解析幾何的誕生是變量數學的第一個裡程碑，它是人類首次將幾何圖形和代數式聯繫在一起，人們不但獲得了簡便的證明方法，還意識到數學的每個分支都是想通的。解析幾何的誕生促使數學家們把目光轉向變量和函數，為微積分的創立搭建了舞臺。
說到解析幾何，幾乎所有的人都會想到笛卡爾。1637年，笛卡爾在他劃時代的巨作《幾何學》中論述了代數與幾何的結合，證明了幾何結構與代數運算的等價性，建立了點與實數的對應關係，把「形」（點、線、面）和「數」統一起來，建立了曲線和方程的對應關係，標誌著解析幾何的誕生，因此，笛卡爾也被後人尊稱為解析幾何之父。
笛卡爾
其實除了笛卡爾，還有一位數學家為解析幾何的誕生做出了巨大貢獻，他就是業餘數學之王——費馬。
費馬大法官是法國數學家、物理學家，他一生從未受過專門的數學教育，對數學的研究只是他的業餘愛好，但是很多數學領域取得了巨大的成就，除了在數論領域中提出的費馬大定理和費馬小定理，他還是古典概率論的奠基人，是微積分的思想先驅，對於微積分誕生的貢獻僅次於牛頓和萊布尼茨，而我們今天要說的是他在解析幾何方面的成就。
費馬
費馬獨立於笛卡兒發現了解析幾何的基本原理，應該說解析幾何的真正發明應該歸功於笛卡爾和費馬兩個人，他們工作的出發點不同，但卻殊途同歸。
與笛卡爾不同，費馬工作的出發點是恢復失傳的阿波羅尼奧斯（古希臘幾何學家）的著作《平面軌跡》，他用代數方法對書中關於軌跡的失傳的證明進行補充，並對古希臘幾何學尤其是圓錐曲線論進行總結和整理，進而對曲線進行研究。在研究的基礎行，1630年費馬撰寫了《平面與立體軌跡引論》。
在這本書中他闡述了自己的解析幾何原理：「只要在最後的方程中出現兩個未知數，我們就有一條軌跡，這兩個量之一的末端描繪出一條直線或曲線，直線只有一種，而曲線的種類則有無限種可能，可以是圓、拋物線、橢圓等等。」
1660年費馬的手稿
在書中費馬定義了以下曲線：
不僅如此，費馬在書中還提出並使用了坐標的概念，包括斜坐標和直角坐標，他稱所指的未知量其實就是變量，也就是我們今天所說的橫坐標和縱坐標。
其實費馬發現解析幾何的基本原理比笛卡爾還要早7年，但他的這一成果遲遲沒有出版，直到1679年他的兒子才整理並出版了他的遺作，這時候費馬已經去世14年了。雖然關於解析幾何的誕生，費馬和笛卡爾之間也精力了一場曠日持久的鬥爭，但是他們兩人在解析幾何上的研究最終導致了17世紀後期微積分的創立，兩個人都對17世紀的數學做出重大貢獻。
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