst指數，可以看中信建投2017年8月份的研究報告《深度解析Hurst模型的打開方式》。
作者想要告訴我們的，無非就是現代金融理論的基礎非常不牢固。至於鍊金術，反正我沒找著。