費馬最後定理及理想類

作者：Kenneth A.Ribet

時間: 2017 年 8 月 1 日
地點: 天文數學館一樓國際會議廳
整理: 陳其誠、梁惠禎

Kenneth Alan Ribet 教授於 1948 年出生於美國, 目前任教於加州大學柏克萊分校。他為 Andrew Wiles 對費馬最後定理的證明完成了關鍵性的前置工作。

很榮幸在 NCTS 周年慶演講。我在柏克萊的第一批研究生中就有一位來自臺灣, 他是在座的紀文鎮教授。很久以前他邀請我來臺灣, 今天算是我第三或第四次訪問, 記得在三年前參加過 NCTS 的研討會, 印象深刻。

請容我先問: 在座有多少人是專業數學家? 有多少人不是專業數學家?這個演講的前半部本來是講給非專業數學家聽的。近結尾時, 我會談到屬於代數數論的理想類(ideal classes)。代數數論可說是源自數學家對費馬最後定理的研究, 是數學的一門分支。

談費馬最後定理必須提到它長遠的歷史。它起源於十七世紀, 會成為數學的核心問題是基於各種各樣的原因, 其中一些純屬偶然。而它在數學上所以重要, 其中一個原因是它引導出一些重要的理論, 這些理論的應用範圍遠遠超過費馬最後定理本身的研究。

1993 年 6 月, 年輕的英國數學家 Andrew Wiles 在劍橋大學的數學會議上宣布: 他已證明費馬最後定理, 350 多年來眾人對此問題的探索於焉完滿。這全然令人驚訝。從公眾的角度來看, 這無疑是數學上最令人興奮的消息; 因此, 隔天早上, 我的名字、當然還有 Andrew 的名字, 都上了紐約時報的頭版。

稍後我會給出定理的實際敘述; 它攸關方程式的解, 基本上是說任何正整數

另一個有名的例子是 Euler 在十八世紀提出的一個猜想: 方程式

後來我們知道, 這不是最小的反例, 但最小的反例並不比它小很多。Elkies是用計算機找到反例的, 但在他讓筆記本計算機作運算之前, 已用紙筆做了很多腦力工作。

對費馬最後定理的描述通常始於勾股定理, 其方程為

若你考慮的不是平方, 會發生什麼事? 考慮立方、四次方, 或

費馬聲稱的敘述, 很可能是費馬之後會想要修改的 (如果他找到了這本書, 並回頭看頁邊筆記), 因為他後來又寫出了

他的證明實際上使用的, 是現今所謂的數學歸納法的變形。他的想法是: 如果你有一個

費馬如何由一組解

如果你是專業數學家, 且喜歡代數幾何, 則你甚或可把費馬的方法, 重新翻譯成橢圓曲線上的下降(descent)。

對專業數學家來說, 令人尷尬的是, 我們並不確定費馬沒有證明這個所謂的定理(它在 1990 年代初期才成為定理, 在 17 世紀或 18 世紀並不是定理)。我們相信費馬寫下頁邊筆記時構想的證明並不正確, 但也無法確定, 所以仍有一種合理的可能性: 費馬確實發現了一些東西, 但因沒寫下來而已丟失, 世上某些聰明人, 仍有可能透過代數推演及因式分解, 提出聰明的方法來重建論證。這樣的想法導致, 每一份數學期刊, 特別是數論的期刊, 都會收到源源不絕的文稿, 聲稱重新發現了費馬在 17 世紀的論證。如果你是期刊編輯, 會深感困擾, 因為你老是收到這些文稿, 而且知道它們是錯的。但你是從經驗判斷它們是錯的, 並非因讀完文稿才說它們是錯的。類似的投稿, 有解決 Goldbach 猜想的、黎曼猜想的, 或物理學的大統一等等的; 看到這些標題, 編輯們就知道麻煩又來了, 但邏輯上, 也不能完全否定它們之中有朝一日出現正確證明的可能。

數論學家 Paulo Ribenboims 是巴西人, 任教於加拿大安大略省的 Kingston 的 Queen's University (已退休)。他為業餘人士寫了題為《Fermat's Last Theorem》的書。這是一本相當厚實的書, 總結所有已知在費馬方程上基本技巧能做的事。如果你有雄心壯志, 想藉由基本技巧來證明費馬最後定理, 不防從閱讀本書起步, 學習所有的東西。也許你能找到些額外的東西, 足以證明這個定理。

暢銷書及大眾媒體常愛牽扯到費馬最後定理, 譬如《龍紋身的女孩》這部小說。我準備演講時, 向柏克萊的某位數論學者提及此事, 他說: 「我們應該告訴眾人星際爭霸(Star Trek) 的事」。星際爭霸是 1960 年代的電視影集, 擁有廣大粉絲。你可以去 YouTube 看其中一集"Fermat's Last Theorem of Star Trek"; 在那集中, 主角討論著: 「費馬最初的斷言已延宕 700 年, 迄今懸而未決」。他們錯了, 不過當時寫劇本的人, 也無法從心所欲地展望未來。有許多與費馬最後定理相關的暢銷書, 你可在 Google 圖書搜尋關鍵詞「費馬」, 並試圖排除任何疑似在討論數學的東西; 你會發現那些痴迷於費馬最後定理的小說人物及主角。

費馬也出現在名為辛普森的電視影集。值得注意的是, 辛普森的大多數編劇, 在寫作時都堅持忠於各種數學。不久前西蒙·辛格(Simon Singh)寫了一本關於辛普森的書。西蒙·辛格是英國作家; 他起初是物理學家, 曾在瑞士擔任博士後, 之後為 BBC 做紀錄片。他曾為費馬最後定理製作紀錄片(美國稱之為 The Proof), 英國廣播公司成片後數月, 在美國上映, 也在 YouTube 播出。他拍完這部紀錄片後, 熱衷於費馬最後定理, 寫了一本關於它的書。那是一本很棒的書。之後他繼續著述, 「我曾是物理學家, 曾是紀錄片製作人, 現在是科普作家」。他正在寫宇宙學、數學、密碼學及其他主題的書。他非常棒, 我當然推薦這本關於費馬的書(此書及西蒙·辛格的另一本著作"The Code Book"《碼書》有中譯本)。

現在我們稍微深入地談些較為嚴肅的數學, 但仍以歷史的角度來看。費馬把

費馬證明

Euler 以降的數年及數世紀裡, 數學家確實處理了

回顧歷史, Euler 處理了

人們好奇: 是否這正是費馬寫下頁邊筆記時所犯的錯誤。但數學史學者會告訴你, 在費馬的時代, 人們尚未想到這種複雜系統的質因子分解唯一性的問題; 但我們當然不知道實情。對費馬能做什麼、不能做什麼的看法, 總帶著臆測性。

有一本書解說了這整個主題, 也是 Paulo Ribenboims 的著作, 是本令人愉快的書。它出版於 1979 年, 以非常親切的方式向專業數學家講述費馬最後定理迄至當時的一切。這是一本很好的書。

在這次演講的最後, 我想談談我在理想類方面的論文。我本可把時間全用在談論 Andrew Wiles 以及 1993 年、94 年及 95 年發生的事, 其中有許多重大的歷史值得談, 但我選擇最後回到質因子分解的議題。費馬最後定理的研究衍生出許多理論, 有些並未被 Andrew Wiles 用於費馬最後定理的證明, 但並不意味它們沒有價值或有所缺失。費馬最後定理的研究, 提供了數學各種不同的工具, 迄今仍被使用。

但在此之前, 容我在很短的時間內, 談談 90 年代中葉費馬最後定理的實際證明。令人驚嘆的是, 它涉及到一個小小的輔助建構, 這個輔助建構源自德國數學家 Gerhardt Frey 在 80 年代初期的構想。Frey 的構想是: 假設

現在來談談質因子分解。首先, 把所有的整數及一個 286/287 (1976), 248-256.): 對於超過 19 的質數, 質因子分解在其對應的環不具唯一性。如果你的論證用到質因子分解的唯一性,你可能要放棄它, 因為它只適用於我列出的質數, 不能大於 19。

現在來講一些研究生該知道的專業數學。當你嘗試在數學中研習某件事時, 必須有阻礙物(obstruction)的概念, 它阻礙某事發生。在目前情況, 質因子分解唯一性的阻礙物是個有限群, 被稱為類群(class group), 因其依賴於其所對應的質數

Ernst Kummer

這個主題的大英雄顯然是 19 世紀的 Ernst Kummer, 他催生了當代代數數論。他審視涉及質因子分解的論證後證明: 若類群

類群的階被稱為類數(class number)。結構上, 你取此阿貝爾群的

聽眾中有人曾問我: 該讀什麼數論的書? 較進階的, 我在演講廳外提到了 Borevich 及 Shafarevich 的書, 我曾從中學習 Kummer 的論證, 你不妨把它當作這個演講的參考文獻。

Kummer 不僅在類數不能被

如何得知 37 整除

審視它時, 會發現一些你能很快證明的性質。其一是僅

開頭幾個伯努利數都是分子為 1 的分數;

來談談它們不能被

你或許會問: 1993 年 Buhler, Crandall, Ernvall, Metsänkylä 為上達 400 萬的數字證明了定理, 這些數字都屬這三分之二嗎? 如果你閱讀那些書, 會看到改良過的條件。在 Kummer 定理的條件 (意即

因此 Kummer 的條件對 37 不奏效。另外, 極其著名的是, Kummer 條件在

2001 年, Buhler, Crandall, Ernvall, Metsänkylä, Shorkrollahi 合寫的一篇論文驗證了: 若你取 1200 萬以內的質數, 共有比例約 61% 的質數

你可回到 Borevich 和 Shafarevich 的書, 從而可用一些簡單的技巧來產生不規則質數, 因而得到無限多個不規則質數。對我來說, 真正神奇的是, 規則質數(regular primes) 理應佔多數, 但我們竟不知它們的個數是否無限。在數論中有很多這類的尷尬: 許多非常簡單的問題, 答案仍屬未知。回首 19 世紀, Kummer 的條件看似適用於大多數質數; 但我們其實無法證明如此的質數有無限多個。這真的非常令人驚訝。

因為演講的時間有限, 對我在 1976 年左右關於 Kummer 判別法的工作, 我將僅做非常簡單的描述。Kummer 判別法是一個非常明確的敘述: 若且唯若某件事是對的, 另一件事才是對的。1976 年時我還在用熟悉的打字機打論文。我在巴黎 IHÉS 研究所使用秘書的辦公室, 因為秘書的打字機比數學家的好, 而且我想仔細打些符號及希臘字母。我在午餐時間借用秘書的辦公室。哈佛的某著名數學家進來說: 「你在做什麼?」 我說: 「我正在改進 Kummer 判別法」。他說: 「為什麼要改進 Kummer 判別法? 這是一個判別法, 還有什麼可說的? 」答案是: 這個判別法中有

我會再次跳過一些投影片, 因為演講時間很短。但我想給你看一張 Jaques Herbrand 的照片, 他是 20 世紀早期的邏輯學家兼數論學家。他在畫面中央, 非常、非常年輕。他出生於 1908 年, 1931 年去世, 兩個年份的間隔不大。他在拍攝這張照片的山中失足身亡, 得年 23 歲或 22 歲。我還是一名學生時, 獲悉他的故事, 因為我的室友是一位邏輯學家, 正在翻譯他的書"Ecrits logiques" (邏輯寫作), 我幫室友翻譯與 cyclotomic fields (分圓域) 有關的部分; cyclotomic 意味著切割圓。在書中 cyclotomic fields 被稱為 corpus circulaires。我和室友想了解 corpus circulaires 意味著什麼, 而我發現它就是 cyclotomic fields (分圓域), 並如此翻譯。結果是, 我為伯努利數及類群的分部建立聯繫時所證明的, 實際上是 Herbrand 過世前隱微證明之敘述的逆命題。他證明: 若伯努利數不能被

我的工作遵循 Serre 在 1967 年撰寫的文章, 他在文章中首次將 Galois 表示與模形式聯繫起來, 或者至少他看到了這種聯繫; 他沒有確實把它們聯繫起來, 幾個月後, Deligne 證明了 Serre 隱微認為必然為真的聯繫。Serre 這篇具有巴黎風格的數論文章, 充溢著改變數論的奇妙想法, 是我非常用心去了解的。但回溯 MathSciNet 對那篇文章的評論, 評論者對此全然不感興趣: "作者對拉馬努金

我不會瀏覽隨後的投影片。但事實顯示, 在分圓域、有理數等情況下, 觀察其擴展, 以及將其嵌入更複雜的事物, 是一種很好的解決問題方式。它讓你從試圖了解的群, 轉換到信息豐富的、較大的群。許多人發現我的技巧適用於其他情況, 而對數論產生了相應的影響。

——整理者陳其誠任教於臺灣大學數學系