3月14日:圓周率日淺說 π

2021-02-08 量子認知

3月14日,一年一度的圓周率日來臨,這一天也稱為π節(英語π day)。有些人也許在下午1時59分慶祝,以象徵圓周率π的六位近似值3.14159,有的甚至精確到26秒,以象徵圓周率的八位近似值3.1415926;有的以24小時計時在凌晨1時59分或者下午3時9分(15時9分)慶祝。值此今年不同尋常的圓周率π日之際,選個時刻,好好地祝福自己、祝福親友:一「派」安康、一「派」吉祥。

這裡用圖文最簡單、最通俗地說一說 π 的基本常識 。π是什麼?

圓周率通常由小寫的希臘字母π表示,發音(Pi,派),是最著名的數學常數之一,它是圓的周長與其直徑之比。對於任何圓,圓的周長略大於直徑的三倍。

π是一個無理數,即無限不循環的十進位數,通常是用3.14或分數22/7來近似表示。這就提出了一個相當有趣的問題: 如果π是適合圓的直徑長度的數量,那麼它怎麼沒有盡頭呢?

π:一個幾千年來人類追逐的標記

4000多年來人類一直在追逐π這個標記。一塊於公元前1900年古老的巴比倫石匾清楚地記載了圓周率 = 25/8 = 3.125。古埃及人將該比例確定為(16/9)^2 ≈ 3.16。1500多年前,我國數學家祖衝之進一步得出精確到小數點後7位的結果,在之後的800年裡祖衝之計算出的π值都是最準確的。

希臘數學家阿基米德是第一個使用算法方法計算π的人。他在圓內繪製了一個多邊形,在圓外繪製了另一個多邊形。然後,他不斷添加兩個多邊形的越來越多的邊,越來越接近圓的形狀。達到96個面的多邊形後,他證明了 223/71 < π < 22/7。1630年,奧地利天文學家格林伯格使用具有10^40個邊的多邊形計算了π的38位。

1767年,瑞士數學家蘭伯特證明π是無理數,1882年林德曼證明π是超越數,即一個不是代數數的無理數,這意味著π不能成為有理多項式方程的解。這一發現意義重大,因為在此之前,人們一直認為可以構造出面積相等的正方形和圓形,稱為「對圓形進行平方」。

從斐波那契、牛頓、萊布尼茲和高斯等著名數學家到許多的數學家們,在π上投入了大量的心血,計算其位數並將其應用於數學的許多領域。有些人一生中的時間只是為了多計算π幾位數。隨著現代技術的進步,目前π已計算到31萬億個數字。但是,只需要前40個數字就可以在我們可觀察的宇宙中,執行所有計算而幾乎不出錯。

π 的最基本應用

1. 圓的圓周和面積

π 的最基本應用在中學、甚至小學就已開始,學生用來了解圓的圓周和面積。π 的定義提供了一種計算周長的方法。如果 π = C/d,則 C = πd ,也就是 C = 2πr 。一個圓的面積為 A = π r^2:

2. 圓柱體、球體和圓錐體

隨著學生學習圓柱體、球體和圓錐體,π 的基本應用的學習過程不斷發展。一個圓柱 的總表面積為 2πr^2 + h( 2π r ):

一個圓柱體的體積為 π(r^2) h:

一個球的表面積為 4πr^2:

一個球體的體積為 4π(r^3)/3:

一個圓錐體的總表面積為 πr l + π r^2:

一個圓錐體的體積為 πh (r^3)/3 :

3. 角度和弧度

以後,學生會更通過三角函數更深入地學習圓周率。角度可以用度數和弧度進行測量。弧度定義為與圓的半徑相同的弧度。由於π直徑等於圓周,因此2π半徑長度也等於圓周。 因此,360度等於2π弧度,180度等於π弧度,90度等於π/2弧度,等等。

4. 微積分計算體積

在微積分學中,學生學習一些方法來計算通過繞不同軸旋轉二維表面形成的物體體積。如運用圓盤法計算體積:

運用圓環方法計算體積:

運用殼法計算體積:

上述圖解只是π的基本應用,它還應用於許許多多的數學和科學領域中。簡單地來說,上至天文、下至地理,在宏如宇宙、微如量子的地方,四處都會看到它的身影。你現在用的手機、電腦、網絡,沒有它不行;你每時每刻腦神經的跳動、思想與情緒的波動,沒有它無法準確描述。

π 無處不在,與我們親密接觸;卻又有那麼一點兒神秘,讓我們一直望不著它的盡頭。

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  • 圓周率π有幾種神奇算法?
    一說起圓周率π,很多人就想到祖衝之老爺子的割圓術。說實話,祖大人也挺無奈的,從我們小學就開始割圓,一直割到大學還在割。
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    永無休止的π這裡不考慮遙遠時代的割圓術了,在兩千年前的古人能得出這樣的算法就已經很不容易了,你還要求他們,割圓術求π太慢了,能不能找個更快的。雖然理論上,巴塞爾級數的收斂速度不會像萊布尼茲級數一樣出奇地慢,但是也基本上也要計算到10000項,才能精確到小數點3位。所以,如果我來選擇一種算法求解圓周率,這兩大鼎鼎有名的公式第一輪就會被pass掉。於是,我們想在圓周率問題上有所突破,就必須去找一些快,準,狠的算法,不對,應該是快,易,準的方法。
  • 從圓周率到實數分類
    2011年,國際數學協會正式宣布,將每年的3月14日設為國際數學節,來源則是中國古代數學家祖衝之的圓周率。 國際圓周率日可以追溯至1988年3月14日,舊金山科學博物館的物理學家Larry Shaw,他組織博物館的員工和參與者圍繞博物館紀念碑做3又1/7圈(22/7,π的近似值之一)的圓周運動,並一起吃水果派。之後,舊金山科學博物館繼承了這個傳統,在每年的這一天都舉辦慶祝活動。
  • 圓周率π之歌
    圓周率π之歌化圓為方非易事,自古折腰盡賢人;
  • 把圓周率π用鋼琴彈出來,是一種什麼感覺?
    導讀:π,幾乎是世界上最有名的無理數,一直是當成神才知盡頭的數字存在著……但也許,π是上帝給我們的另一個禮物呢?從古希臘的阿基米德首次計算π≈4開始,到兩位日本人從日本時間1999年9月18日19:00:52起,計算了37小時21分04秒,得到了圓周率的206,158,430,208(3*236)位十進位精度——3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642019893809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151
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